Puede asociar puntos en la superficie de una esfera unitaria con estados de espín puro de la siguiente manera simple.

Un punto de la esfera $ (n_x, n_y, n_z) $ está asociado con un autovector del operador $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ con un autovalor positivo y viceversa. Esto incluye todos los estados de giro de una sola partícula de espín 1/2.

Y esto no es aleatorio, ni de visualización ni de matemáticas. Si tiene un dispositivo Stern-Gerlach con una inhomogeneidad de campo magnético que apunta en la dirección $ (n_x, n_y, n_z) $, entonces desviará constantemente ese rayo en una dirección particular cuando tenga ese estado que es propio de $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Pero, ¿no es esto muy confuso? Si se eligen los polos norte y sur, entonces ambos estados son en la misma línea y ya no ortogonal,

No es confuso en lo más mínimo. La geometría está relacionada con la orientación del dispositivo físico en el laboratorio al que su estado da resultados confiables.El dispositivo de orientación opuesta también ofrece resultados fiables. Esto es común para los estados ortogonales de que los estados teonortgonales pueden ser propios del mismo operador.

Por tanto, diferentes puntos de la esfera de Bloch identifican diferentes orientaciones que dan el resultado «arriba» para diferentes estados. No confunda la orientación del dispositivo de medición en el espacio 3d con la geometría de los estados en el espacio de giro.

entonces, ¿cómo se puede elegir un punto arbitrario $ p $ en la superficie de la esfera y posiblemente descomponerlo en términos de $ 0,1 $ estados para encontrar $ a $ y $ b $?

Es al revés. ¿Cómo decidiste llamar a un estado 0 y a otro 1? Escogió una orientación aleatoria y la llamó zy orientó su dispositivo para que el campo magnético apunte de esa manera. Eso te dio altibajos.

Pero ahora podemos especificar cualquier estado de giro. Igual tienes un punto arbitrario $ (n_x, n_y, n_z) $ y luego encuentra el vector propio de $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Con valor propio positivo. Llámalo $ \ left | s \ right \ rangle, $ luego $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$ para que estén tus $ a $ y $ b $ excepto que no conoces la fase general y la magnitud, pero un estado de giro de una sola partícula no tiene uno de esos .

¿Significa esto que uno no debería considerar la esfera de Bloch como una base válida para nuestro sistema y que es solo una ayuda de visualización?

No, significa que no debes confundir la geometría en el laboratorio con la geometría del espacio de Hilbert. La física es una ciencia experimental, por lo que definitivamente son relacionados pero no son lo mismo.

Si desea proyectar un vector en un eigenspaces, no proyecte las etiquetas entre sí. Puede tener un estado de giro y otro estado de giro y cuando coloca uno a través de un dispositivo Stern-Gerlach orientado hacia el otro, los grados espaciales de libertad se dividen y separan en uno que está hacia arriba en esa dirección y uno que está espacialmente hacia abajo desde ese. dirección y el estado de giro literalmente cambia para apuntar hacia arriba en el rayo que subió espacialmente y apuntar hacia abajo en el rayo que descendió. Así que el giro de una partícula se ha entrelazado con su propia posición.

El tamaño de la proyección de Hilbert te indica el tamaño de las partes espaciales que se desviaron y dividieron. Pero tampoco necesitas literalmente para recordar reglas como esa. Si escribe la ecuación de Schrödinger para el dispositivo Stern-Gerlach, el rayo se divide y separa en las partes del tamaño correcto y los espines se alinean en las dos polarizaciones y sucede sin que usted le diga que lo haga.

Entonces entonces el estado de giro es claro. Te está diciendo la dirección en la que irá de manera confiable si le das una oportunidad. Y si lo coloca en un Stern-Gerlach con una orientación diferente, se verá obligado a ir en una de las dos direcciones permitidas por esa orientación y se dividirá e irá en ambas. Para obtener los tamaños de cada parte, puede desarrollar la ecuación de Schrödinger o calcular los autovectores del operador $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ y puntearlo con el autovector de autovalor positivo ortogonal al otro vector.

Y sí, hay formas más fáciles de hacer esto y puede sacar más provecho de ello. Pero es de esperar que veas la otra geometría.

