En un pentagrama regular (estrella de 5 puntas), el ángulo en cada punto es de 36 grados, por lo que los ángulos en los cinco puntos suma a 180 grados:
¿Qué pasa con un pentagrama irregular, como el siguiente?
Ahora los ángulos pueden ser todos diferentes entre sí; la situación es mucho más complicada. ¿Puedes probar que los ángulos en los cinco puntos todavía suman 180 grados?
Restricciones (para aclarar que esto no es un problema matemático [a diferencia de un acertijo matemático] ni un ejercicio de computación o geometría euclidiana avanzada):
- no se permiten operaciones aritméticas (suma, multiplicación, …)
- puede dibujar un nuevo segmento de línea en la estrella, pero no más que eso
Comentarios
- Lo siento rand, pero creo que esto es solo otro problema matemático … (» prueba «, » ángulos «, » suma «, » 180 grados «)
- @MarkN De acuerdo con meta publicación canónica sobre esto, el signo de un acertijo matemático en contraposición al problema es tener una solución inteligente o elegante, a menudo un » aha » momento , una declaración de problema inesperada , o un resultado inesperado o contradictorio . La solución que tengo en mente definitivamente tiene la primera de estas características y, en mi opinión, las dos últimas también.
- Esto no es ‘ un acertijo matemático, es ‘ un acertijo de lógica. Por lo general, aprende esta lógica de alguien que también enseña matemáticas.
Respuesta
$ \ hskip 1.5in $ 
es un sueño?
Esta es una imagen de una flecha que recorre cada uno de los ángulos sucesivos en la estrella. Observe que, después de trazar todos los ángulos de $ 5 $, su orientación se invierte, lo que significa que ha girado $ 180 ^ {\ circ} $ y que esta debe ser la suma de los ángulos. Podemos hacer lo mismo con la estrella en tu figura, ergo, sus ángulos también suman $ 180 ^ {\ circ} $.
Una generalización:
Podemos hacer lo mismo con una figura como esta, cuyos ángulos suman $ 180 ^ {\ circ} $: $ \ hskip 1.5 en $ 
También podemos hacer esto con un triángulo. La propiedad importante es esta:
No debe haber vértices de la estrella interior del cono barrido por un rayo atravesando un ángulo dado.
Satisfacer esta condición, que básicamente dice que nunca tenemos que «ignorar» los vértices, sino simplemente girar la flecha y ver qué aciertos: encontramos que podemos ordenar los vértices «en el sentido de las agujas del reloj», de modo que, en cada ángulo, la cabeza o la cola de la flecha pasa al siguiente vértice en el orden (y alternan cuál). Obviamente, tanto la cabeza como la cola harán una revolución completa cuando se hayan trazado el doble de ángulos que de vértices, obteniendo el resultado deseado.
(También se podría expresar mi condición como «asignar a los vértices los números $ 1 $ hasta $ 2n + 1 $ en el orden de las agujas del reloj como se ve desde un punto central, debe ser que $ 1 $ se conecta a $ n $ y $ n + 1 $, y todos los demás puntos están conectados de forma análoga «)
Comentarios
- (Además, por lo que ‘ vale, me gustó mucho este rompecabezas, incluso si mi respuesta no es la intencionado: tuve una buena, » Bueno, esa ‘ es obvia » momento, seguido de unas horas de intenso rascado de cabeza, tratando de averiguar por qué era obvio, seguido de » ¡Ajá! Fue fue obvio! «)
- Supongo que tu comentario es una referencia a esta broma ? =)
- Se acepta porque ‘ es incluso mejor que la respuesta que también estaba buscando, y también cubre una generalización.
Respuesta
Coloque su lápiz en la línea 1.
Gire el lápiz para que se alinee con la línea 2. Simplemente lo giró en sentido antihorario en el ángulo en la parte superior del pentagrama.
Ahora gírelo en sentido antihorario nuevamente en la línea 3. Luego de nuevo a la línea 4, luego a la 5, y finalmente de regreso a la 1. Acabas de rotar el lápiz a través de los cinco ángulos del pentagrama en secuencia.
¿Y qué sucedió? El lápiz ahora se encuentra en la misma línea en la que comenzó, apuntando en la dirección opuesta.Si rastrea en qué dirección apunta el lápiz en cada paso, puede ver que en total, lo giró en el sentido contrario a las agujas del reloj media vuelta. De ahí, $ 180 ^ \ circ $.
Comentarios
- Esta será una hermosa prueba si la modifica para excluir la posibilidad de que haya rotado lápiz a través de algún otro múltiplo impar de $ 180 ^ \ circ $. Con este heptagrama , el lápiz también termina apuntando en la dirección opuesta pero ha rotado $ 540 ^ \ circ $
- Hay una deformación continua desde el pentagrama de referencia a cualquier pentagrama deformado. Por lo tanto, la rotación no puede saltar de un múltiplo de 180∘ a otro.
