Co přesně je fázor?

Představte si kombinaci komplexní roviny a běžných vektorů.

Fázor je komplexní číslo představující sinusovou funkci, jejíž amplituda (A), úhlová frekvence (ω) a počáteční fáze (θ) jsou časově invariantní.

Obrázek a text z Phasors Wikipedia

Předpokládejme, že máte síť složenou z několika sinusoidů (vln). Všechny mají stejnou frekvenci, ale s různými amplitudami a fázemi. Jediným rozdílem v jejich analytických reprezentacích je složitá amplituda (fázor). Lineární kombinaci těchto funkcí lze zapracovat do produktu lineární kombinace fázorů (známých jako fázorová aritmetika) a časově / frekvenčně závislého faktoru, které mají všechny společné.

Když funkce $ {\ displaystyle \ scriptstyle A \ cdot e ^ {i (\ omega t + \ theta)}} $ je znázorněno v komplexní rovině, vektor tvořený jeho imaginárními a skutečnými částmi se otáčí kolem počátku. Jeho velikost je $ A $ a dokončí jeden cyklus každých $ 2π / ω $ sekund. $ θ $ je úhel, který tvoří se skutečnou osou v $ t = n • 2π / ω $, pro celočíselné hodnoty n.

Komentáře

• Abychom objasnili, phasor je komplexní číslo, nikoli vektor. Jakákoli fyzická veličina tedy nemůže být fázorem, ale může být vyjádřena jako fázor. (Správně?)
• Matematicky můžete komplexní čísla považovat za vektory, které poslouchají vektorové zákony sčítání a odčítání s ohledem na skutečné a imaginární části . Pokud jde o násobení reálnými čísly a zákony sčítání a odčítání vektorů, komplexní čísla tvoří vektorový prostor ekvivalentní prostoru překladových vektorů ve skutečné 2-D rovině

Všechny vektory se řídí zákony sčítání vektorů a zákony násobení. Pokud tedy přidáte dva fázory, jsou přidány jako vektory, ale pokud je vynásobíte, budou vynásobeny jako jednoduchá čísla. Fázory jsou tedy jako vektory, ale ne vektory. Stejně jako plošné vektory, které se násobí jako vektory, ale přidávají se jako čísla.

Fázory jsou komplexní veličiny, které se používají k částečné reprezentaci skutečná množství, která se sinusově mění v čase a možná i v prostoru. Všechny fázory jsou časově nezávislé. Reprezentují částečně skutečnou veličinu, a ne úplně, protože nemají informace o frekvenci.

Říci, že fázory jsou jako vektory, znamená, že komplexní čísla jsou jako vektory, což je nesprávné . Nejprve jsou podobnosti pouze pro dvourozměrné vektory. Ano, sčítání a odčítání dvou 2D vektorů je analogické sčítání a odčítání dvou komplexních čísel; a násobení 2D vektoru pomocí skalární je analogické násobení komplexního čísla reálným číslem.Dělení dvou vektorů ale není ani definováno, ale je definováno dělení dvou komplexních čísel; můžete také „t“ vynásobit dva 2D vektory, musíte určit, zda se jedná o bodový součin nebo křížový součin, avšak může „jen“ vynásobit dvě komplexní čísla.

U elektrických obvodů je fázorové napětí $ \ tilde V $ komplexní konstanta a představuje amplituda a fáze signálu, ale ne jeho frekvence. Signál $ v (t) $ je skutečná funkce jedné reálné proměnné (jedné časové, $ t $ ) a představuje skutečnou okamžitou hodnotu signálu. Sinor $ v_c (t) $ je komplexní funkce jedné reálné proměnné (jedné časové, $ t $ ) a představuje komplexní okamžitou hodnotu signálu. Některé vztahy:

$ v (t) = V_m \ cos {(\ omega t + \ phi)} = \ Re [\ tilde V e ^ {j \ omega t}] = \ Re [v_c (t)] \ tag * {} $

$ \ tilde V = V_m e ^ { j \ phi} = V_m \ cos {(\ phi)} + j V_m \ sin {(\ phi)} \ tag * {} $

$ v_c (t) = \ tilde V e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j (\ omega t + \ phi) } = V_m \ cos {(\ omega t + \ phi)} + j V_m \ sin {(\ omega t + \ phi)} \ tag * {} $

Poznámka: $ v (t) = \ Re [\ tilde V] $ pouze při $ \ omega t = \ ldots, -4 \ pi, -2 \ pi, 0, 2 \ pi, 4 \ pi, \ ldots $ ; jinými slovy, pouze když $ \ omega t = 2 \ pi k $ , kde $ k $ je libovolné celé číslo.

U dlouhých přenosových vedení (elektrických obvodů s distribuovanými, nikoli koncentrovanými parametry) je fázorové napětí $ \ tilde V (x) $ je komplexní funkce jedné reálné proměnné (jedné prostorové, $ x $ ). Signál $ v (x, t) $ je skutečná funkce dvou reálných proměnných (jedné prostorové, $ x $ ; a jeden dočasný $ t $ ) a představuje skutečnou okamžitou hodnotu. Sinor $ v_c (x, t) $ je komplexní funkce dvou reálných proměnných (jedna prostorová, $ x $ ; a jeden dočasný, $ t $ ) a představuje komplexní okamžitou hodnotu. Některé vztahy:

$ v (x, t) = V_m e ^ {ax} \ cos {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} = \ Re [\ tilde V (x) e ^ {j \ omega t}] = \ Re [v_c (x, t)] \ tag * {} $

$ \ tilde V (x) = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {ax} e ^ {j \ beta x} = V_m e ^ {ax} e ^ {j (\ beta x + \ phi)} = V_m e ^ {ax} \ cos {(\ beta x + \ phi)} + j V_m e ^ {ax} \ sin {(\ beta x + \ phi)} \ značka * {} $

$ v_c (x, t) = \ tilde V e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {ax} e ^ {j \ beta x} e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {ax} e ^ {j (\ omega t + \ beta x + \ phi)} = V_m e ^ { ax} \ cos {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} + j V_m e ^ {ax} \ sin {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} \ tag * {} $

Pro obecnou elektromagnetickou teorii jsou fázory komplexní funkce tří reálných proměnných (tři prostorové, $ x $ , $ y $ , $ z $ ). Pro vektor okamžitého elektrického pole $ \ mathbf E (x, y, z, t) $ je jeho fázor $ \ mathbf {\ tilde E} (x, y, z) $ a vztah $ \ mathbf E (x, y, z, t) = \ Re [\ mathbf {\ tilde E} (x, y, z) e ^ {j \ omega t}] $ je spokojen.