¿Podrías mostrar cómo se obtienen $ cos \ theta / 2 $ y $ e ^ {i \ phi } $ términos?

Estaba usando los operadores de giro de Pauli, si desea elegir una base, puede escribirlos como matrices (un operador es una función en un espacio vectorial , una matriz sustituye a un operador después de seleccionar una base; el operador existe y es el mismo independientemente de la base que pueda o no seleccionar más adelante). $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matriz} \ right). $$

Y el vector propio con valor propio positivo es $ \ left (\ begin {matriz} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matriz} \ right), $ a menos que $ n_z = 1 $ entonces es $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ Tratemos el caso de $ n_z = 1 $ primero, en ese caso $ a = 1 $ y $ b = 0 $ y $ \ theta = 0 $ entonces $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ todo funciona.

Si desea escribir el vector propio como un vector unitario, obtiene $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Si quieres ajustar la fase para que la primera coordenada sea real y positiva, obtienes $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ end {matrix} \ right). $

El resto es trigometría, por ejemplo, $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Así que solo tenemos que mostrar que $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ y que $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ La última es una identidad trigonométrica $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

La primera es $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

Comentarios

• ¿Por qué necesitamos una esfera 3D y no solo un círculo en un plano? Si imaginamos el qubit como los 2 valores posibles del espín de un átomo o su superposición … ¿Cuál ‘ es el significado físico del ángulo azimutal ϕ?

A. Sistemas de dos estados

Sea un sistema de dos estados, los estados son independientes de las coordenadas espacio-temporales. En este caso, el sistema tiene un nuevo grado de libertad . Un ejemplo clásico es una partícula con momento angular de espín $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

Sea a los dos estados correspondientes el estados básicos \ begin {ecuación} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {ecuación} llamado up y down state respectivamente.

Un estado del sistema se expresa mediante el vector de estado \ begin {ecuación} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {donde} \: \: \: \ xi, \ eta \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {y} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {ecuación} Los números complejos $ \: \ xi, \ eta \: $ son las amplitudes de probabilidad y los reales no negativos $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ las probabilidades de que el sistema esté en el estado $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ respectivamente.

El espacio de Hilbert de los estados del sistema es en muchos aspectos idéntico a (la esfera unitaria de) el espacio complejo $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

Un observable del sistema estaría representado por un $ \: 2 \ times2 \: $ matriz hermitiana A de la forma \ begin {ecuación} A = \ begin {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {with} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {ecuación} por lo que el espacio lineal del $ \: 2 \ times2 \: $ matrices hermitianas es en muchos aspectos idéntica a $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . A partir de la base habitual de $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ construimos una base para este espacio de matrices \ begin {ecuación} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v fantasma {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ etiqueta {04} \ etiqueta {04} \ end {ecuación}

Ahora, si los estados básicos $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ de la ecuación \ eqref {01} corresponden a los estados propios de los valores propios $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ respectivamente de un observable, entonces este observable estaría representado por la matriz
\ begin {ecuación} \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {ecuación} no se incluye en \ eqref {04}. Pero en lugar de la base \ eqref {04} podríamos hacer uso de las siguientes combinaciones lineales de ellas \ begin {align} E «_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E «_2 \! = \! E_2 \! = \! \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E «_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E «_4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} y cambiar los símbolos y arreglo

\ begin {ecuación} I = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ etiqueta {07} \ etiqueta {07} \ end {ecuación} donde $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \: $ las matrices de Pauli .

Ahora, los estados básicos $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ de la ecuación \ eqref {01} son autoestados de $ \: \ sigma_3 \: $ por lo que «es necesario expresarlo con el subíndice $ \:» 3 «\: $ \ begin {ecuación} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ etiqueta {08} \ etiqueta {08} \ end {ecuación} Esto debe hacerse para las amplitudes de probabilidad $ \: \ xi, \ eta \: $ también \ begin {ecuación} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {donde} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {y} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ etiqueta {09} \ etiqueta { 09} \ end {ecuación} La razón de esto es que podemos usar como estados básicos del espacio de Hilbert igualmente bien los eigenstates $ \: \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle \: $ de valores propios $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ respectivamente de $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {ecuación} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ etiqueta {10} \ label {10} \ end {ecuación} de modo que \ begin {ecuación} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {donde} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {y} \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ etiqueta {11} \ etiqueta {11} \ end {ecuación} o el correspondiente a $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {ecuación} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {ecuación} de modo que \ begin {ecuación} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {donde} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {y} \: \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {ecuación} Los eigenstates $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ se muestran esquemáticamente en la Figura-04.

