Snažím se pomocí druhého Keplerova zákona zjistit délku oběžné dráhy Venuše. Předpokládám kruhové dráhy (pomocí Země a Venuše, tak nízká excentricita). Tady je můj postup:
Za předpokladu, že poloměr oběžné dráhy Země je 150 milionů km, je zametená oblast za jeden den $ \ frac {1} {365.25} \ times \ pi \ times 150 ^ 2 \ cca 194 \ text {million km} ^ 2 $ .
Venuše musí zamést stejnou oblast ve stejnou dobu. Za předpokladu orbitálu poloměr 108 milionů km pro Venuše a pomocí $ A = \ frac {\ theta} {360} \ pi r ^ 2 $ můžeme najít centrální úhel pro zametený sektor, tj. úhel, který urazil jeden den Země:
$ 194 = \ frac {\ theta} {360} \ pi \ times108 ^ 2 \ znamená \ theta = 1,90 ^ {\ circ} $ za den Země.
Proto by orbitální období mělo být $ \ frac {360} {1,90 } \ přibližně 189 $ pozemské dny.
Oběžná doba Venuše je samozřejmě 224,7 $ $ pozemské dny. Rozdíl mezi 189 a 224.7 se zdají být daleko za chybou zavedenou mým předpokladem kruhových oběžných drah.
Co dělám špatně?
Vím, že je to možná zdlouhavý způsob provádění tohoto výpočtu. Mým cílem je napsat cvičení z matematiky, které smysluplně využívá oblast sektorů.
Komentáře
Odpověď
Keplerovy zákony uvádí, že planeta zametá stejné oblasti ve stejném čase, jak se pohybuje na své eliptické oběžné dráze. Nestanovuje, že různé planety zametou stejnou oblast.
Zákon „stejných oblastí“ lze odvodit „zachování momentu hybnosti“. Ve skutečnosti dA / dt = L / (2 m) (kde A je oblast, L je moment hybnosti am je (redukovaná) hmotnost).
Různé planety zametou různé oblasti. Pro výpočet období jste použili třetí Keplerův zákon: $ T ^ 2 = ka ^ 3 $ (T = orbitální období, a = polořadovka hlavní osy). Pokud , pro pohodlí si vezmete v AU a T v pozemských letech, pak konstantní $ k = 1 $ .
U Venuše a = 0,72 . takže $ T = \ sqrt {0,72 ^ 3} = 0,61 $ nebo přibližně 223 dní.
Hyperfyzika má sekci na Keplerovy zákony
+1za předvedení všech prací a položení velmi jasné otázky!