Co rozumíme pod pojmem “ Počet věcí ”?

Kniha je velmi stará: 2. vydání 1903; 1. vydání 1890.

Jak vidíte z poznámky pod čarou na straně 131, Cantor a Dedekind jsou zmiňováni jako „zajímavé příspěvky k literatuře tohoto tématu“ …

Proto nemůžete očekávejte, že pojmy představené na začátku bez definice, používané jako primitivní za účelem „objasnění“ následujícího zpracování, lze přesně přeložit do moderních (tj. post-1930) množinově teoretických pojmů.

Myslím si, že:

skupina musí znamenat konečnou kolekci objektů (things)

a to:

počet věcí ve skupině je „jasně“ (z diskuse) ekvivalentem moderní mohutnosti (omezeno na konečné sbírky) a nazývá se „vlastnost“ kolekce (skupina).

Moje interpretace spočívá v tom, že věci jsou „individuální“, konkrétní nebo abstraktní (pokud existují). Samozřejmě je snadné si je představit jako konkrétní předměty, jako oblázky v kapse nebo voják v četě.

Četa je skupina vojáků a počet věcí v četě je počet jednotlivých vojáků, kteří ji tvoří.

Tato interpretace má smysl také s ohledem na následující definici přidání (viz CoolHandLouis „s odpovědí).

Upozorňujeme, že zde skupina má„ obecný “význam kolekce nebo agregace; nemá nic společného s technickým výrazem„ skupina “z teorie grup .

Když „abstrahujeme“ od „znaků“ jednotlivých věcí (tj. formujeme jejich jednotlivé vlastnosti, jako je barva, velikost, tvar pro souběh koulí) a z pořadí objektů ve sbírce (je to stejné pro „moderní“ sadu koncept: {A, B, C} je „stejná“ sada jako {C, B, A} ) co získáme, je „počet“ věcí ve skupině (počet členů sbírky).

Remembe ten původní Cantorův zápis pro reprezentaci kardinálního čísla množiny A byl „dvojitý overbar“ nad A:

symbol sady označený jediným overbarem nad A označeným A zbavený jakékoli struktury kromě pořadí, proto představoval typ objednávky sady. Dvojitý overbar nad A pak indikoval odejmutí objednávky ze sady a označil tak hlavní číslo sady.

Komentáře

• Co máme na mysli pod pojmem Počet věcí v obecné angličtině?
• @Anupam – omlouvám se, ale ‚ nejsem rodilý mluvčí angličtiny. ‚ Hledal jsem Cambridge Dictionary online : neexistuje žádná přímá parafráze: nejpodobnější locution I ‚ našel jsem “ několik konkrétních věcí: z několika důvodů jsem se rozhodl nechodit. “ Musíme použít Fine ‚ s locution jako primitivní “ technický výraz „.
• Myslím, že “ skupina “ není “ sada “ naší moderní matematiky. Sada je sbírka abstraktních objektů na druhé straně “ skupina “ je sbírka věcí (které nejsou abstraktní). Teorie množin nemá nic společného s mou otázkou.
• Tuto práci jsem ‚ nečetl, ale jako někdo s více matematickým pozadím věta “ skupina musí znamenat konečnou sbírku objektů (věcí) “ mě přivádí ke krčení.
• @JamesKingsbery – ale “ skupina “ zde není zamýšlena jako v teorii skupin ; význam je “ colelction “ nebo “ agregát “ jednotlivých objektů.

Předmluva

Poskytl jsem dva odpovědi na tuto otázku:

• Další odpověď je lepší odpověď a je mou primární odpovědí. Naznačuje to, že pan Fine odkazuje na naivní teorii množin.

• Poskytl jsem tuto odpověď protože OP trval na myšlence, že {A, A, A} obsahuje tři odlišné prvky „a zveřejnil odměnu. Jinak absolutně žádný přesvědčivý OP neexistoval, tak proč ne jen souhlasit a získat odměnu? 🙂

  Tyto dvě odpovědi se ve skutečnosti navzájem doplňují, protože ukazují, jak lze popsat stejné matematické jevy změnou axiomů, definic a pravidel na různých místech. Říkáte TOE MAY TOE I say TOE MAH TOE. Jak se ukázalo, tato odpověď obsahuje roztomilý„ matematický důkaz “, že pan Fine myslel {A, A, A} představuje tři odlišné prvky“. Ale prosím, neváhejte a přečtěte si v tomto odpověď.

Anupam,

Máte pravdu, pane Fine zvažuje {A, A, A} = 3.

Předkládám další odpověď, protože jsem na to přišel, ale chtěl jsem opustit svoji starou odpověď kvůli historii. Máš pravdu! Henry Burchard Fine myslel tři konkrétní věci, takže {A, A, A} se počítají jako tři. Jeho výrok nemůže být omylem, protože je jeho primární premisou v doložení veškeré jeho numerické aritmetiky – základu celé jeho knihy – počínaje sčítáním:

Dodatek: Pokud se spojí dvě nebo více skupin věcí, aby se vytvořila jedna skupina, číselný symbol této skupiny se nazývá součet čísel jednotlivých skupin.

Pokud je součet s a čísla samostatných skupin abc atd., vztah mezi nimi je symbolicky vyjádřen rovnicí s = a + b + c + etc kde má být součtová skupina vytvořena spojením druhé skupiny, do které b patří do nejprve třetí skupina, do které c patří do výsledné skupiny atd.

Operace hledání s, když jsou známy abc atd., je sčítání. Sčítání je zkráceno počítání.