- Básicamente, cualquier $ \ {m: n \} $ – gramo donde $ n < \ frac m 2 $ rota $ 360 \ veces (\ frac m 2 – n) $ grados.
- Buena explicación Lopsy … simple, limpio 🙂 Iba a decir, toma 4 ángulos y visualmente comience a reducirlos a 0 … piense en cómo se ve la estrella mientras esto sucede … el quinto ángulo sigue creciendo para adaptarse … hasta que 4 ángulos son 0, y el quinto es 180 (es decir, una línea recta) …: ) Pero me gusta más la explicación de Lopsy ‘ ..;)
- La belleza de esta respuesta es que no ‘ t leer como una prueba matemática. Cualquiera puede entenderlo.
Respuesta
Aquí hay otra prueba.
Etiqueta los puntos como se muestra, y dibuja el segmento de línea CD. Usa A, B, etc. para indicar los ángulos de los que se nos pide encontrar la suma.
Ahora
$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ (ángulos en un triángulo)
Por tanto, basta con demostrar que
$ \ angle ADC + \ angle DCA = B + C + D + E $
Ahora
$ \ angle ADC = D + \ angle BDC $ y $ \ angle DCA = C + \ angle ECD $
Por tanto, es suficiente demostrar que
$ \ angle BDC + \ angle E CD = B + E $
que es obviamente cierto porque
el LHS es el suplemento de $ \ angle DFC $ y el RHS es el suplemento de $ \ angle EFB $ , donde $ \ angle DFC $ y $ \ angle EFB $ son iguales porque verticalmente opuestos .
Comentarios
- Esta es la respuesta que estaba buscando.
- Entonces, básicamente, puedes destilar esta solución a 2 reglas: ángulos en triángulos = 180 y ángulos opuestos de 2 líneas que se cruzan son iguales.
- @randal ‘ thor Esta solución también implica la adición, por lo que no cumpliría con sus restricciones, o debería modificar sus restricciones.
- Sí, iba a decir que esto no es -el- sino uno de los más matemáticos -ish respuestas aquí. La ausencia de aritmética no significa que no sea ‘ t matemáticas …
Respuesta
La suma de los ángulos interiores de un pentágono es siempre 540 °.
El ángulo de cada punto exterior es siempre la suma de los dos ángulos interiores adyacentes: 180 °. Podemos decir esto ya que, dados los ángulos internos A y B, los ángulos del triángulo son 180 – A, 180 – B, X. Por definición de los ángulos de un triángulo, X es igual a $ 180 – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.
Cada ángulo interior del pentágono se usa dos veces, y hay 5 puntos, por lo que $ (2 \ times 540) – (5 \ times 180) = 180 ° $
Comentarios
- Creo que esta es la geometría de grado 9 sacando su cabeza …
- Esto es más complicado que la prueba en la que estaba pensando. Puedo editar la pregunta para restringir un poco más las posibles pruebas, pero ‘ todavía te daré un +1. ¿Podrías justificar tu segunda oración? Tampoco ‘ entiendo lo que dice la tercera oración.
- Si dejamos que A y B sean dos ángulos interiores adyacentes del pentágono, entonces el ángulo de el punto en el triángulo es 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
- +1 Buena prueba, pero sería genial si pudieras usar una foto o 2, o ¡incluso un gif!
- Creo que es ‘ posible generalizar esta prueba para mostrar que los ángulos en los puntos de cualquier n -gram suma a $ 180 ^ \ circ $ siempre que la forma conecte cada punto con dos puntos adyacentes en el n -gon.(Tenga en cuenta que el hexagrama unicursal no ‘ no cumple con el criterio de conexión; tampoco el hexagrama formado por dos triángulos; y solo uno de los dos heptagramas unicursales lo hace).
Respuesta
Aquí hay otra prueba clara, esta vez por inducción. Podemos hacer el pentagrama comenzando con el regular y moviendo sucesivamente cuatro de los puntos. Así que es suficiente para demostrar que
mover un punto en un pentagrama no cambia la suma de los ángulos en el puntos
Vamos a «s
mover el punto A a A» y llamar tanto el ángulo en A como el ángulo en A «el ángulo superior
Obtenemos esto:
Es suficiente para demostrar que
el cambio en el ángulo superior y los cambios en el ángulo es en C y D suman cero.
En este nuevo diagrama
mostramos
el cambio en el ángulo superior como $ xw $ y los cambios en D y C como $ -y $ y $ z $,
y debemos demostrar que
$ xw-y + z = 0 $, o en otras palabras, que $ x + z = w + y $,
lo cual es obvio, como antes, porque
LHS y RHS son los complementos de ángulos verticalmente opuestos en G.
