Se sabe que un puente browniano multivariado estándar $ y (\ mathbf u) $ es un proceso gaussiano centrado con función de covarianza $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ wedge v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
No estoy seguro de cómo construir tal puente browniano multivariante.
Mi primer pensamiento fue comenzar de alguna manera con un puente browniano univariante. Encontré información sobre eso e incluso un paquete en R que puede hacer esto, pero solo para el puente browniano univariante.
Encontré esto , pero según tengo entendido, lo que se ha hecho allí no es un puente browniano multivariado estándar como se define anteriormente o, por ejemplo, en este documento .
Agradecería cualquier sugerencia y apoyo.
Comentarios
- Como descubrí en el artículo de Deheuvels enlace , existe el siguiente relación entre un puente browniano $ B_t $ y una hoja browniana (o hoja Wiener) $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Entonces creo que el problema se reduce a simular una hoja browniana. Haré mis preguntas sobre esto en una pregunta separada.
- corrección, la relación para más dimensiones es $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Relacionado: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
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Como ya señaló En los comentarios, la pregunta se reduce a simular una hoja browniana. Esto se puede hacer generalizando la simulación del movimiento browniano de una manera sencilla.
Para simular el movimiento browniano, se puede tomar un i.i.d. mean-0 varianza-1 serie temporal $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ y construye el proceso de suma parcial normalizado $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} Wisconsin. $$ Como $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ convergencia débil (en el sentido de las medidas de probabilidad de Borel en un espacio métrico) al estándar browniano $ B $ en el espacio Skorohod $ D [0 , 1] $ .
El iid con caso de segundo momento finito es la forma más sencilla de simular. El resultado matemático (Teorema funcional del límite central / Teorema de Donsker / Principio de invarianza) tiene una generalidad mucho mayor.
Ahora, para simular la hoja browniana (digamos bidimensional), se toma la varianza media-0 de iid -1 matriz $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ y construye el proceso de suma parcial normalizado $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ Como $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ convergencia débil a la hoja browniana estándar en el espacio Skorohod $ D ([0,1] ^ 2) $ en el cuadrado unitario .
(La prueba es un argumento estándar de convergencia débil:
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La convergencia de la distribución dimensional finita se deriva del CLT de Levy-Lindeberg.
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Estrecho en $ D ([0,1] ^ 2) $ se sigue de una condición de momento suficiente que se cumple trivialmente en el i.i.d. caso finito de segundo momento — ver, p. Bickel y Wichura (1971). )
Luego, según el teorema de mapeo continuo $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ converge débilmente al puente browniano bidimensional.