K diagonalizaci kvadratického výrazu v antiferagnetickém Heisenbergově modelu můžeme zavést Bogoliubovovu transformaci: $ a_k = u_k \ alpha_k + v_k \ beta_k ^ \ dagger $, $ b_k ^ \ dagger = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ dagger $. Tato transformace může diagonalizovat kvadratický člen v hamiltoniánu:
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ dagger_ka_k + b ^ \ dagger_kb_k + \ gamma_ka ^ \ dagger_kb ^ \ dagger_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pm atrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \ end {align}
s $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k = – \ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . Ale transformace U: $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { k} \ end {pmatrix} $ není jednotné, protože $ u_k, v_k $ jsou skutečné, $ U ^ \ dagger \ neq U ^ {- 1} $.
Není zachován počet bosonů , takže transformace nemusí být jednotná? Existují nějaká omezení pro transformaci bosonu?
Komentáře
- Důležité je, že po transformaci stále platí standardní komutační vztahy.
- související: physics.stackexchange.com/q/53158
odpověď
Máte pravdu, Bogoliubovovy transformace nejsou obecně jednotné. Podle definice
Bogoliubovovy transformace jsou lineární transformace operátorů vytváření / zničení, které zachovávají algebraické vztahy mezi nimi.
Algebraické vztahy jsou hlavně komutační / antikomutační vztahy , které definují bosonické / fermionické operátory. Nikde v definici jsme neurčili, že transformace by měla být jednotná. Bogoliubovská transformace (ve své nejobecnější podobě) je ve skutečnosti symplectic pro bosony a ortogonální pro fermiony . Bogoliubovská transformace není ani v jednom případě jednotná. Bogoliubovova transformace bosonů odpovídá lineární kanonické transformaci oscilátorů v klasické mechanice (protože bosony jsou kvantem oscilátorů) a víme, že lineární kanonické transformace jsou symlektické kvůli symplektické struktuře klasického fázového prostoru.
Takže abych byl konkrétnější, jaká jsou omezení na Bogoliubovské transformace? Uvažujme případ $ n $ režimů jedné částice buď bosonů $ b_i $, nebo fermionů $ f_i $ (kde $ i = 1,2, \ cdots, n $ označí stavy jednotlivých částic, například vlastní hybnost). $ B_i $ i $ f_i $ nejsou hermitovské operátory, což pro obecné zacházení není docela vhodné (protože nemůžeme jednoduše považovat $ b_i $ a $ b_i ^ \ dagger $ za nezávislý základ, protože jsou stále ve spojení transformaci částicové díry). Proto jsme se rozhodli přepsat operátory na následující lineární kombinace (motivované myšlenkou rozložit komplexní číslo na dvě reálná čísla, jako je $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ začít {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dagger & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dagger & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ kde $ a_i = a_i ^ \ dagger $ a $ c_i = c_i ^ \ dagger $ (pro $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) jsou hermitovské operátory (analogické s reálnými čísly).Musí zdědit komutační nebo antikomutační vztahy od „komplexních“ bosonů $ b_i $ a fermions $ f_i $: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dagger] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ dagger, b_j ^ \ dagger] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dagger \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dagger, f_j ^ \ dagger \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ kde $ g_ {ij} ^ a $ a $ g_ {ij} ^ c $ se někdy nazývá kvantová metrika pro bosony a fermiony. V maticových formách jsou dány $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { matrix} \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matrix} \ right], $$ s $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ je maticí identity $ n \ times n $. Takže zachování algebraických vztahů mezi operátory vytvoření / zničení znamená zachování kvantové metriky . Obecné lineární transformace operátorů $ a_i $ a $ c_i $ mají formu $$ a_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ kde prvky transformační matice $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ musí být skutečné, aby bylo zajištěno, že operátoři $ a_i $ a $ c_i $ zůstanou Hermitian po transformaci. Pak pro zachování kvantové metriky je vyžadovat $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ Takže libovolné skutečná lineární transformace splňující výše uvedené podmínky je Bogoliubovova transformace v nejobecnějším smyslu. Pak v závislosti na vlastnostech kvantové metriky je Bogoliubovova transformace buď symplektická, nebo ortogonální. Pro bosonickou kvantovou metriku je $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ antisymetrické , takže transformace $ W ^ a $ je symplektická . Pro fermionickou kvantovou metriku je $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ symetrické , takže transformace $ W ^ c $ je ortogonální .
