¿Cómo puede 64 = 65?

Este es un famoso rompecabezas físico que se puede vincular al serie fibonacci .

Para responder a la pregunta tal como se planteó, el problema es que las dos pendientes son diferentes ( $ \ frac25 $ frente a $ \ frac38 $ ). Tenga en cuenta que todos esos números están en la serie de fibonacci ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

Las fracciones sucesivas son aproximaciones más cercanas a $ \ varphi $ , alternando entre arriba y abajo. Se pueden generar diagramas como este haciendo un cuadrado con lados iguales a un número en la serie de fibonacci (en esta pregunta 8), luego dividiéndolo en dos rectángulos con anchos de los dos números de fibonacci que componen el primero elegido (3 y 5).

Corta el más pequeño por la diagonal y corta el más grande por el medio en diagonal, de modo que el ancho del corte diagonal sea el siguiente número más pequeño (2 en este caso). Tenga en cuenta que esto dejará un trapezoide, cuyo pequeño tamaño paralelo coincide con el lado más pequeño del rectángulo pequeño original (3 en este caso), y cuyo tamaño paralelo más grande coincide con el lado más pequeño del rectángulo más grande original (5 en este caso).

Dado que $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ , y de las construcciones anteriores, las piezas se pueden reorganizar en un rectángulo (como se muestra), cuyo área siempre estará a una distancia del cuadrado original, pero se verá aproximadamente correcta, ya que las pendientes casi coinciden.

Editar: Dado que esta respuesta recibió tantos votos a favor (¡gracias!), supongamos que la gente está muy interesada en él, así que pensé en dibujar algunas imágenes.

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (El ejemplo de OP)

3,5,8,13 : $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: $ 21 \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

Un comentario de @EricJ . generó una discusión que puede valer la pena traer a colación aquí:

No estoy afirmando que todos estos rompecabezas estén basados en la serie de Fibonacci. Solo que todos los números de Fibonacci pueden generar estos diagramas. Hay varias características de Fibonacci números que hacen que esto funcione.

1. Uno es que el cuadrado de un número de Fibonacci alterna entre ser uno más y uno menos que el producto de los números de cada lado.
2. Está el tema de la pendiente que ya mencioné, lo que significa que nuestra construcción nos dará dos pendientes que son aproximadamente iguales. Y
3. Existe el argumento de que la construcción general se puede hacer basándose en que cada número es la suma de los dos anteriores.

Los dos últimos puntos se pueden mejor entendido estudiando la construcción en detalle. El primer punto se puede probar por inducción:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ para $ k \ geq1 $

Estamos indexando de modo que $ f_0 = 0 $ y $ f_1 = 1 $ .

Paso 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ se puede verificar mediante sustitución.

Paso 2 : suponga que «es cierto para $ k $ . Entonces, $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Estoy» usando $ \ mp1 $ porque espero que se alterne, por lo que en el paso 3 lo probaré para $ \ pm1 $ )

Paso 3 : Debemos mostrar que $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Así que aquí va:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

Usé la definición de la serie de Fibonacci dos veces ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ y $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) y la suposición del paso 2.

Esto significa que cuando haces la construcción anterior, las áreas siempre diferirán en solo 1 (alternando arriba y abajo cada vez).

Comentarios

• Exc ¡excelente respuesta! Estoy ‘ familiarizado con estos acertijos, pero nunca he oído hablar de la conexión de Fibonacci. De hecho, no ‘ ni siquiera me di cuenta de que había un algoritmo para generar esas formas.
• Por eso nunca confío en » prueba por demostración » imágenes en math.stackexchange.com .
• Después de ver esta pregunta, me di cuenta de por qué mi Ferrari 488 que viaja en el tiempo, más rápido que la luz, no ‘ t bastante funcionando (quiero decir, ‘ retrocedía en el tiempo más rápido que la luz Simplemente bien, ¡pero seguía volviendo como un Ford Fiesta!) Y ‘ ACABÉ de terminar arreglándolo y lo lancé en una ejecución de prueba cuando leí esta respuesta estúpida ! Y ENTONCES regresó el Ferrari, ¡pero esta vez regresó como una bicicleta CON UN DINOSAURIO MONTANDO EN ELLA! Entonces, está bien, le di una paliza al dino (su nombre ‘ s Fred, por cierto, buen tipo. Divertido ol ‘, vida … .) con una sartén, y ahora ‘ m vuelvo a arreglar el motor FTL. ¡¡Entonces t ‘ anks fer nuttin ‘ !! 🙂
• Creo que ‘ solo está diciendo que estaba haciendo algo imposible y ahora puede ‘ t más porque ‘ se ha demostrado que es imposible. Lo que no ‘ no obtengo es por qué tantos votos a favor. Quiero decir, pensé que estaba siendo inteligente, ¡pero no tan inteligente!
• ¿Ah, sí? ¡BIEN! ¡Acabo de votar a favor tu respuesta, solo para que sea par 100! ¡¡¡¡POR LO TANTO, ALLÍ!!!! 🙂 (Y como un aparte de @ghosts_in_the_code – yo no estaba ‘ t realmente diciendo que esta respuesta es estúpida – me refiero a ella como » stupid » en un sentido irónico que significa » ¡La respuesta ha demostrado que estoy equivocado! ¡Qué respuesta más estúpida! » – es decir, yo ‘ soy el muñeco real aquí. Con suerte ‘ estamos bien ahora …) . Mi comentario es en realidad un homenaje a tres películas: Regreso al futuro, ET y Caddyshack. Y la trilogía Guide To The Galaxy de Hitchiker ‘: los cinco libros. 🙂