6 Sčítání Pokud dvě nebo více skupin věcí se spojí tak, aby vytvořily jednu skupinu, číselný symbol této skupiny se nazývá součet čísel samostatných skupin Pokud je součet s a čísla samostatných skupin abc atd., vztah mezi nimi je symbolicky vyjádřeno rovnicí sab c + atd., kde má být součtová skupina vytvořena spojením druhé skupiny, do které b patří první, třetí skupiny, do které c patří do výsledné skupiny atd. Operace hledání s, když abc atd. jsou známé je sčítání Přidání je zkráceno počítání

• Vzhledem k tomu, a, b, c jsou „skupiny / sady“,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Nechť d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Součet (d) = Součet (a) + Součet (b) + Součet (c)

• Nyní definujte skupiny / sady takto:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Součet (d ) = Součet (a) + Součet (b) + Součet (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Proto musí pan Fine Fine s „odborovým operátorem“ vytvářet d = {A, A, A} a součet ({A, A, A}) = 3.

• Pokud byl „Fine“ s „odborový operátor“ normálně nastavenou notací, pak d = {A} a neexistuje způsob, jak by z toho člověk mohl získat „3“.

Proto pan Fine uvažuje {A, A, A} = 3.

Toto je případ, kdy A představuje odlišné konkrétní objekty, například 3 mince v kapse.

Komentáře

• Nemyslím si ‚, že jde o správný závěr. Myslím, že Fine jen předpokládá, že při “ sloučení skupin “ za účelem shrnutí je “ skupiny “ jsou nesouvislé.
• Předpokládáte písmeno $ A $ jako “ abstraktní objekt “ nebo “ konkrétní objekt „. Pokud je $ A $ považováno za “ abstraktní objekt „, pak $ a $, $ b $ a $ c $ všechny budou mít $ 1 , 1,1 $ počet věcí v nich, ale $ d $ nebude mít $ 3 $ počet věcí, protože termín Počet věcí je definován pouze pro “ skupiny “ mající odlišné věci. Pokud předpokládáte $ “ A “ $ jako “ konkrétní objekt “ pak je všechno v pořádku.
• +1 K vašemu komentáři výše Anupam!Anupam, to je pravděpodobně nejlepší otázka, kterou jsi ‚ položil v komentářích! Bravo a +1 k této otázce! Celá tato moje odpověď závisí na tom, co jsem myslel! To znamená, že si nemůžete být jisti, zda je to správné, nebo ne, pokud vám neřeknu, jestli jsem myslel “ abstract “ nebo “ konkrétní „. Skvělé! Líbí se mi to! Myslím, že to odpovídá paralele původní otázky týkající se záměru toho, co měl pan Fine na mysli.
• “ A “ je konkrétní objekt.

Práce, kterou jako první přijde na mysl Filozofie aritmetiky od Edmunda Husserla. Podrobně se věnuje zjevné potíži s číslem: počítat počítané věci musí být obě odlišné (může jich tedy být více) a totéž (počítáte určité věci). Když řeknu „tři jablka“, jsou v jednom smyslu všechna stejná (jsou to jablka) a v jiném se liší (jsou tři, rozlišují se podle prostorového vztah, pokud nic jiného)

Existuje současně „multiplicita“ a „jednota“. To vede k otázce „stejným způsobem a jiným způsobem“.

To, co si z této knihy pamatuji nejvíce, je diskuze o rozdílech a rozlišování. Je to něco, o čem stojí za to mluvit. Existují dva pojmy, které lze porovnat, „different“, „rozlišuje“.

• Abychom rozlišili dvě věci , musíme vytvořit úsudek
• Odlišné je nezbytná, ale nedostatečná podmínka pro rozlišení věcí.

V matematice se rozlišuje vše, co je jiné, a člověk uvažuje o celku odlišných věcí. Vyhnete se tak záludné části: lidskému úsudku.

Tento úsudek je pro nás často snadný. Je zřejmé, že mnoho věcí vnímáme odlišně a že svět „krystalizuje“ do objektů. Ačkoli toto vnímání není vždy vše, co je potřeba k rozlišení mezi věcmi, ve většině každodenních situací to stačí. Je to jen v okrajových případech, kdy musíme překonat náš vzhled objektů oddělených v prostoru a použít nějaký jiný způsob úsudku.

Schopnost rozlišovat mezi věcmi je hlavním tématem vědeckého oboru psychofyziky, který opravdu šel kolem 1890 a pokračuje dodnes. O této lidské kapacitě existuje také mnoho filozofických spisů, ve skutečnosti jsem toho názoru, že je to hlavní otázka filozofie (ostatní nemusí souhlasit).

Chcete-li odpovědět na svou otázku přímo: matematika vylučuje lidský úsudek, takže při konstrukci formálního systému musíme začít po vynesení rozsudku – Děláme to za předpokladu, že všechny jeho objekty jsou od sebe navzájem odlišitelné. Pokud objekty v matematice nejsou rozlišitelné, jsou považovány za stejné. To neplatí pro skutečné věci, které se mohou lišit, ale nerozlišovat.

Poznámka: Podrobnosti o tom, jak se aritmetika abstrahuje od lidských soudů, jsou obsaženy ve zbytku Husserlovy knihy. Nejsem opravdu schopen to zde formulovat. Myslím, že by s tím mohly být problémy ve světle nedávného vědeckého výzkumu „četnosti“ . Nejsem ještě ano.

