Co je cesta integrální? [uzavřeno]

Matematicky je integrál cesty generalizací vícerozměrné integrální. U obvyklých $ N $ -dimenzionálních integrálů se integruje $$ \ int dx_1 dx_2 \ tečky dx_N $$ v podprostoru $ {\ mathbb R} ^ N $, což je $ N $ -dimenzionální integrál. Integrál cesty je nekonečně dimenzionální integrál $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ přes všechny možné funkce $ f (y) $ proměnné $ y $, což může být reálné číslo nebo vektor. Hodnoty funkcí $ f (0) $, $ f (0,1) $, $ f (0,2) $ atd. Hrají stejnou roli jako proměnné $ x_1 $, $ x_2 $ atd. V obvyklém vícerozměrném integrálu .

Protože index $ i $ z $ x_i $ přebíral hodnoty v konečné sadě $ 1,2, \ dots N $ a nyní je nahrazen spojitou proměnnou $ y $, integrál cesty je nekonečně-dimenzionální integrál.

Důkladní matematici vidí spoustu problémů, které brání tomu, aby někdo definoval integrál nekonečné cesty pomocí teorie míry. Fyzici však vědí, že s podobnými integrály se dá zacházet. Při pokusu o jejich výpočet existují určité „ultrafialové odchylky“ atd., Ale může se s nimi vypořádat. V podstatě chce člověk použít všechna přirozená pravidla, která platí pro konečně-dimenzionální integrály. Například (path) integrály součtu dvou funkcí jsou součtem dvou (path) integrálů atd.

Dvě nejdůležitější aplikace cestových integrálů ve fyzice jsou ve Feynmanově přístupu na kvantovou mechaniku, zejména kvantovou teorii pole; a statistickou mechaniku.

V (klasické) statistické mechanice je třeba vypočítat součet oddílů $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ přes všechny konfigurace $ c $ fyzického systému. Ale protože konfigurace jsou často označeny celými funkcemi $ f (y) $ – nekonečně mnoho hodnot na všech povolených hodnotách argumentu $ y $ – součet není „opravdu“ součet“. Není to ani konečně-dimenzionální integrál. Je to integrál cesty.

V kvantové mechanice se složité amplitudy pravděpodobnosti atd. Počítají jako $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ tj. jako integrální cesta ve všech konfiguracích proměnných $ \ phi (y) $ atd. Integrand je fáze – číslo, jehož absolutní hodnota je jedna – a fázový úhel závisí na klasické akci vyhodnocené z možné historie $ \ phi (y) $. Počáteční a konečný stav $ i, f $ jsou začleněny integrací přes ty konfigurace v „mezičasech“, které se řídí příslušnými okrajovými podmínkami.

Téměř celá kvantová teorie pole může být vyjádřena jako výpočet některých integrálů dráhy. Takže v tomto smyslu se učení „všeho“ o integrál dráhy je ekvivalentní učení se téměř celé kvantové mechaniky a kvantové teorie pole, což může vyžadovat mezi semestrem a 10 lety intenzivního studia, v závislosti na tom, jak hluboko se chcete dostat. Určitě to na tomto serveru nelze pokrýt jedinou odpovědí s povolenou velikostí.

Výpočet integrálů cesty s Gaussian, tj. $ \ Exp ({\ rm bilinear}) $ integrand, snad s polynomem prefaktory v integračních proměnných, je možná nejdůležitějším nebo „nejjednodušším“ příkladem netriviálního integrálu dráhy, který ve fyzice vlastně potřebujeme.

V kvantové mechanice představuje integrál dráhy explicitní konečný vzorec pro libovolný amplituda pravděpodobnosti. Amplituda jakéhokoli přechodu ze stavu $ | i \ rangle $ do stavu $ | f \ rangle $ může být přímo vyjádřena jako integrál cesty a pravděpodobnost je absolutní hodnota amplitudy pravděpodobnosti na druhou. Kvantová mechanika umožňuje vypočítat scvrknutí na tyto pravděpodobnosti – integrál dráhy tedy představuje v kvantové mechanice „vše“. (Tento odstavec byl původně zveřejněn jako můj komentář a uživatel, který tuto úpravu navrhl, měl k tomu dobrý důvod.)

Komentáře

• +1, ale neřekl bych ' hodnoty funkcí, $ f (0), f (1) $ atd. hrají roli $ x_1, x_2 $ atd. Protože funkce mapuje celé funkce na čísla, ' s celá funkce $ f $, která nahradí roli hodnoty $ x_1, x_2, $ atd.
• Nerozumím ' @JamalS, což je velmi diplomatický způsob, jak říci, že si myslím, že tomu nerozumíte '. 😉 Existuje pouze jedna celá funkce $ f $, ale existuje mnoho proměnných $ x_1, x_2 $. Funkce nese ještě více (nekonečně více) informací než několik čísel $ x_1, \ dots, x_N $. Ve vaší poslední větě, jaká je spojka mezi $ x_1, x_2 $? Pokud je to ' s " nebo ", pak ' je špatné, protože je třeba zadat všechny hodnoty všech $ x_i $, abychom mohli mluvit o integrantu. Pokud je to ' s " a ", pak je to v pořádku zakrýt skutečnost, že cesta v. je vícerozměrná.
• Moje námitka je pouze vůči analogii, kterou uvedete mezi konečným dimenzionálním případem a integrálem cesty. Způsob, jakým jste to ' napsali, ' říkáte hodnoty funkce $ f $ v různých bodech " hrají stejnou roli jako proměnné $ x_1, x_2 $ atd. " Souhlasím, že ' je pouze jedna funkce $ f $ a my sčítáme všechny možné funkce. Jde tedy o to, že ' s různými funkcemi, které jsou analogické se sčítáním různých hodnot skalární proměnné, $ x $. ' Nevidím, jak jste ' dokázali extrapolovat. Myslím, že z mého jediného komentáře přispívají pouze hladké funkce …
• Pouze jsem napsal, že $ \ int D \ phi (y) $ lze definovat jako limit kontinua vícerozměrného integrálu $ \ int \ dots d \ phi (-0,02) d \ phi (-0,01 ) d \ phi (0) d \ phi (0,01) d \ phi (0,02) \ tečky $ za 0,01 $ odeslané na nulu.) Nevěřím ', že by na tomto tvrzení mohlo být něco kontroverzního. Je to ' skutečně podstata odpovědi. Pokud jen řeknete, že " je to integrál nad všemi hodnotami funkce všude ", nepohnete se epsilon k zodpovězení otázka OP a vysvětlení, co vlastně " integrál přes funkce " je. Integrál ve smyslu integrace před cestou je vždy konečný-dim.
• Vážený @TAbraham, představuje explicitní konečný vzorec pro jakoukoli amplitudu pravděpodobnosti. Amplituda pro jakýkoli přechod ze stavu " i " do stavu " f " lze přímo vyjádřit jako integrál dráhy a pravděpodobnost je absolutní hodnota čtverce pravděpodobnostní amplitudy. Všechno, co kvantová mechanika umožňuje vypočítat, se scvrkává na tyto pravděpodobnosti – takže integrál dráhy představuje " vše " v kvantové mechanice.