Conservación de 4 momentos en relatividad especial

Entiendo que el producto interno de dos 4 vectores se conserva bajo las transformaciones de Lorentz

Sí, $ p_1.p_2 $ es un invariante de Lorentz

De modo que el valor absoluto de los cuatro momentos es el mismo en cualquier marco de referencia.

Es No es correcto hablar del «valor absoluto» de un vector (quadri). Lo que se conserva en una transformación de Lorentz es $ p ^ 2 = (p ^ o) ^ 2 – \ vec p ^ 2 $

Esto es lo que (muy probablemente erróneamente) el pensamiento se refería a la conservación del impulso.

No, la conservación del impulso es algo completamente diferente. En última instancia, tiene alguna teoría que describe campos e interacciones, que se describen mediante una acción que es invariable por algunas simetrías. Si la acción es invariable por las traslaciones de espacio y tiempo, entonces hay una cantidad conservada que es el momento / energía.

No entiendo por qué ecuaciones como P 1 = P 2 + P 3 (Pi son vectores de 4 momentos para diferentes partículas en una colisión por ejemplo) debería mantenerse, dentro de un marco de referencia. Me han dicho que no se puede simplemente sumar cuatro velocidades en la colisión de partículas, entonces, ¿por qué debería poder hacer esto con los vectores de momento?

Si la acción de la teoría es invariante por traslaciones espacio / tiempo, entonces el momento / energía se conserva, por lo que el momento / energía total de las partículas iniciales es el mismo que el total momento / energía de las partículas finales:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {out} ^ \ mu \ tag {1} $$

Si hay varias partículas iniciales, se consideran independientes (el estado global es el producto tensorial de los estados de las partículas iniciales). La independencia significa que tienen:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = \ sum_i p_i ^ \ mu \ tag {2} $$ donde la suma es aproximadamente t todas las partículas iniciales. Una ecuación similar es válida para las partículas finales.

En relatividad especial, si agrega dos velocidades, debe usar la fórmula

$$ v = (v_1 + v_2) \ left (1+ \ frac {v_1v_2} {c ^ 2} \ right) ^ {- 1} \ text {.} $$

Por lo tanto, no puede simplemente sumar dos velocidades. Por lo general, la velocidad no es una buena variable para trabajar en relatividad especial. Es mucho más fácil usar la conservación de cuatro momentos, que simplemente viene dada por

$$ p = p_1 + p_2 \ text {,} $$

para una colisión de partículas donde dos partículas con $ p_1 $ y $ p_2 $ chocan y luego se unen y tienen el impulso $ p $. Dado que el impulso de cuatro está dado por

$$ p = \ begin {pmatrix} E / c \\ \ vec {p} \ end {pmatrix} \ text {,} $$

la conservación de cuatro momentos no es otra cosa que la conservación de la energía $ E $ y la conservación de tres momentos $ \ vec {p} $.

Para responder a sus preguntas:

Por qué puede ¿agregamos cuatro momentos en una colisión de partículas? Porque la conservación de la energía y el momento también se mantiene en la relatividad.

¿Por qué no puede «t ¿sumamos cuatro velocidades en una colisión de partículas? Porque no existe la «conservación de la velocidad», ni de forma clásica ni en relatividad.

Comentarios

• Esta respuesta fue genial. Tengo una pregunta aclaratoria: ¿$ (P_1 + P_2) ^ 2 $ será invariable, por lo tanto $ (P_1 + P_2) ^ 2 = – (m_1 + m_2) ^ 2c ^ 2 $?