Una muestra de un proceso aleatorio se da como:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
donde $ w (t) $ es un proceso de ruido blanco con una media de $ 0 $ y una densidad espectral de potencia de $ \ frac {N_0} {2 } $, y $ f_0 $, $ A $ y $ B $ son constantes. Encuentre la función de autocorrelación.
Aquí está mi intento de solución:
Sea $ a = 2 \ pi f_0t $ y $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {align} \ text {Autocorrelación de} x (t) & = E \ left \ {x (t) x ( t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {\ left (A \ cos (a) + Bw (t) \ right) \ left (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ right) \ right \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (b) (wt) \ right \} \\ & \ quad + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (R_w (\ tau) \ right) \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Los términos de expectativa con el ruido en ellos equivalen a $ 0 $ (el último es solo la correlación automática del ruido blanco … de ahí la simplificación sobre. Usando identidades trigonométricas: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
tenemos:
\ begin {align} \ text {Autocorrelación de} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ left \ {\ left (A ^ 2 \ right) \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ right] \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ left (\ frac {A ^ 2} {2} \ right) \ left [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Estamos tratando con términos constantes, por lo que el término de expectativa desaparece y sustituyendo nuestras condiciones iniciales obtenemos: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ izquierda [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) $$
Por alguna razón no puedo evitar sentir que hice algo incorrectamente calculando esa autocorrelación … se supone que es una función de $ \ tau $, pero tiene un $ t $ está ahí … Le agradecería mucho que alguien me indicara la dirección correcta o me explicara lo que cometí. No sé si es importante, pero en esta clase solo nos ocupamos de procesos estacionarios de sentido amplio.
Comentarios
- A menos que usted esté Asegúrese de que el proceso aleatorio $ x (t) $ es WSS, no debe esperar que su ACF sea una función de $ \ tau $ solamente. Por lo tanto, parece correcto incluir aquí términos de tiempo $ t $. Pero creo que el término coseno dentro de $ x (t) $ podría incluir una amplitud aleatoria o una fase aleatoria que se olvida de escribir, entonces puede tener la oportunidad de deshacerse del elemento de tiempo $ t $ si lo desea tanto así que …
- El proceso $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ es un proceso cicloestacionario (satisface los requisitos de estacionariedad para aquellos desplazamientos de tiempo que son múltiplos de $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) y no son un proceso WSS en absoluto. Tenga en cuenta, por ejemplo, que incluso la función media $ E [x (t)] $ no es una constante como debería ser para un proceso WSS. Como @ Fat32 dice (+1), es posible que haya olvidado incluir una fase aleatoria $ \ Theta $ en su definición de $ x (t) $ (la propiedad necesaria para la estacionariedad WS es que $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $ que es válido para $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ o $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac 14 $ por $ n = 0,1,2,3 $).
Respuesta
Supongo que «He hecho casi todo bien, pero tengo un problema en el cálculo del valor esperado con respecto a $ t $. Debe calcular el valor esperado de la función coseno. Lamentablemente, no simplemente» desaparece «como escribió.
Echa un vistazo a la página de Wikipedia . Allí puedes encontrar otra fórmula más explícita para la función de autocorrelación de una función $ f (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Tenga en cuenta que, en comparación con la página de Wikipedia, me he tomado la libertad de usar la variable $ t $ en la integración en lugar de $ u $, whi ch sería la versión matemáticamente más precisa).
Como puede ver en esta ecuación, «integra» la dependencia de t, y de hecho debería quedarse con una función que es independiente de $ t $.
Tenga en cuenta que también hay una versión que no va a tiempos infinitos, pero está restringida a un período $ T $. Quizás esta versión sea más apropiada en tu caso.Sin embargo, lo mismo se aplica a esta versión: $ t $ está integrado y no debería ser una variable en la fórmula resultante.
Comentarios
- Usted está mezclando dos nociones diferentes cuando escribe » Como puede ver en esta ecuación, » integra » la dependencia de $ t $, y de hecho debería quedarse con una función que sea independiente de $ t $ »
- Puede también tome la fórmula de la página de Wikipedia sin $ t $ y escriba $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. Lo importante aquí es en ambos casos que el argumento de la función $ f $ es t y está integrado, por lo tanto, ya no tiene $ t $ en el resultado final, sino solo $ \ tau $.
- @Dilip También puede echar un vistazo aquí ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/… : este es básicamente el primer resultado después de una simple búsqueda en Google. Allí, en la página 22-2 (página 3 del PDF) hay un ejemplo de una función de autocorrelación, que se calculó mediante esta fórmula y es independiente de $ t $. También puede encontrar la notación integral matemáticamente no tan sólida en la página anterior.
- Lejos de mí cuestionar la validez de una fórmula que usted afirma que se puede encontrar en Wikipedia. o se imparte en un curso en línea del MIT, pero me parece que en \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \ tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {align} esa segunda integral en esa segunda línea (cuyo integrando es una constante wrt $ t $) diverge a menos que $ \ tau $ tenga un valor tal que $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Tienes razón, esta integral diverge. Ni siquiera la primera integral es significativa, ya que no converge. Por esta razón, está el último párrafo de mi respuesta.