Komentáře
- Může někdo doporučit zdroj, aby se dozvěděl více o tomto formalismu, tj. rozkladu operátorů vytvoření / zničení jako “ komplexní čísla “ a zachování kvantové metriky?
odpověď
Unitarita kvantové mechanické transformace není určena tím, jak kombinuje operátory vytvoření a zničení. (Nezáleží na tom, jaký druh matice — ortogonální, symplektický nebo unitární — je zapojen do míchání!) Spíše jeden by měl prozkoumat, zda je transformace spojena s unitárním operátorem působícím na Hilbertově prostoru.
Uvedený Bogoliubovův transformační OP může být reprezentován následovně ($ \ textbf {k} $ – závislost je potlačena): $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dagger}, \\ \ hat {b} ^ {\ dagger} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dagger}, $$ kde $ \ lambda $ je reálné číslo. Tato transformace je jednotná právě tehdy, pokud existuje jednotný operátor $ U $ takové, že $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = U \ hat {b} ^ {\ dagger} U ^ {- 1}. $$ Ve skutečnosti jsou tyto vztahy splněny s následující volbou: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hat {b} ^ {\ dagger} \ hat {a} ^ {\ dagger}) \ Big], $$ takže transformace je jednotná.
Odpověď
Dovolte mi pracovat na této části maticové rovnice $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$ Důležitou součástí je, že lze vidět transformaci polí i trans tvorba matice $$ \ Gamma ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dagger \ Gamma M, $$ kde $ M ^ \ dagger ~ = ~ M $. Determinantem je $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ Determinant $ M $ pak dává $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Ty pak mohou být reprezentovány $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ a $ v_k ~ = ~ cosh (k) $.
Nyní vyhodnoťte komutátor $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dagger_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dagger_k]. $$ Pro komunikátory $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ a pak uvidíme $ [a_k, ~ a_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $. Totéž jasně platí $ [b_k, ~ b_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ To znamená, že jakýkoli systém s jednotkami $ N \ hbar $ je konstantní. Objem fázového prostoru systému se nezmění. to pak znamená, že Bogoliubovovy transformace jsou skutečně jednotné.
Komentáře
- Takže obecné jednotné transformace ‚ s definice jsou delší $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $, které se dozvídáme z učebnice? Nerozumím ‚ nerozumím ‚ To znamená, že jakýkoli systém s jednotkami akce Nℏ je konstantní. Objem fázového prostoru systému se nezměnil ‚, chtěli byste to vysvětlit?
- Mimochodem, existují nějaká omezení transformace? systému bosonů (Hamiltoniánů)?
- @ZJX Nerozumím tomu, proč Lawrence řekl, že bosonické Bogoliubovovy transformace jsou “ účinně unitární „. Myslím, že by měli být obecně symplektičtí. Omezení vychází ze zachování definice bosonických operátorů (takové, že bosonické operátory zůstanou bosonické během transformace). Z bosonického systému (Hamiltonian) nepřichází žádné omezení. Pokud je Hamiltonián Hermitián, je to legitimní Hamiltonián. Jakákoli symplektická transformace použitá na Hamiltonian je legitimní Bogoliubovská transformace.
Odpověď
Ne, je to jednotné transformace, ale pouze když vezmete v úvahu Hamiltonovův elektronový & otvor.
Komentáře
- Ale tady je model o rotaci, ‚ to není fermion, ne?