El diagrama es engañoso , ya que oculta un espacio en el medio de la segunda configuración.

Esto es lo que realmente obtenemos si reorganizamos las formas en cuestión. Observe que la diagonal se «arquea» ligeramente, dejando algo de espacio adicional entre las formas; aquí es donde entra la unidad adicional de área.

¡Pero no debes confiar en mí más que en la persona que hizo el dibujo original!

Como vemos aquí, las imágenes pueden ser engañosas, por lo que mi diagrama no prueba que el el diagrama original estaba mal. Esto solo da una idea intuitiva de dónde proviene el espacio adicional.

Para una prueba adecuada, considere los gradientes:

• El gradiente del trapecio azul es $ 5/2 = 2.5 $
• El gradiente del El triángulo rojo es $ 8/3 = 2.666 … $

Dado que los degradados no coinciden, no podemos organizarlos uno al lado del otro de esta manera sin un espacio en blanco entre ellos . Pero debido a que están cerca, se puede engañar al ojo para que piense que forman una sola línea continua y no se dan cuenta de que la pendiente del triángulo cambia a la mitad.

Comentarios

• Me encantan estos acertijos: hay ‘ una buena moral filosófica de no aceptar las cosas tal como ‘ se presentan para ti.

La imagen de la derecha engaña : las piezas en realidad no encajan perfectamente, hay una brecha en el medio. Para demostrarlo, podemos calcular el tamaño del espacio, calculando el tamaño de un triángulo, formado por:

• el lado más largo del triángulo amarillo: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• el lado inclinado del trapezoide: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• la diagonal del rectángulo en el derecha: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

El área de este triángulo se puede calcular usando la fórmula de Heron:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

donde

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

Sustituir los valores en la fórmula da exactamente 0.5 por $ A $. Hay dos de esos triángulos, por lo que «un total 1 = la discrepancia esperada.

Es un diagrama engañoso. En realidad, los ángulos no coinciden, el ángulo interior más grande del triángulo naranja es de aproximadamente 69,5 grados, mientras que es 68,2 para el cuadrilátero gris. (Corrígeme si me estoy equivocando, quitando el polvo de mi trigonometría aquí.) En el diagrama con el área 65, las áreas naranjas son en realidad cuadriláteros. Si miras de cerca, puedes ver que tienen una ligera inflexión donde se encuentran con la otra naranja. sección. De modo que el área extra proviene de expandirlos un poco.

Los triángulos no tienen la misma pendiente ; puede ver que la línea diagonal grande a través del rectángulo «más grande» se dobla. Está cubierto por las líneas gruesas alrededor de los triángulos, pero hay un agujero muy delgado que tiene un área total de un cuadrado, el mismo cuadrado que supuestamente «apareció de la nada».

Simplemente amplíe la imagen y «ll ver la respuesta.

Respuesta simple :

Esas formas (en naranja) en el lado derecho de la imagen, ¡no son triángulos en absoluto! son dos cuadriláteros. y así tienen un área mayor de lo esperado visualmente. por lo que no hay equidad aquí. Son diferentes y, por lo tanto, tienen un área total diferente.

La imagen del rectángulo inferior es engañosa, porque engaña a la gente en asumir incorrectamente que el ancho de los triángulos es exactamente 3 unidades.

El ancho real se puede calcular fácilmente: es una fracción del ancho total, definido por la altura del punto en la diagonal, o exactamente en el 8/13 de 5, es decir, 3.076923077 (y no 3), qed

Comentarios

• Según la declaración del rompecabezas, los triángulos en Ambos diagramas son idénticos y la forma de los triángulos está definida en la configuración de 8×8 para ser exactamente tres unidades por ocho unidades. El error está bien ilustrado en alexwlchan ‘ respuesta, y explicada matemáticamente en varias otras: Las piezas no ‘ en realidad no encajan en la configuración 5×13. Hay ‘ un estrecho espacio trapezoidal entre ellos, que está oculta por la línea diagonal gruesa, negra y no muy recta dibujada en la ilustración original de 5 x 13.