Komentáře

• Problém “ Jeden na mnoho “ sahá až k Platónovi; viz argument třetího člověka , ale poskytuje nám malý přehled o tom, co jsou čísla a jak podporují “ lidský proces “ počítání. Matematika může čísla uvádět jako primitivní nebo se je může pokusit “ vysvětlit “ pomocí teorie množin pomocí konceptů korespondence (základní čísla) a pořadí (pořadová čísla). Ale stále tu je problém: co jsou čísla a proč jsme schopni “ je použít “ na vnější realitu?
• @MauroALLEGRANZA Jo, je to ‚ staré, ‚ to je hlavní otázka;) Zbytek Husserl ‚ pojednává o vztahu mezi abstraktní aritmetikou a světem, proto ji ‚ zmiňuji spíše než cokoli jiného. Nerozdělil jsem to ‚, protože jeho 1) docela technický (hlavní důvod) 2) možná špatný a 3) není potřeba vysvětlovat “ Proč pan Fine omezil tento výraz pouze na ty skupiny, které mají všechny odlišné prvky. “
• I ‚ m neříkám, že se Husserl mýlil … Moje osobní porozumění je, že Fajn (1890!) se pokoušel “ objasnit “ koncept čísla tak, aby se vyhnul “ platonistickému “ příchuť, bez ohledu na všechny odkazy na “ abstraktní “ objekty. ‚ Nejsem přesvědčen, že Platón měl pravdu … Byl nalezen> zdravý argument pro “ vysvětlující “ jaká čísla jsou, která se vyhýbají všem odkazům na “ abstract “ objekty nebo koncepty.
• @MauroALLEGRANZA Nechtěl jsem ‚ říci, že jste byli. Husserl kritizuje myšlenku, že čísla by měla být omezena na fyzické objekty (konkrétně Mill), říká “ Pouhá narážka na psychické akty nebo stavy, které lze určitě počítat stejně dobře jako fyzický obsah, vyvrací [this] „. Pokud lze počítat abstraktní objekty, teorie, která vynechá referenční abstraktní objekty, by byla neúplná. Ale možná vám ‚ úplně nerozumím.
• Opět s vámi souhlasím; Já “ miluji “ G.Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (“ Základy aritmetiky: Logicko-matematický průzkum konceptu čísla „), Breslau, 1884, kde “ zničena “ Mill ‚ empirická teorie čísel. Mezi H a F byla spojení (a kontakty); viz Claire Ortiz Hill, Husserl nebo Frege? Význam, objektivita a matematika .

Předmluva

Na tuto otázku jsem poskytl dvě odpovědi:

• Tato odpověď je lepší odpověď a naznačuje, že pan Fine odkazuje na naivní teorii množin. Také zde není žádný velký pokus o přísnost a pan Fine prostě skočí dopředu na své téma zájmu. Tato odpověď je moje primární odpověď.

• Uvedl jsem další odpověď v stejné vlákno, protože OP trval na tom, že {A, A, A} bude obsahovat „tři odlišné prvky“ a zveřejnil odměnu. Jinak absolutně žádný přesvědčivý OP neexistoval, tak proč ne jen souhlasit a získat odměnu? 🙂

  Tyto dvě odpovědi se ve skutečnosti navzájem doplňují, protože ukazují, jak lze popsat stejné matematické jevy změnou axiomů, definic a pravidel na různých místech. Říkáte TOE MAY TOE I say TOE MAH TOE. Jak se ukázalo, druhá odpověď obsahuje roztomilý „matematický důkaz“, že Mr. Fine myslel {A, A, A} představuje tři odlišné prvky. Může být zajímavé sledovat, jak jsem takový návrh obhájil.

1. Kniha odkazuje na naivní teorii množin

Odkaz na tento odkaz na Knihy Google je snadnější: Číselný systém algebry: zpracovaný teoreticky a historicky „ (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, publikováno 1907). Níže je uveden výňatek z této knihy z roku 1907:

I. POZITIVNÍ INTEGR A ZÁKONY, KTERÉ REGULUJÍ DOPLŇOVÁNÍ A ROZDĚLOVÁNÍ POZITIVNÍCH INTEGRŮ

1 číslo. O určitých odlišných věcech říkáme, že tvoří skupinu (skupinou rozumíme konečnou skupinu, kterou nelze přenést do korespondence jedna k jedné. 2 s libovolnou částí sebe sama), když z nich uděláme kolektivně jediný objekt naší pozornosti.

Počet věcí ve skupině je vlastnost skupiny, která zůstává nezměněna při každé změně ve skupině, která dělá nezničit separateny s věcí od sebe navzájem nebo jejich společná oddělitelnost od všech ostatních věcí.

Takovými změnami mohou být změny charakteristik věcí nebo jejich uspořádání ve skupině. Změnami uspořádání mohou být opět změny v pořadí věcí nebo ve způsobu, jakým jsou navzájem spojeny v menších skupinách.

Můžeme tedy říci: Počet věcí v jakákoli skupina odlišných věcí je nezávislá na charakterech těchto věcí v pořadí, ve kterém mohou být uspořádány ve skupině, a na způsobu, jakým mohou být navzájem spojeny v menších skupinách.

2 Numerická rovnost. Počet věcí v libovolných dvou skupinách odlišných věcí je stejný, když pro každou věc v první skupině je jedna ve druhé a recipročně pro každou věc ve druhé skupině jedna Zaprvé. Tedy počet písmen ve dvou skupinách A, B, C; D, E, F je stejný … [Mr. Fine nadále mluví o korespondenci 1: 1 – CoolHandLouis] …

Je Každému, kdo si vezme třídu „Teorie množin 101“, je jasné, že tato kniha popisuje základ teorie množin. Můžeme s jistotou říci, že odkazy pana Fine na „skupinu“ jsou přesně a přesně to, co je nyní známé jako „množina“, a na „prvky“, když popisoval „odlišné věci“. (Kromě toho toto Celý příspěvek ve skutečnosti odkazuje na to, čemu se říká „Naivní teorie množin“, ale to pro tuto otázku / odpověď nemá význam.)

Vzhledem k tomu, že pan Fine odkazuje na teorii množin, jeho kniha byla napsána v roce 1907 , můj první návrh je, že úplně zapomenete na pana Fine a google pro některé dobré reference pro začátečník„ teorie množin “ a podívejte se také na některá z krátkých videí se stejným tématem.

Poznámka pana Fine„ Skupinou rozumíme konečnou skupinu, která je ten, který nelze přivést do vzájemné korespondence s jakoukoli jeho částí „, je velmi silným důkazem, že mluví o (naivní) teorii množin. Zjevně se vyhýbá nekonečným množinám a na základě historie teorie množin, že možná byl pro pol itické důvody. Neexistuje žádný důvod, aby byl v tom okamžiku své kariéry svárlivý, a všechny důvody, proč hrát bezpečně, zejména s touto knihou.

