¿Cómo puede el área ser un vector?

Esta podría ser más una pregunta matemática . Esto es algo peculiar del espacio tridimensional. Tenga en cuenta que en tres dimensiones, un área como un plano es un subespacio bidimensional. En una hoja de papel solo necesitas dos números para denotar un punto de forma inequívoca.

Ahora imagina que estás parado en la hoja de papel, la dirección a la que apunta tu cabeza siempre será una forma de saber cómo está orientado este plano en el espacio. Esto se denomina vector «normal» a este plano, está en ángulo recto con el plano.

Si ahora elige la convención para que la longitud de este vector normal sea igual al área de esta superficie , obtienes una descripción completa del plano bidimensional, su orientación en el espacio tridimensional (la parte del vector) y qué tan grande es este plano (la longitud de este vector).

Matemáticamente, puedes expresar esto por el «producto cruzado» $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$ cuya magnitud se define como $ | c | = | a || b | sin \ theta $ que es igual al área del paralelogramo a los vectores (que realmente definen un plano) span. Para robar esta imagen del artículo de wikipedia sobre el producto cruzado:

Como dije al principio esto es algo muy especial para tres dimensiones, en dimensiones superiores, no funciona tan bien por varias razones. Si desea obtener más información sobre este tema, una palabra clave sería «álgebra exterior»

Actualización:

En cuanto al significado físico de este concepto, ejemplos destacados son los campos vectoriales que fluyen a través de superficies. Toma un alambre circular. Este círculo se puede orientar de varias formas en 3D. Si tiene un campo magnético externo, es posible que sepa que esto puede inducir una corriente eléctrica, proporcional a la tasa de cambio de la cantidad que fluye a través del círculo (piense en esto como cuánto perforan las flechas el área). Si los vectores del campo magnético son paralelos al círculo (y por lo tanto ortogonales a su vector normal) no «perforan» el área en absoluto, por lo que el flujo a través de esta área es cero.Por otro lado, si los vectores de campo son ortogonales al plano (es decir, paralelos a la normal), el máximo «perforar» esta área y el flujo es máximo.

si cambia la orientación de entre esos dos estados puede obtener corriente eléctrica.

Comentarios

• +1 para mencionar campos magnéticos. No todos los vectores de superficie utilizados en física son diferenciales.
• Gracias. Solo algunas aclaraciones. Me pediste que imaginara a una persona de pie sobre un papel & considera que la dirección de su cabeza representa el vector normal. Pero supongamos que esta persona estaba de pie exactamente en la cara opuesta, y luego ganó ‘ ¿la orientación del papel sigue siendo la misma? Pero ahora la dirección del vector está en la dirección opuesta. Por favor aclare.
• En segundo lugar, dijo que este concepto no ‘ t funciona tan bien en dimensiones superiores. Entonces, ¿eso significa que mi pregunta sobre la dirección del área de una esfera ‘ no es válida? Si es así, ¿el área es un escalar en este caso particular, ya que considerarlo como un vector no puede especificar su orientación en el espacio?
• ¿Qué ‘ le impide estar satisfecho ?
• ‘ no es satisfactorio porque, aunque axb es un vector, | axb |, es decir, el área, es un escalar, por lo tanto, no es convincente que el área sea un vector.

El régimen principal de uso es cuando un área es infinitesimalmente pequeña, como lo haría uno utilizar en una integral. En ese caso, podemos ver fácilmente que es plano, y la forma realmente no importa. En cuyo caso, podemos codificar la información como un vector, con la magnitud representando el área (escalar); la elección (como usted notado) de señalar hacia afuera de cualquier lado dado es exactamente eso — una elección — pero una que puede hacerse de manera consistente. Podemos extender esto a planos no infinitesimales, pero no funciona tan bien para superficies curvas.

Para ser precisos, lo que realmente quieres es un co-vector . Este es un dispositivo abstracto que toma un vector y escupe un escalar. Para un plano, quieres que esto represente la «cantidad» del vector que atraviesa el plano, por lo que debe ser lineal en el vector (duplicar el vector duplica la salida) y debe tener en cuenta el ángulo en el que el vector lo golpea (da un factor de $ \ cos $). Ahora, podemos preguntarnos cómo representar este co-vector abstracto, ¡y resulta que un vector es una buena idea! Específicamente, podemos representar la acción tomando el producto escalar, que naturalmente codifica la linealidad y el coseno. Ahora, en general, esto tiene el mismo número de dimensiones que un vector adecuado, pero esto solo codifica un área (una superficie 2D) en 3D — en 2D obtendría una línea, en 4D un volumen (¡sí! ¡Un 4-vector interseca un volumen en un punto!).

Si quieres aprender más sobre este tipo de cosas, quieres investigar la geometría diferencial, donde es necesario tener claro este tipo de cosas y no mezclar vectores y co-vectores (llamados formularios en ese campo). Una buena referencia legible es Gauge Fields, Knots and Gravity que comienza con una descripción básica de las matemáticas y la desarrolla para uso físico.

Comentarios

• En el contexto de las teorías de campo, como con el electromagnetismo, el concepto de » la cantidad de un vector (campo ) que atraviesa un segmento plano » recibe el nombre flujo . Por lo tanto, puede pensar que el área se caracteriza por una función que asigna vectores (o un campo vectorial) al flujo de ese vector (campo) a través del área.
• @luksen el libro que mencionó es bueno ¿Para qué nivel de conocimientos matemáticos y físicos? Para reformular, ¿cuáles son los requisitos previos para comenzar a seguir el libro de manera eficiente? ¿Y es un libro de grado o de grado?

Piense que la fuerza es la presión multiplicada por el área ($ F = P \ cdot A $). Sabes que la presión es un escalar (no tiene una dirección asociada), y una fuerza es un vector (actúa a lo largo de un eje). Entonces, ¿qué significa eso para la presión?

Tome un área pequeña y vea su contribución a la fuerza total debido a la presión

$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$

La dirección de la fuerza es normal al área y su magnitud es proporcional al tamaño del área. Por eso área infinitesimal $ {\ rm d} A $ puede ser un vector. Es conveniente pensar en (vector) = (escalar) * (vector).

Hay un ejemplo especialmente pintoresco de la Ley de Pitágoras en tres dimensiones aplicadas a las áreas de un simplex. (Donde por «simplex» creo que me refiero a una sección del espacio delimitada por tres planos y un plano arbitrario.) La suma de los cuadrados (de las áreas) de las tres caras pequeñas es igual al cuadrado del área de la cara oblicua. Se explica fácilmente por los argumentos de tipo presión / flujo presentados en las otras respuestas publicadas aquí, además de la condición física obvia de que un fluido no perturbado está en equilibrio consigo mismo.