Hoy mi hermano menor me preguntó de dónde viene la fórmula de 1 Pa = 0.00750061683 mmHg para el barómetro de mercurio. Necesita una forma de derivarlo o una fuente académica que pueda citarse.
Después de hacer algunos cálculos, obtuvimos la fórmula para un manómetro de tubo en U estándar: $ P = \ frac {h_2} {h_1} P_0 $ donde $ P_0 $ es la presión atmosférica, $ P $ es la presión medida, $ h_1 $ es la altura es la columna de mercurio expuesta a la presión atmosférica y $ h_2 $ es la altura de la columna expuesta a la presión que se mide.
El problema es que en el caso de un barómetro, $ h_2 $ está expuesto al vacío y no sé cómo usarlo.
Busqué en Internet y obtuve innumerables sitios que explican cómo funciona un barómetro de columna de mercurio, pero no pude encontrar un sitio que explica qué fuerzas actúan allí y cómo se obtuvo el número. Para empeorar las cosas, ninguno de los libros de física a los que tengo acceso tiene una explicación detallada.
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Si la altura La diferencia entre el nivel de mercurio en los dos brazos es $ h $ (se llama $ \ Delta h $ en la figura), luego
$$ P_1 – P_2 = h \ rho g $$
donde $ P_1, P_2 $ son las presiones en ambas alas (llamadas $ P, P _ {\ rm ref} $ en la figura). Una de ellas es la presión atmosférica medida. Las dos presiones se restan porque el aire empuja el líquido desde los dos lados en dos direcciones opuestas. También puede mover $ P_2 $ hacia el lado derecho, de modo que los dos lados expresen exactamente la presión en ambas direcciones (para ser específico, puede pensar en las fuerzas que actúan en un separador especial insertado hasta el punto $ B $ en la parte inferior de la figura; la mayor parte del mercurio se cancela, solo la diferencia de altura no lo hace).
La fórmula de la escuela básica $ h \ rho g $ para la presión puede derivarse como la fuerza de la columna de mercurio por unidad ar ea de la base. La masa es $ V \ rho = A h \ rho $, la fuerza es $ g $ veces mayor, es decir, $ A h \ rho g $, y la fuerza por unidad de área es, por lo tanto, $ h \ rho g $ porque $ A $ cancela . Mi derivación solo es válida para formas «cilíndricas», pero la fórmula $ h \ rho g $ es verdadera para cualquier forma; la presión solo depende de la profundidad $ h $ debajo de la superficie.
Restringiendo nuestra atención solo a las diferencias de presión y altura, está claro que $ h = 1 $ milímetro de mercurio corresponde a la diferencia de presión:
$$ \ delta P = h \ rho g = 0.001 \, {\ rm m} \ times 13,595.1 \, {\ rm kg} / {\ rm m} ^ 3 \ times 9.80665 \, { \ rm m} / {\ rm sec} ^ 2 = 133.332 \, {\ rm Pa} $$
La relación inversa es 1 Pascal es equivalente a $ 1 / 133.332 = 0.0075006 $ mmHg. Los valores exactos de las densidades son un poco convencionales: las densidades dependen de la temperatura y la presión y la aceleración gravitacional depende del lugar. En el pasado, no se necesitaba 1 mmHg con tanta precisión. En la era moderna, definimos 1 mmHg por su relación, y 1 Pa se define con mucha más precisión en términos de «física fundamental».
Comentarios
- ¡Muchas gracias! El límite de 15 caracteres y el límite de 15 segundos es una idiotez.
- @AndrejaKo El límite mínimo de caracteres está ahí para filtrar los comentarios que solo agregan ruido, como " Gracias mucho! ". Los votos positivos y las aceptaciones deberían ser suficientes gracias.
- @deadly Excepto que ' he tenido numerosas situaciones en las que solo unos pocos caracteres serían suficientes. Además, no ' asuma que yo ' no sé aceptar y votar a favor.
- @AndrejaKo Estaba intentando para explicar la razón fundamental detrás del requisito de carácter mínimo, sin impugnar su capacidad para aceptar y votar.