Ale to je meta-odpověď. Zde je skutečná odpověď:

2. Odpověď na otázku – úvod

Nejprve necháme standardizovat jazyk zbytku tohoto příspěvku do 21. století: Sada je soubor odlišných prvků. Takže už nemluvme o „věcech“ nebo „skupinách“. A nezáleží na tom, zda jsou konkrétní nebo abstraktní, skutečné nebo domnělé.

Změna názvů těchto výrazů nebude v jakýmkoli způsobem změnit kterýkoli z problémů, se kterými se setkáváte. Nová slova odkazují na přesně to samé, co říkal pan Fine. Všechno je to věcí definice a já vše definuji tak, jak vám nyní ukážeme, způsobuje zmatek.

3. Jak se díváte na „Distinct“ a „Counting“

Zaprvé, jedním způsobem máte pravdu. V rámci svého osobního porozumění / systém víry / definice „odlišného“, „sběru“, „souboru věcí“ a „skupiny“ a toho, jak s nimi člověk jedná, vy jste ng „že„ máte pravdu “. A ani já, ani žádný matematik nemůžeme v tomto smyslu argumentovat proti vaší „správnosti“. Na základě vašich definic a metod myšlení máte naprostou pravdu. Ale to je jen začátek; to nevyřeší zmatek.

Pojďme nalíčit / vymyslet systém, ve kterém máte „pravdu“. (Pamatujte, že bychom mohli stejně dobře říci „skupiny“ a „věci“, ale standardizuji „sady“) a „prvky“. Použitá slova nedělají žádný rozdíl , pokud je definujeme.)

Nestandardní pravidla teorie množin podle původního plakátu

• Sada je kolekce prvků.
• Každý prvek je reprezentován jedním nebo více symboly (alfanumerickými).
• Velikost sady je celkový počet prvků.
• OP „Definice odlišných: Každý prvek je považován za“ odlišný „, pokud se objeví na jiné pozici, takže {A , A} obsahuje dva odlišné prvky, protože jsou v různých pozicích (pozice jedna a pozice dvě).

Otázka: Kolik prvků je v {A, A, A} podle nadstandardní pravidla Ori konečný plakát? Odpověď: 3.

4. Jak teorie matematických množin (kniha pana Fineho) definuje „odlišné“ a „počítání“

Nyní to pojďme více zvážit ze standardní matematické definice.

Standardní pravidla teorie matematické množiny

• Sada je kolekce odlišných prvků.
• Každý prvek je reprezentován jedním nebo více symboly.
• Velikost sady je celkový počet prvků.
• Definice teorie množin odlišných: Každý prvek je považován za „odlišný“, pokud lze určit, že je odlišný od všech ostatních prvků. Pokud jsou reprezentovány písmeny a slovy, týká se odlišnosti pouze to, zda mají prvky různé názvy. V písemné matematice, different = různá jména.

Pro účely této odpovědi není něco, co je pojmenováno stejné, odlišné – odkazuje na stejnou věc. {A, A} je jako říkat, {Indie, Indie}. Odkazuje pouze na jednu zemi, ne na dvě země. Odkazuje na stejnou zemi dvakrát. Jaký je tedy počet? Jedna země nebo dvakrát zmíněné? V teorii množin je to ta první.

„Ale proč?“ můžete se zeptat. Svým způsobem to můžete považovat za zcela svévolné. „Je to podle definice.“ (Ale je to tak z dobrého důvodu; v teorii množin to dělá dobře spoustu dalších věcí, ale to je mimo tuto diskusi.) Takže to prostě musíte přijmout , stejně jako „musíme přijmout, že máte pravdu s definicí“.

Otázka: Kolik různých zemí existuje v {Francii, Francii, Francii, Francii, Indii, Indii, Indii, Brazílii, Brazílie}? Odpověď: 3, protože sada odkazuje pouze na tři různá místa = {Francie, Indie, Brazílie}.

5. Mince v kapse

Je z tohoto důvodu a kvůli jednoduchosti jednoduše přidáme další pravidlo do teorie množin:

• V sadách nejsou povoleny žádné duplikáty.

Proč? Protože a sada je něco jako „pytel věcí“ (konkrétní nebo abstraktní). Vezměme si například v pondělí čtyři mince v levé kapse. Řekněme, že nevíme, o co jde. Pojmenujeme je tedy C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Díky této myšlence to dělá nemá smysl to označovat jako {C1, C1, C1, C2, C3, C4}. Proč odkazovat na první minci třikrát? Je již v kapse. Je třeba na něj odkazovat pouze jednou. Nyní přiřaďte mincím některé atributy:

• C1 = Type = Penny; FaceValue = 0,01; Datum = 1999; Hmotnost = 2,4993399494 g; Podmínka = Mátová
• C2 = Typ = Penny; FaceValue = 0,01; Datum = 1999; Hmotnost = 2,4990044384 g; Stav = Dobrý
• C3 = Typ = Nickle; FaceValue = 0,05; Datum = 2002; Hmotnost = 5 0002292833 g; Podmínka = velmi dobrá
• C4 = typ = nikl; FaceValue = 0,05; Datum = 2003; Hmotnost = 5,0010022229 g; Stav = velmi dobrý

Nyní, když víme, že dva z nich jsou haléře, je sada mincí v kapse stále stejná:

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

Nyní se však můžeme zeptat, kolik různých (odlišných) typů mincí máte v kapse:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Pojďme v úterý přesunout mince C2, C3 a C4 do pravé kapsy. Co máš ve středu v kapse?