Ahora, \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} entonces \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} También \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} entonces \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ izquierda (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} En las ecuaciones \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} por $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ denotamos el conjugado complejo del número complejo $ \: z \: $ y por $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ las partes real e imaginaria de $ \: z $ .

Desde $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ configuramos (ver Figura-01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {ángulo polar con respecto a $ x_3- $ axis} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} entonces \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {ángulo azimutal con respecto a $ x_3- $ axis} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Bajo estas definiciones \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ izquierda (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} y ecuaciones \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} producen las siguientes probabilidades \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

Tenga en cuenta que el estado $ \ vert \ psi \ rangle $ de la ecuación \ eqref {09} podría expresarse como \ begin {ecuación} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {ecuación} o ignorando la fase factor $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {ecuación} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ) \ vert d_3 \ rangle \ etiqueta {24} \ etiqueta {24} \ end {ecuación}

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B. En esfera – En bola

En la Figura-01 vemos los detalles de las definiciones \ eqref {18a}, \ eqref {18b} y \ eqref {18c}. Esta es una vista en plano desde un punto en el plano del círculo $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ en la Figura-03. Tenga en cuenta que esta Figura-01 es válida si todos los subíndices $ \: «3» \: $ serán reemplazados por $ \ : «1» \: $ o $ \: «2» $ . La definición y el significado de varios puntos se dará a continuación.

En la Figura 02 vemos la geometría de las ecuaciones \ eqref {21a}, \ eqref {21b} y \ eqref {22a}, \ eqref {22b}. Esta es una vista en plano desde un punto en los aspectos positivos del eje $ \: x_3- $ .

Vea una vista 3d de la Figura-03 aquí

En la Figura-03 tenemos una esfera de diámetro 1 en un espacio tridimensional $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ no es idéntico al espacio físico. En la esfera, un punto $ \: \ Xi \: $ representa un estado del sistema \ begin {ecuación} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {ecuación} Ahora para $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = punto \ : \: en \: \: + 1/2 \: \: de \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \: \: que representa \: \: el \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = punto \: \: en \: \: – 1/2 \: \: de \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! eje \: \: que representa \: \ : el \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projec ción \: \: de \: \: el \: \: estado \: \: punto \: \: \ Xi \: \: en \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! eje \ etiqueta {26.03} \ etiqueta {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = magnitud \: \: de \: \: probabilidad \: \: amplitud \: \: de \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = magnitud \: \: de \: \: probabilidad \: \: amplitud \: \: de \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = probabilidad \: \: de \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = probabilidad \: \: de \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ etiqueta {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polar \: ángulo \: con \: respeto \: al \: el \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! eje \ etiqueta {26.08} \ etiqueta {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azimutal \: ángulo \: con \: respeto \: al \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! eje \ etiqueta {26.09} \ etiqueta {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = mitad \: el \: ángulo \: polar \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = radio \: de \: el \: círculo, \: intersección \: de \: la \: esfera \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \: \: con \: el \: plano \: a \: punto \: \ Xi \: normal \: a \: el \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

Comentarios

• como siempre una figura impresionante.
• Yo no ‘ No entiendo cuando dices (05) no ‘ t incluido en (04), no ‘ ¿No es $ E_3 $? Además, ‘ no entiendo cómo $ E_3 – E_4 $ no ‘ no tiene todos los ceros y un -2
• @ gary69: Bienvenido a PSE. Muchas gracias por su atención. Fue un error tipográfico en la ecuación $ \ eqref {04} $ I edito a la derecha. Cuando, en el futuro, gane reputación, pueda ver el historial de edición de mi respuesta, notará que este error tipográfico se realizó en la séptima edición del 25 de agosto de 2020.

Un simple comentario extendido que simplifica la excelente respuesta de @Timaeus a una forma más memorable.

