Dovolte mi nejprve připomenout (nebo vám možná představit) několik aspektů kvantové mechaniky obecně jako model f nebo fyzické systémy. Zdá se mi, že na mnoho vašich otázek lze odpovědět lepším pochopením těchto obecných aspektů a následným odvoláním na to, jak se spinové systémy objevují jako zvláštní případ.

Obecné poznámky o kvantových stavech a měření.

Stav kvantového systému je modelován jako prvek jednotkové délky $ | \ psi \ rangle $ komplexního Hilbertova prostoru $ \ mathcal H $, speciální druh vektorového prostoru s vnitřním součinem. Každá pozorovatelná veličina (jako hybnost nebo rotace) spojená s takovým systémem, jehož hodnotu bychom mohli chtít měřit, je v tomto prostoru představována samoadjungujícím operátorem $ O $. Pokud někdo sestaví zařízení k měření takového pozorovatelného a pokud toto zařízení použije k měření tohoto pozorovatelného v systému, pak stroj vydá vlastní hodnotu $ \ lambda $ tohoto pozorovatelného. Navíc, pokud je systém ve stavu $ | \ psi \ rangle $, pak je pravděpodobnost, že výsledkem měření této veličiny bude vlastní hodnota pozorovatelného, je \ begin {align} p (\ lambda) = | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align} kde $ | \ lambda \ rangle $ je normalizovaný vlastní vektor odpovídající vlastní hodnotě $ \ lambda $.

Specializace na spinové systémy.

Předpokládejme nyní, že systém, který uvažujeme, sestává z rotace částice. Hilbertův prostor, který modeluje stav rotace systému s rotací $ s $, je dimenzionální Hilbertův prostor $ 2s + 1 $. Prvky tohoto vektorového prostoru se často nazývají „spinory“, ale nenechte se tím rozptylovat, jsou jako každý jiný vektor v Hilbertově prostoru, jehož úkolem je modelovat kvantový stav systému.

Primární pozorovatelné, o jejichž měření se u spinových systémů obvykle hovoří, jsou kartézské komponenty rotace systému. Jinými slovy, existují tři samoadjungující operátoři běžně nazývaní $ S_x, S_y, S_z $, jejichž vlastní hodnoty jsou možné hodnoty jeden by mohl dostat, kdyby měřil jednu z těchto komponent otáčení systému. Spektrum (sada vlastních čísel) každého z těchto operátorů je stejné.U systému spin $ s $ se každé jejich spektrum skládá z následujících hodnot: \ begin {align} \ sigma (S_i) = \ {m_i \ hbar \, | \, m_i = -s, -s + 1, \ dots, s-1, s \} \ end {align} kde v mém zápisu $ i = x, y, z $. Například pokud postavíte stroj na měření komponenty $ z $ rotace systému spin- $ 1 $, pak stroj získá jednu z hodnot v sadě $ \ {- \ hbar, 0, \ hbar \} Pokaždé $. Odpovídající každému z těchto vlastních čísel má každý operátor komponenty rotace normalizovaný vlastní vektor $ | S_i, m_i \ rangle $. Jak je naznačeno obecnými poznámkami výše, je-li stav systému $ | \ psi \ rangle $ a člověk chce vědět pravděpodobnost, že měření spinové složky $ S_i $ přinese určitou hodnotu $ m_i \ hbar $ , pak jeden jednoduše spočítá \ begin {align} | \ langle S_i, m_i | \ psi \ rangle | ^ 2. \ end {align} Například pokud má systém spin- $ 1 $ a pokud chcete vědět pravděpodobnost, že měření $ S_y $ přinese vlastní hodnotu $ – \ hbar $, pak se počítá \ begin {align} | \ langle S_y, -1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}

Spinors.

Ve výše uvedeném kontextu jsou spinory jednoduše maticovými reprezentacemi stavů konkrétního spinového systému na určitém uspořádaném základě a Pauliho rotační matice jsou až do normalizace maticovými reprezentacemi operátoři komponenty rotace na tomto základě konkrétně pro systém s spinem $ 1/2 $. Maticová vyjádření často usnadňují výpočet a koncepční porozumění, a proto je používáme.

