La pregunta que me han dado es:
Los átomos de plata en una red metálica solo ocupan $ 88 \, \% $ del espacio ($ 12 \, \% $ está vacío). La densidad de la plata es $ 10.5 \ \ mathrm {g \ cdot cm ^ {- 3}} $. Suponiendo que los átomos de plata son esferas duras ($ V = \ tfrac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 $, cuando $ r $ es el radio atómico), ¿cuál es el radio de un átomo de plata? Da la respuesta en unidades de $ 10 ^ {- 12} $ metros.
La masa atómica de $ \ ce {Ag} $ es 107,8682.
Mi solución:
$$ V = 0.88 \ times V $$
$$ V = \ frac {0.88 \ times10.5 \ times6.022 \ times10 ^ {23}} {107.8682} = 5.158 \ times10 ^ {22} \ \ mathrm {cm ^ 3} $$
$$ V = \ frac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 \ Rightarrow r = \ left (\ frac34 \ cdot \ frac V \ pi \ right) ^ {1/3} $$
Luego cambié a $ 10 ^ {12} $ metros, el resultado fue $ 4.953 \ times10 ^ {17 } $ y no es correcto. ¿Qué estoy haciendo mal?
Comentarios
- Yo ' he agregado la información sobre la masa atómica de $ \ ce {Ag} $ en un esfuerzo por aclararle a usted y a los demás qué información ' necesitará para resolver el problema.
- De hecho, Ag cristaliza en FCC y las esferas se llenan $$ \ dfrac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} \ approx 0.74048 $$
Respuesta
Si hubiera incluido las unidades en su cálculo, se habría dado cuenta de por qué su ecuación no es correcta.
Masa molar $ M $ se define como $$ M = \ frac mn \ tag1 $$ donde $ m $ es masa y $ n $ es la cantidad de sustancia.
Dado que la constante de Avogadro $ N_ \ mathrm A $ es $$ N_ \ mathrm A = \ frac Nn \ tag2 $$ donde $ N $ es el número de partículas, la masa $ m $ de un átomo $ (N = 1) $ es $$ m = \ frac M {N_ \ mathrm A} \ tag3 $$
Densidad $ \ rho $ se define como $$ \ rho = \ frac mV \ tag4 $$ donde $ V $ es volumen.
Por lo tanto, el volumen de una muestra es $$ V = \ frac m \ rho \ tag5 $$ Usando la ecuación $ \ text {(3)} $ , el volumen $ V $ se puede calcular para un solo átomo: $$ V = \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag6 $$
Suponiendo que una fracción de $ 88 \, \% $ del volumen $ V $ se llena con una esfera dura, el volumen $ V_ \ text {esfera} $ de la esfera es $$ \ begin {align} V_ \ text {esfera} & = 0.88 \ times V \ tag7 \\ [6pt] & = 0.88 \ veces \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag8 \ end {align} $$
Dado que el volumen de una esfera es $$ V_ \ text {esfera} = \ frac43 \ pi r ^ 3 \ tag9 $$ donde $ r $ es el radio de la esfera, el radio $ r $ es $$ \ begin {align} r & = \ sqrt [3] {\ frac {3V_ \ text {esfera}} {4 \ pi}} \ etiqueta {10} \\ [6pt] & = \ sqrt [3 ] {\ frac {3 \ times0.88 \ times M} {4 \ pi \ cdot N_ \ mathrm A \ cdot \ rho}} \ tag {11} \\ [6pt] & = \ sqrt [3] {\ frac {3 \ times0.88 \ times 107.86820 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}}} {4 \ pi \ times 6.02214076 \ times10 ^ {23} \ \ mathrm {mol ^ {- 1}} \ times 10.5 \ \ mathrm {g \ cm ^ {- 3}}}} \\ [6pt] & = 1.53 \ times10 ^ {- 8} \ \ mathrm {cm} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 10} \ \ mathrm m \\ [6pt] = 153 \ times10 ^ {- 12} \ \ mathrm m \\ \ end {align} $$