Respuesta
Otro enfoque:
Comenzando con la estrella regular, sabemos que $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Ahora dibujemos un segmento de línea como se muestra en el diagrama.
Tenga en cuenta que $ B, D, E $ permanecen sin cambios! De nuestras observaciones, vemos que $ Y = C – X $ y $ Z = A + X $.
Por lo tanto, la suma de los puntos de nuestra nueva estrella $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.
Para que podamos seguir dibujando segmentos y crear nuevas estrellas (y cambiar la escala ellos) hasta que alcancemos la forma deseada.
Comentarios
- Agradable, pero ¿podrías agregar algo para hacerlo más intuitivo que puedas hacer pentagrama irregular general por una secuencia de movimientos de un punto a lo largo de una de las líneas a través de ese punto y recalificaciones.
- Podría intentarlo si solo la geometría ‘ no doliera mi cerebro tanto D:
Respuesta
Es inevitable que algunos se debe hacer aritmética; después de todo, la conclusión deseada es cuantitativa, por lo que el desafío no debe ser t o ocultar la aritmética, ni llamarla por algún otro nombre, sino para hacerla obvia y completamente simple. El siguiente argumento reduce la aritmética a observar que cinco es uno más que cuatro (y que un entero es dos veces la mitad, un hecho que se usa de pasada).
La estrella gira dos veces alrededor de su centro y, por lo tanto, cualquiera que la atraviese tendrá que girar dos círculos completos (cuatro semicírculos). Todos los giros ocurren solo en los vértices, donde la cantidad máxima es un giro completo de la mitad de un círculo. Para cinco vértices, serían cinco semicírculos, o un semicírculo más de lo que realmente se gira: 180 grados. La deficiencia entre este máximo y la cantidad de giro que realmente se logra es precisamente la suma de los ángulos interiores, QED.
Este enfoque es el adoptado en las matemáticas modernas (es decir, posteriores al siglo XVIII). Se generaliza a figuras arbitrarias de dimensiones arbitrarias dibujadas dentro de otras figuras que a su vez pueden ser curvas. Se conoce como el Teorema de Gauss-Bonnet .
Respuesta
Existe un teorema basado en el círculo que establece que «La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco que intercepta». Esto significa que para el ángulo x , el arco que intercepta será 2x . 
Ahora, si inscribe la estrella en un círculo, obtiene esto:
Al etiquetar el dibujo anterior, obtiene esto;
Con este teorema, sabemos que el ángulo ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, y ∠ 5 = b / 2. Si distribuimos eso, obtenemos ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . Además, debido a que las medidas de todos los arcos en un círculo suman 360, sabemos que a + b + c + d + e = 360 . Finalmente, usando la propiedad de sustitución, obtenemos ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 , o ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . Por tanto, la suma de todos los ángulos es 180.
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- Hay ‘ un defecto en su argumento: no todos los pentagramas pueden inscribirse en un círculo.
- @ThomasKwa ¿Puedes darme un ejemplo?
- @ user1812 simplemente mueve cualquier punto de tu ejemplo dentro o fuera del círculo. Solo se necesitan tres puntos para definir un círculo, y un pentagrama tiene cinco.
Respuesta
Esta prueba en un sentido no es más que contar el grado de los ángulos.
Recuerde que un pentágono, ya sea regular o irregular, tiene sus ángulos internos suman 540. Además, los ángulos de una intersección de 2 líneas rectas suman 360, donde también los ángulos opuestos son congruentes.
Considere los 5 puntos del pentágono central, los puntos donde ocurre la intersección de 2 líneas. Alrededor de estos 5 puntos hay 360 x 5 = 1800 grados en total y 5 x 4 = 20 ángulos para contar.
De los 20 ángulos, 5 son del pentágono, 5 más son congruentes con ellos. Entonces esto representa 540 + 540 = 1080 grados. Los restos de 1800 – 1080 = 720 grados provienen del interior de los 5 triángulos.
5 triángulos contienen 5 x 180 = 900 grados de ángulos interiores. 720 de esos grados están en las esquinas del pentágono / triángulo / intersección.
Esto deja en las puntas de la estrella 900 – 720 = 180 grados.
Editar: La aritmética aquí es simplemente una abreviatura de ángulo. suma y resta, igual que en otras respuestas.
Respuesta
El Pentágono central como A, B, C, D , E contiene 540 GRADOS
Suma los 5 PARES de ángulos suplementarios, es decir. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Estos 720 grados representan la «base» ángulos de los 5 triángulos que suman 5 * 180 = 900 900-720 = 180 (los 5 ángulos que se buscan.
Los cinco triángulos en los puntos suman 5 * 180 = 900
Comentarios
- La pregunta pide específicamente que se pruebe sin usar operaciones aritméticas.