• středa_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• středa_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• středa_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Komentáře

• Po prostudování konceptu typový token Pochybuji o logické přesnosti knihy Fine ‚. Konstruuji novou otázku týkající se poznámky pod čarou uvedené ve “ skupině $ {} ^ 1 $ „.
• Žádné čekání, prosím, všichni ‚ kvůli …. počkejte jen trochu. žádná další otázka, jde jen o přibití. Dejte respondentům nějaký čas, aby odpověděli na mou odpověď a vaše obavy. “ Seskupení “ v jemné ‚ knize je přesně soubor moderních matematik. ‚ Pokud přejdete na jinou otázku, úplně přejdete na jinou tečnu.
• “ Skupina “ ve skvělé ‚ knize není přesně to, co se odehrává v moderní matematice. Tentokrát mám pravdu.
• Dobře je tvůj důkaz. Na tuto odpověď jsem věnoval spoustu času, takže se mě prosím trochu držte, ok?
• Můj osobní názor je, že by Ask Askers, vzhledem k bezplatné službě Answerer, měli hlasovat pro všechny odpovědi, které poskytnout určitou hodnotu, i když to ‚ není správná odpověď. ‚ sa to říká, “ děkujeme, že jste přispěli k procesu hledání odpovědi. “ Podobně se domnívám, že každý, kdo odpovídá na otázku, by měl tuto otázku podpořit; jistě, pokud věnovali čas odpovídání, musí to mít nějakou hodnotu. Buďte velkorysí k hlasům. Jsou to zdarma, abstraktní tokeny ocenění / hodnoty. Nechte ostatní hlasovat / hlasovat podle přísnějších zásluh. Je to ‚ na vaší volbě, ale já bych ‚ na takovou technickou stránku hlasoval.

Otázka 1: Protože $ A $ a $ A $ se neliší, pouze $ A $ a $ B $ jsou odlišné (pokud nejste rabulističtí a nerozlišujete „první blob inkoustu tvořícího $ A $“ od „druhého blob inkoustu tvořícího $ A $“, ale to znemožňuje zmínit správně kterýkoli z těchto $ A $ s jako konkrétní písmeno (blob inkoustu) $ A $ používané ke zmínce konkrétního písmene (blob inkoustu) $ A $ se na rozdíl od záměru automaticky liší od tohoto blob inkoustu. ve všech těchto případech mluvíme o „myšlence“ $ A $, tj. jakákoli instance „$ A $“ v textu odkazuje na stejný objekt, který sám o sobě má být považován mimo text (aby to bylo možné v prvním místo pro použití „$ A $“ k rozhovoru o $ A $). Pouze v tomto smyslu $ A = A $ (protože jako konkrétní skvrny inkoustu na papíře mají různé pozice, čímž se liší) a dva $ A $ s v „$ A, B, A $“ postrádají odlišnost. Vaše skupina je tedy stejná jako skupina s prvky $ A, B $ (nebo $ B, A $, pokud chcete), tj. počet je $ 2 $.

Otázka 2: Stále nejsou totožné s objekty. Např. První můžete nasadit a druhou umístit do své skříně, zatímco třetí žehlit za horka; určitě byste si všimli, že i když jste ve skutečnosti žehlili stejné tričko jako tričko, které máte na sobě. Košile jsou nerozeznatelná podle vlastnosti „barva“ (jak tomu bylo dříve, k nerozeznání například podle vlastnosti „velikost“, předpokládám), ale stále se odlišují vlastností „prostorová poloha“. Zajímavé je, že nám to přináší problém, s nímž se setkáváme s obtížemi, jak identifikovat dnešní košile s včerejšími. Člověk musí nějakou dobu přemýšlet o tom, co znamená „odlišný“ (na rozdíl od „rozlišitelný“) a „stejná věc“.

Otázka 3: Odlišnost prvků (které mohou umožňovat identicky zbarvené košile) je zásadní, protože nechcete znovu počítat stejný objekt (to by z vás udělalo bohatého muže s jedinou mincí v kapse). Úplně (?) Odlišným přístupem je definovat „číslo“ jako třídu ekvivalence množin (a zdá se, že „skupina“ „Fine“ je to, co bychom dnes nazvali „set“) pod „equinumerability“ (tj. Existence bijekce Tímto způsobem koncept 2 nebo Two-ness odpovídá (nebo ve skutečnosti je) třídě všech množin $ X $ tak, že existuje bijekční forma $ X $ pro jakoukoli konkrétní sadu (co říkáme ) dva prvky, například $ \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} $. Pokud máte horor o (správných) třídách, můžete si všimnout, že každá taková třída ekvivalence obsahuje speciální „jednoduchou“ sadu, ordinální (alespoň v konečném případě a obecně za předpokladu axiomu volby).

Komentáře

• Co tím myslíme počet věcí ? proč v Q1 říkáme, že skupina G: {A, A, B} má 2 věci, proč ne 3, jak by měly být, protože ve skupině G jsou 3 věci , dokonce i dvě věci ve skupině G jsou stejné, ale existují a měli bychom je počítat Ó. Používáme pojem počet věcí jinak v matematice než v běžném životě. primitivní koncept počítání se při výpočtu počtu věcí ve skupině netrápí rozlišováním různých věcí ve skupině. Proč jsme v matematice vytvořili tento typ neobvyklé definice pojmu č. věcí .
• Pane, upravil jsem svou otázku tak, aby byla přímější. Vysvětlili byste alespoň to, co máme na mysli pod počtem věcí .

„Počet věcí“ obecně v angličtině: Pouze v samotném výrazu není dostatek informací k poskytnutí jedné odpovědi.

Problémem je výraz „things“. Obecně v angličtině by to odkazovalo na některé uspořádání již definované, například počet položek os stejné barvy nebo počet vajec v krabici nebo počet číslic „3“, které jsou v telefonním čísle.

Bez toho význam „čísla“ of things „is manyfold – it“ s the number of objects in a container of any kind / size, classed by any method you matter to predstaviť.