El vector de estado
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ define una matriz de densidad de estado puro a través de su operador de proyección, $$ \ bbox [yellow] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Tenga en cuenta la invariancia manifiesta en el cambio de fase general de $ | \ psi \ rangle $ .

La expresión de principios generales « de esta matriz de densidad hermiteana idempotente también es, evidentemente, $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ con $ \ hat n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

Es decir, el El eje $ \ hat z $ gira hacia el eje $ \ hat n $ por ángulos de rotación completos (adjuntos) , especificando una expresión de operador de medio ángulo (espinor, fundamental).

Piensa en el giro de los fotones

Pensar en este caso más concreto me ayudó a tener algunas imágenes útiles en mi cabeza. Incluso hay una más Analógico orientado a la óptica que vale la pena tener en cuenta: la Esfera de Poincaré .

El giro del fotón es un sistema cuántico de dos estados , que como menciona Frobenius , es lo que modelan las esferas de Bloch.

El giro de los fotones también es fácil para comprender / visualizar / manipular experimentalmente.

Filtros polarizadores físicos

Primero pensemos en lo más concreto posible: los filtros polarizadores.

Hay dos tipos de filtros polarizadores en los que podría pensar:

• polarizador lineal, en cualquier ángulo entre -90 y 90.

  Ej. aquí «hay uno a 90 grados:

  

  y aquí hay uno a 45 grados:

  

  y aquí hay uno a 0 grados:

  

  Fuente

  Wikipedia describe algunas formas de crear dichos filtros, y las imágenes de arriba son filtros Polariod , que se utilizan en gafas de sol y fotografía y, por lo tanto, están fácilmente disponibles. .

  Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, las orientaciones de 90 y 0 grados hacen la misma medida: la única diferencia es que una deja pasar el fotón pero la otra lo bloquea. Pero podemos usar ambas por igual para determinar el nivel de polarización vertical lineal del fotón: solo hay que tomar el complemento el val ue.

  Y dado que cada medida corresponde a una matriz hermitiana , podemos representar tanto 0 como 90 con una sola matriz:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  Y la matriz de 45 grados es:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• polarizador circular, que , como explica Wikipedia , generalmente está hecho con una placa de cuarto de onda + una polarizador:

  

  Fuente .

  Su matriz correspondiente es:

  $$ M_i = \ begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

Las matrices anteriores son las llamadas matrices de Pauli .

Algunos vectores de estado interesantes

Ahora démosle nombres a 6 polos que representan 6 posibles estados de fotones interesantes en la esfera de Bloch e intente comprender cómo interactúan con los filtros.

Fuente .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { lineal 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {circular en sentido horario} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {circular en sentido antihorario} \\ \ end {alignat *} $$

Lo primero que notamos es que lo siguiente los pares son todas bases:

• $ \ vert 0 \ rangle $ y $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ y $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ y $ \ vert -i \ rangle $

Por ejemplo, podríamos representar:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

Y luego, también observamos que:

• $ \ vert 0 \ rangle $ y $ \ vert 1 \ rangle $ son vectores propios de $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ y $ \ vert – \ rangle $ son vectores propios de $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ y $ \ vert -i \ rangle $ son vectores propios de $ M_i $

Si recordamos que el resultado de una medición en mecánica cuántica es el vector propio de un valor propio, con probabilidad proporcional a la proyección, obtenemos las siguientes probabilidades muestrales para estos experimentos:

• $ \ vert 0 \ rangle $ estado en:

  • polarizador lineal 90 °: 100% aprobado

  • polarizador lineal 0 °: 0% pasa

  • polarizador lineal 45 °: 45% pasa, porque:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • Polarizador lineal -45 °: 45% de paso

  • Polarizadores circulares: 45% de paso.Esto se debe a que un estado lineal 0 se puede descomponer en dos polarizaciones circulares:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • lineal 90 °: 0% pasa
  • lineal 0 °: 100% pasa
  • lineal 45 °: 45% pasada
  • lineal -45 °: 45% pasada
  • circular: 45% pasada
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • lineal 90 °: 45% de paso
  • lineal 0 °: 45% de paso
  • lineal 45 °: 100% pasa
  • lineal -45 °: 0% pasa
  • polarizadores circulares: 45% pasa
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • lineal 90 °: 45% pasada
  • lineal 0 ° : 45% pasa
  • lineal 45 °: 45% pasa
  • lineal -45 °: 45% pasa
  • circular en sentido horario: 100% pasa
  • circular en sentido antihorario: 0% pase

Fase relativa

Una intuición semiclásica importante para recordar es que:

circular polarización == dos polarizaciones lineales ortogonales 90 grados fuera de fase:

Fuente .

