Tengo una pregunta sobre el Black Model y el modelo Bachelier de 1976.
Sé que un movimiento browniano geométrico en la medida P $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ por el precio de una acción $ S_ {t} $ conduce (después de un cambio de medida) al Black- Fórmula de Scholes para una llamada:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Donde $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ y $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
En realidad, «no sé cómo» es posible obtener la famosa fórmula negra en un contrato a plazo:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
donde ahora $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ y $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
¿Debería simplemente insertar $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ en el primer BS fórmula para obtener el segundo?
Estoy preguntando esto porque he intentado derivar la fórmula BS usando un movimiento browniano aritmético como $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, a nd obtengo:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
donde $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ y $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ y recordando que $ N (d) $ y $ n (d) $ son el CDF y PDF.
pero la sustitución anterior $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ doesn «t parece conducir al resultado conocido $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
donde ahora $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Creo que podría alcanzar las ecuaciones en adelante tanto en la geometría movimiento browniano y movimiento browniano aritmético usando las ecuaciones
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ y $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ pero yo no » No sé cómo justificar su uso.
Comentarios
- @Macro Bienvenido a Quant. S.E.! ¿Desea fijar el precio del contrato a plazo o la opción del contrato a plazo?
- Hola Neeraj, gracias por su respuesta. ‘ me gustaría fijar el precio de una opción en un contrato a plazo.
- Simplemente reemplace $ S_0 $ con $ F e ^ {- rT} $ en su fórmula BS original. o puede utilizar un enfoque neutral al riesgo. Ambos conducirán a la misma fórmula de valoración.
- Ok, gracias. Pero, ¿puedo hacer lo mismo con el ABM? Porque no puedo ‘ obtener el resultado cuando hago esta sustitución.
Responder
Opción europea en el futuro
Para fijar el precio de la opción europea en el futuro, solo necesita reemplazar $ S_0 $ con $ Fe ^ {- rT} $ en su fórmula BS original o puede utilizar un enfoque neutral al riesgo. Ambos conducirán a la misma fórmula de valoración.
Opción estadounidense en el futuro
El procedimiento anterior no se puede utilizar para fijar el precio de la opción estadounidense en el futuro. En un documento, La valoración de opciones sobre contratos futuros por Ramaswamy , declaró que
No existe una solución analítica conocida para la valoración de la opción estadounidense sobre contrato futuro.
Los autores utilizaron el método implícito de diferencias finitas para fijar el precio de la opción estadounidense sobre contrato futuro.
Editar: Derivación del precio de la opción europea en el contrato futuro
Bajo medida neutral al riesgo, precio futuro, $ F_t $ satisfaga el siguiente SDE: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ donde, $ W_t $ es un proceso de Wiener. Se puede mostrar fácilmente que: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
El precio de la opción en el contrato futuro $ (C_t) $ debajo La medida neutral al riesgo es: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Puede resolver fácilmente la expresión anterior para obtener el precio de la opción escrito en futuro. La distribución de $ F_T $ es muy similar a $ S_T $ (ver esta respuesta) . Si reemplaza $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ , obtendrá la misma distribución de $ S_T $ como medida neutral al riesgo. Esta es la razón, para obtener el precio de la opción en el futuro, reemplazamos $ S_t $ con $ F_t e ^ {- r (Tt)} $ en el modelo BS de precio de opción de compra europea.
Comentarios
- Hola, Neeraj, en realidad yo ‘ quisiera fijar el precio de una opción europea a partir de un ABM.
- @Marco, marque la respuesta de edición.
Respuesta
A continuación, se ofrece una forma sencilla de obtener el precio de la opción call sobre el precio a plazo utilizando precios neutrales al riesgo.
Supongamos que tenemos una llamada europea que paga en $ t = T $ , $ (Para ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , donde $ T ^ * \ geq T $ . Suponga además que las tasas de interés son constantes y están representadas por « $ r $ «. Sea $ c ^ {For} (t, s) $ el precio de la llamada donde $ S (t) = s $ .
Entonces, si la acción no paga dividendos:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (For (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , Por replicación se puede mostrar, $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ y
$ c ^ {Para} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Debería darse cuenta de inmediato, dado que las tasas de interés son constantes y, por lo tanto, deterministas, podemos extraer las matemáticas « $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ » término fuera de lo esperado:
$ c ^ { Para} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Por lo tanto, ahora es proporcional al precio de compra de Black Scholes con strike $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {Para} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {Para } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , donde $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
también:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Esta es la «famosa fórmula negra en un contrato a plazo». ¡Espero que esto ayude!
Tenga en cuenta que el precio a plazo y el precio del contrato a plazo no son los mismos. El precio del contrato a plazo en el momento 0 es 0, pero puede cambiar, el precio a plazo es el precio que acepta pagar en el momento de la entrega.
Si tiene curiosidad por saber cuál sería si fuera una llamada a el precio de futuros en lugar de una opción de compra sobre el precio a plazo, afirmo que si el precio del activo no está correlacionado con la tasa de interés, entonces son los mismos, de lo contrario habría arbitraje (bajo supuestos de que no hay riesgo de contraparte, etc.). Te animo a que pruebes y demuestres esto.
(PD A la respuesta de los comentaristas anteriores acerca de que no existe una fórmula para una opción estadounidense sobre el precio a plazo, ¡esto no nos impide usar monte carlo!)