Komentáře

• Předpokládejme, že existuje skupina {A, A, A}. Ptám se kolik písmen v této skupině je ? Jaká by měla být odpověď.
• Přečtěte si prosím typy a tokeny
• @MauroALLEGRANZA odkaz, který máte dané je docela zajímavé. Zdá se, že naznačují, že “ Type “ = “ Abstraktní objekt “ a “ token “ = “ konkrétní „. V knize Me.Fine at the outsaet říká: “ O určitých odlišných věcech říkáme, že tvoří skupinu “ “ věc “ = “ konkrétní “ = “ Token “ mám pravdu?
• @ Mauro, omlouváme se, ale máte to zpět. Slovo “ věc “ jej neodvozuje ‚ s významem z “ Filozofie typu / tokenu „. Definice z google.com/search?q=definition+thing zahrnuje “ abstraktní entita nebo koncept: ‚ smutek a deprese nejsou to samé ‚. synonyma: charakteristika, kvalita, atribut, vlastnost, vlastnost, rys, bod, aspekt, vlastnost, podivnost …
• @Mauro, také “ konečný kolekce “ neznamená konkrétní věci. Zde je několik konečných sbírek abstraktních věcí / prvků: {1,2,3,4,5}, {láska, válka, mír}. Je více než pravděpodobné, že se vyhýbal nekonečným množinám, protože v té době byly vysoce kontroverzní: en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor‘ s_theory .

Navrhuji vám porovnat definici Fine s následující diskuse, od RL Goodsteina, teorie rekurzivních čísel (1957) :

Otázka „Jaká je podstata matematické entity?“ je otázka, která má zájem o myslitele již více než dva tisíce let a ukázalo se, že je velmi obtížné na ni odpovědět. Dokonce i první a nejdůležitější z těchto entit, přírodní číslo, má nepolapitelnost vůle vůle, když se to wc pokusí definovat.

Jedním ze zdrojů obtížnosti říkat, jaká čísla jsou, je, že neexistuje nic, na co bychom mohli ukázat ve světě kolem nás, když hledáme definici čísla. Například číslo sedm, není žádná konkrétní sbírka sedmi předmětů, protože pokud by byla, pak o žádné jiné sbírce nelze říci, že má sedm členů; protože pokud identifikujeme vlastnost bytí sedm s vlastností bytí konkrétní kolekce, pak být sedm je vlastnost, kterou žádná jiná kolekce nemůže mít. Rozumnějším pokusem o definici čísla sedm by bylo říci, že vlastnost bytí sedm je vlastnost, kterou mají všechny sbírky sedmi objektů společné. Potíž v této definici však spočívá v tom, co je to, že všechny sbírky sedmi objektů mají skutečně společné (i když předstíráme, že se můžeme někdy seznámit se všemi sbírkami sedmi objektů). Číslo kolekce určitě není její vlastností v tom smyslu, že barva dveří je vlastností dveří, protože můžeme změnit barvu dveří, ale nemůžeme změnit číslo kolekce bez změny kolekce sám. Dává naprosto smysl říci, že dveře, které byly dříve červené a nyní zelené, jsou stejnými dveřmi, ale je nesmysl říkat o nějaké kolekci sedmi korálků, že jde o stejnou kolekci jako kolekce osmi korálků. Pokud je číslo kolekce vlastností kolekce, jedná se o definující vlastnost kolekce, základní charakteristiku.

To nám však nepřiblíží odpověď na naši otázku „Co je to, že všechny sbírky sedmi objektů mají společné?“ Dobrým způsobem, jak dosáhnout pokroku v otázce tohoto druhu, je položit si otázku „Jak víme, že sbírka má sedm členů?“ protože odpověď na tuto otázku by určitě měla vynést na světlo něco, co sdílí kolekce sedmi objektů. Zjevnou odpovědí je, že počet kolekcí zjistíme spočítáním kolekce, ale zdá se, že tato odpověď nám nepomůže, protože když počítáme kolekci, zdá se, že neděláme více než „označení“ každého člena kolekce číslo. (Přemýšlejte o řadě vojáků, kteří se počítají.) Zjevně neposkytuje definici čísla, která by řekla, že číslo je vlastnost sbírky, která se zjistí přiřazením čísel členům sbírky.

Označit každého člena kolekce číslem, jak to při počítání vypadá, je ve skutečnosti nastavit korespondenci mezi členy dvou kolekcí, objekty, které se mají počítat, a přirozená čísla . Při počítání například kolekce sedmi objektů jsme nastavili korespondenci mezi počítanými objekty a čísly od jedné do sedmi. Každému objektu je přiřazeno jedinečné číslo a každé číslo (od jedné do sedmi) je přiřazeno k nějakému objektu kolekce. Pokud řekneme, že dvě kolekce jsou si podobné, když má každá v sobě jedinečného spolupracovníka, lze počítat kolekci pro určení kolekce čísel podobných počítané kolekci.

Slabina definice spočívá v tomto pojmu korespondence. Jak víme, když dva prvky odpovídají?Šálky a podšálky ve sbírce šálků stojící v jejich podšálcích mají zjevnou korespondenci, ale jaká je korespondence mezi řekněme planetami a múzami? Je zbytečné říkat, že i když mezi planetami a múzami neexistuje žádná patentová korespondence, můžeme ji snadno vytvořit, jak to víme a co je důležitější, jaký druh korespondence povolujeme? Při definování čísla z hlediska podobnosti jsme pouze nahradili nepolapitelný koncept čísla stejně nepolapitelným konceptem korespondence.

Někteří matematici se pokusili uniknout obtížnosti při definování čísel tím, že identifikovali čísla pomocí číslic. Číslo jedna je označeno číslicí 1, číslo dvě číslicí 11, číslo tři 111 a tak dále. Ale tento pokus selže, jakmile si člověk všimne, že vlastnosti číslic nejsou vlastnostmi čísel. Číslice mohou být modré nebo červené, tištěné nebo ručně psané, ztracené a nalezené, ale nemá smysl připisovat tyto vlastnosti číslům, a naopak, čísla mohou být sudá nebo lichá, primární nebo složená, ale nejde o vlastnosti číslic.

Antitéza „čísla“ a „číslovky“ je běžná v jazyce a její nejznámější instanci lze nalézt ve dvojici výrazů „propozice“ a „věta“. Věta představuje určité fyzické vyjádření výroku, ale nelze jej s výrokem ztotožnit, protože různé výroky (například v různých jazycích) mohou vyjadřovat stejný výrok. [viz typy a žetony ]

Šachová hra, jak byla často pozorována, poskytuje vynikající paralelu s matematikou (nebo s jazykem samotným). Číslici odpovídají šachové figurky a operacím aritmetiky pohyby hry.