Por ejemplo, en :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

tenemos una fase relativa de 90 grados debido al $ i $ diferencia de fase relativa entre $ \ vert 0 \ rangle $ y $ \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

Pero en la diagonal, están en fase con respecto a $ \ vert 0 \ rangle $ y $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

por lo que la fase relativa es 0 para esa.

Camine la esfera

Una forma común de representar un estado en la esfera de Bloch es dar solo los dos $ \ ángulos theta $ y $ \ phi $ como se muestra a continuación:

Fuente .

Dado que una esfera no es euclidiana, una buena forma de visualizarla es recorrer algunos senderos fáciles de entender a su alrededor. En la siguiente imagen hacemos dos rutas:

• empezar en 0, pasar por +, 1, -, y volver a 0
• empezar en 0, pasar por i , 1, -i, y vuelva a 0

Fuente .

Caminando de + a i, -, -i y de regreso a + se deja como ejercicio: el círculo se convertiría en un eclipse oblicuo, y se adelgaza cada vez más en una línea de 45 grados.

Esto conduce a una interpretación clara de los ángulos:

• $ \ theta $ : cuanto más grande es, es más probable que $ \ vert 1 \ rangle $ se compara con $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ : la fase relativa entre $ \ vert 0 \ rangle $ y $ \ vert 1 \ rangle $ . Esta fase relativa no puede ser detectada por un polarizador vertical u horizontal

¿Cómo podemos bajar de 4 números reales a solo 2 en el estado ?

En la esfera de Bloch, podemos representar el estado con solo 2 parámetros reales: los ángulos $ \ theta $ y $ \ phi $

Pero en los vectores de estado completo más explícitos, parece haber 2 números complejos y por lo tanto, 4 números reales:

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

Por qué uno de los números debe eliminarse es fácil: la probabilidad total debe sea 1, por lo que:

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

por lo que en ese momento ya estamos restringidos a una 3 esferas .

El segundo es más interesante: podemos eliminar otro parámetro porque la fase global del estado no puede ser detectada por ningún experimento y así somos libres de elegirlo arbitrariamente.

Una fase global es un número imaginario. El módulo de ese número debe ser 1 para mantener la probabilidad total. Los experimentos no pueden detectar cambios de fase globales porque los resultados de la medición:

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

en cualquiera de los filtros es lo mismo que medir:

$$ \ text {fase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {fase} \ veces k_1 \ vert 0 \ rangle $$

porque $ | \ text {fase} | = 1 $ .

Por lo tanto, una elección natural es elegir una fase global que rota el estado de manera que el multiplicador de $ \ vert 0 \ rangle $ se convierte en un número real, es decir, configurando $ b = 0 $ .

Entonces, por ejemplo, al multiplicar por un número imaginario, podríamos mapear estados más generales en estados más restringidos como

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ end {bmatrix} \ times -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ end {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

¿Por qué hay exactamente tres matrices de Pauli?

Creo que hay razones matemáticas claras y profundas que explican esto, vinculadas a que son una base del espacio matricial hermitiano 2×2 como se menciona en: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 y https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states y es el quid de la cuestión de por qué la esfera de Bloch es utilizado, pero no lo he comprendido completamente.

Pero en términos más prácticos: los tres dispositivos de medición que diseñamos cribed son las únicas tres posibilidades (hasta rotaciones globales) de modo que después de pasar por una, pierdes toda la información sobre los otros dos (50% de probabilidad en los otros dos experimentos).

Por lo tanto, son ortogonales en cierto sentido, y máxima, ya que no hay ningún otro experimento que podamos agregar a ese conjunto de experimentos de modo que esta propiedad se mantenga.

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Esta es otra sugerencia que vale la pena. Haga clic en esas imágenes hasta que todo tenga sentido.