Zde konečně najdeme odpověď na problém povahy čísel. Nejprve vidíme, že pro pochopení významu čísel musíme hledat „hru“, kterou čísla hrají, tedy aritmetiku. Čísla, jedna, dvě, tři atd. Jsou postavy ve hře aritmetiky, figurky, které tyto postavy hrají, jsou číslice a to, co dělá znaménko číslicí konkrétního čísla, je část, kterou hraje, nebo jako můžeme říci formou vhodnější pro kontext, co tvoří znaménko znaménko určitého čísla, jsou pravidla transformace znaménka. Z toho tedy vyplývá, že předmětem studie oue je NENÍ ČÍSLO, ALE PRAVIDLA PŘEVODU ČÍSELNÝCH ZNAČEK .

Protínající se, ale diskutabilní …

Před více než 60 lety Frege alredy tento pohled kritizoval; viz Gottlob Frege, Základní zákony aritmetiky (1893), nový anglický překlad Philipa Eberta & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, stránka xiii:

[existuje] rozšířená tendence přijímat pouze to, co lze vnímat jako bytí. […] Nyní jsou objekty aritmetiky, čísla, nepostřehnutelné; jak se s tím vyrovnat? Velmi jednoduché! Deklarujte číselné znaky jako čísla. […] Občas se zdá, že číselné znaky jsou považovány za šachové figurky a takzvané definice jako pravidla hry. V takovém případě označení neoznačuje nic, ale je spíše věcí samou. Při tom všem je samozřejmě přehlížen jeden malý detail; že myšlenka je vyjádřena pomocí „3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2“, zatímco konfigurace šachových figurek nic neříká.

Komentáře

• Pamatuji si vzrušení, které jsem pocítil, když jsem poprvé četl úvod Goodstein ‚. ‚ s není Frege, ale ‚ je skvělé získat jasnou výpověď pohledu, takže pokud někdo nesouhlasí, může řekněte přesně čím.

Za účelem objasnění Fineovy definice “ počet věcí „, který je zcela odlišný od “ moderního “ set-teoretický přístup, myslím, že může být užitečné odkázat ho na filozofickou tradici britského empricismu XIX. století.

Zejména filozof John Stuart Mill věnoval část své práce A System of Logic, Ratiocinative and Inductive (1843) diskusi o základech aritmetiky.

Zde jsou některé pasáže, které – doufám – mohou objasnit definici Fine:

Tři oblázky ve dvou samostatných balících a tři oblázky v jedné zásilce, nedělají na naše smysly stejný dojem, – a tvrzení, že ty samé oblázky mohou být změnou místa a uspořádání provedeny tak, aby vytvářely buď jednu sadu pocitů, nebo druhou, i když velmi známý návrh, není totožný. […]

Základní pravdy této vědy [věda o číslech] spočívají na důkazu smyslu – dokazují se to našim očím a naše prsty, že jakýkoli počet předmětů, například deset koulí, mohou oddělením a přeskupením vystavit našim smyslům všechny různé množiny čísel, jejichž součet se rovná deseti. ( CW VII, 256-57)

Když tedy řekneme, že krychlí 12 je 1782, potvrdíme to takto: že pokud máme dostatečný počet oblázků nebo jiných předmětů, dáme je dohromady do th konkrétní druh balíků nebo agregátů zvaných dvanáct; a dát je dohromady do podobných sbírek, – a nakonec vytvořit dvanáct z těchto největších balíků: takto vytvořený agregát bude takový, jak říkáme 1728; jmenovitě to, co (abychom získali nejznámější způsoby jeho formování) lze získat spojením pozemku zvaného tisíc oblázků, pozemku zvaného sedm set oblázků, pozemku zvaného dvacet oblázků a pozemku zvaného osm oblázků. ( CW VII: 611-12)

Millův naturalistický přístup k základům aritmetika je založena na “ základních “ procesech spojování a oddělování, které vedou ke vzniku a rozkladu “ agregáty “ fyzických objektů.

Empirický pohled na Milla ostře kritizoval Gottlob Frege ve svém základním díle Die Grundlagen der Arithmetik ( Základy aritmetiky ) (1884).

Expozici Millovy filozofie matematiky viz Philip Kitcher, Mill, matematika a přírodovědecká tradice , do John Skorupski (editor), Cambridge Companion to Mill (1998), strana 57, dále.

Komentáře

• Pane, děkuji za tuto další velmi užitečnou odpověď . Přečtení tolika souvisejících textů bude nějakou dobu trvat (v současné době zkoumám knihy, které jste dříve zmínili vy a další). Existuje definitivní kniha zcela věnovaná historii aritmetiky ? Kniha, která by mohla vysvětlovat věci počínaje historií, a nakonec posunout, aby vysvětlila, jak se moderní aritmetika ustálila. Kniha, která by vysvětlovala všechny související věci, tj. Kdo, jak, kdy, proč aritmetiku. Za měsíc se zeptám na dvě velmi filozofické (a technické) otázky týkající se aritmetiky, budu na vás pingovat.
• O historii “ moderní “ filosofie aritmetiky , od Kanta (ale JSMill není diskutován) můžete vidět Michaela Pottera, Důvod ‚ s Nejbližší příbuzný: Filozofie aritmetiky od Kanta po Carnapa (2002).

V knize se „počet věcí“ účinně liší od jejich zobrazení. Předpokládejme, že máte hosty, které chcete pozvat na večírek. Jaký je počet hostů – věcí, které zvete?

Pokud zvete 5 přátel, budeme jim říkat John, Fred, Mary, Jill a Barney. Existuje 5 přátel-přátel- věci, které zveš na večírek.

Ale teď, co když je večírek maškarní ples, a jsou všichni v přestrojení. John je oblečen jako duch, Fred jako skřet, Mary jako čarodějnice, Jill jako dýně a Barney jako dinosaurus. Jen proto, že jsou nyní duch, skřet, čarodějnice, dýně a dinosaury, nemění počet věcí typu host-přítel, které jste pozvali na večírek. Jejich charakteristiky se změnily – už nevypadají jako vaši přátelé, vypadají jako jejich převleky.

Co když je 5 z nich oblečených jako nerozeznatelní duchové. Znamená to, že říkáme, že na vaši párty přišel jen jeden duch? Ne, protože je lze stále rozlišovat podle jejich prostorového lokalita, čas příjezdu, výška, hmotnost, barva archu atd.

Co když měli na sobě přesně stejný kostým a nikdy jste neviděli více než jeden najednou – takové, že neexistovaly žádné definující charakteristiky oddělující jeden přítel od druhého. Možná si nejste jisti, kolik věcí pro hosty a přátele jste měli na vaší párty. TÁTO transformace zničila odlišnost, která je před tím dělila, takže to není platná transformace pro výčet počtu věcí.

Myšlenka „množství věcí“, pokud jde o vaše pozvánky, je konkrétně vlastnost skupiny taková, že jakékoli změny (opětovné přečíslování, přečíslování, přeuspořádání, ale NE duplikování, eliminace nebo počítání podmnožin), které zachovávají odlišnost prvků, udržuje tuto vlastnost. Nezáleží na tom, zda hodnota této vlastnosti je či není 1, 5 nebo milión miliard, pouze to, že „počet věcí“ je konečná hodnota, která tuto vlastnost udržuje.

S pozdravem do obyčejné angličtiny, počet věcí je jen … počet zajímavých věcí. Už to není jednodušší a protože je to tak jednoduchý koncept, je velmi obtížné napsat přesnou definici, která nezpůsobí problémy v možných hovorových výrazech.

Tato otázka (a mnoho dalších odpovědí) přehlíží účel matematické teorie, kterým je zacházet s axiomy jako s něčím daným. Předpokládáme, že máme pojem (například) odlišnosti a poté prozkoumáme důsledky existence tohoto pojmu.

Jinými slovy je nemožné položit otázku „Kolik prvků je v množině $ \ { A, A, B \} $? „, Aniž bychom nejprve dali axiomy o $ A $ a $ B $. Podle standardní matematické syntaxe bychom si tuto otázku měli položit až po opětovném označení na $ \ {A, A“, B \} $ aby nedocházelo k nejasnostem, ale toto je otázka komunikace a praktičnosti, nikoli dogmatu a už vůbec ne jakési pravdy o množinách.

Matematika, slovy Roberta Ungera, je „vizionářský průzkumsimulakra světa “. Pokud nesouhlasíte s vizí někoho jiného, je to naprosto v pořádku. Pokud si však myslíte, že máte problém s matematikou samotnou, pak je pravděpodobné, že zneužitím jazyka vytváříte své vlastní rozpory. Pokud máte jasno v tom, jaké vlastnosti má mít vaše představa odlišnosti, pak platí teorie množin , je jen otázkou jak. Nepředepisuje určitou formu odlišnosti, ale spíše zkoumá společné rysy všech forem odlišnosti.

Zdá se že odpověď na vaši otázku je úzce spjata s tím, co je „věc“. Možná si uvědomíte, že jako abstraktní otázka to může být, byla ve fyzikální komunitě opakovaně kladena v kontextu teorie kvantového pole a základů kvantové mechaniky (viz například Paul Teller a Chris Isham). Jedním ze závěrů je, že pojem věci jako esence, ke které se vlastnosti „drží“, má být odmítnut. To Teller popisuje jako problém „značeného tenzorového produktu Hilbertův prostorový formalismus“, protože je neslučitelný s fyzickým chováním, které je ve skutečnosti pozorováno. Takže pokud chcete univerzální definici „počtu věcí“, nemůžete se vyhnout těmto úvahám o tom, co věc je a o tom, co je z fyzikálního hlediska odlišitelnost. (Pokud nechcete definici, která platí pro vesmír, který není náš vlastní.)

Jen pro ilustraci řekněme, že máte jeden foton v pravé ruce a jeden v levé. Můžete je odlišit podle toho, ve které ruce jsou. Takže „počet způsobů, jak si je dát do kapsy“, je 2 (nejprve ten v levé ruce, pak ten v pravé ruce nebo naopak) . Jakmile však budou v kapse, stanou se fyzicky nerozeznatelnými a „počet způsobů, jak je vyjmout“, je 1 (vyjde jeden, pak druhý).

Komentáře

• Ve fotonech v kapesním příkladu, který uvedete, se mi ‚ re zdají být dva fotony. Jejich identita (vlevo / vpravo) je ztracena (jeden, kdo ví, který je první, druhý druhý). ‚ stále existují dva z nich, i když jste ‚ ztratili trochu informací. Ztracená data jsou o tom, že “ je v levé / pravé ruce “ vlastnost, která není ‚ ta vlastnost fotonů obecně. Zdá se, že říkáte, že všechny vlastnosti jsou podobným způsobem postradatelné, ale nemohu ‚ pracovat, pokud říkáte, že se jedná o nepřekonatelný problém pro “ univerzální definice ‚ množství věcí ‚ „. Nebo lze věci spočítat bez ohledu na to?
• Ano, vždy jsou kolem 2 fotony. ‚ Mluvím o důsledcích ztráty identity na naší schopnosti počítat, což je důsledkem povahy ‚ věci ‚ jako foton. Opačné chování se děje u fermionů, které vždy musí být rozlišitelné, což vám zabrání v tom, abyste příliš mnoho vtesnali na stejné místo (což je Pauliho princip vyloučení).Počítání věcí (jako v příkladu) spočítáním způsobů, jak je můžete změnit, nefunguje vždy ‚. Nevím ‚, zda se jedná o nepřekonatelný problém, ale univerzální definice ho určitě nemůže ignorovat.