Přesněji řečeno, předpokládejme, že jeden uvažuje o systému spin- $ 1/2 $ a jeden se rozhodne reprezentovat státy a pozorovatelné na základě $ B = (| S_z, -1/2 \ rangle, | S_z, 1/2 \ rangle) $ skládající se z normalizovaných vlastních vektorů komponenty $ z $ rotace, pak by se na tomto základě našly následující maticové reprezentace \ begin {align} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {align} Všimněte si toho tato reprezentace jsou přesně Pauliho matice až po extra faktor $ \ hbar / 2 $. Navíc by každý stav systému byl reprezentován maticí $ 2 \ krát 1 $, nebo „spinor“ \ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix }. \ end {align} A tyto reprezentace lze použít k provedení výše uvedených výpočtů.

Komentáře

• Děkuji moc; to mi pomohlo ve velkém porozumění. Je to jen konvence, že vlastní stavy vracející záporná vlastní čísla jsou rotace ‚ dolů ‚ a pozitivní rotace ‚ up ‚? Abych zkontroloval své porozumění, pokusil jsem se ‚ vypočítat příklad, který jsem použil výše: je pravda, že částice spin-1 měřená nahoře v dimenzi x (vlastní hodnota hbar) bude být v normalizovaném stavu < 1/2, sqrt (2) / 2, 1/2 > a pravděpodobnost az dimenze měření vracející se nahoru pak bude 1/4, vracecí nula bude 1/2 a dolů 1/4?
• +1 Obzvláště se mi líbí vaše “ stroje “ v prvním odstavci – velmi feynmanský. Mnoho let jsem se snažil “ porozumět “ QM: matematika a teorie lži mi byly vyhrány, ale trvalo to dlouho pochopit, že “ operátoři “ nejen operátoři, ale také dostali speciální recept, jak je interpretovat jako modely “ měřicí stroje „. Je smutné, že si ‚ nepamatuji, jestli to byla Feynmanova přednáška nebo Sakurai, kdo dostal zprávu skrz, nebo zda to byla opravdu směs těchto dvou v mých myšlenkách ve sprše nebo zatímco chůze, ale to je to, co teď lidem doporučuji.

Skupiny jsou abstraktní matematické struktury definované podle jejich topologie (v případě kontinuálních (Lieových) skupin) a operace násobení.

Je však téměř nemožné mluvit o abstraktních skupinách. Proto jsou obvykle prvky skupin mapovány na lineární operátory působící na nějaký vektorový prostor $ V $:

$$ g \ in G \ rightarrow \ rho (g) \ in \ text {End} (V ), $$

kde G je skupina, $ \ text {End} (V) $ znamená endomorfismy (lineární operátory) na $ V $ a $ \ rho (g) $ je mapování .Aby toto mapování mělo smysl, musíme správně namapovat násobení skupiny:

$$ \ rho (g_1 \ circ g_2) = \ rho (g1) \ cdot \ rho (g2). $$

Inverze je také mapována na

$$ \ rho (g ^ {- 1}) = \ rho (g) ^ {- 1} $$

a identita skupiny je jen

$$ \ rho (e) = \ text {Id} _V. $$

Tomu se říká reprezentace skupiny $ G $. $ V $ se transformuje pod reprezentací $ \ rho $ skupiny $ G $.

Ve vašem případě je zájmovou skupinou skupina rotací ve 3 rozměrech, která je obvykle označována jako SO (3). Naším cílem je najít různé objekty, které lze otáčet, tj. Reprezentace (a reprezentační prostory) SO (3).

Jednou takovou reprezentací je definující reprezentace (která se používá k definování SO (3)) nebo vektorová reprezentace. V tomto případě je $ V $ jen $ R ^ 3 $ a matice z $ \ rho (\ text {SO (3)}) $ jsou ortogonální $ 3 \ krát 3 $ matice s jednotkovým determinantem:

$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$

Takže vektory lze otáčet ve 3 rozměrech. Výsledek takové rotace o $ g \ in \ text {SO (3)} $ je určen působením na počáteční vektor s operátorem $ \ rho (g) $.

Další reprezentací je spinor zastoupení. Vektorový prostor je nyní dvourozměrný a složitý . Obrázek této reprezentace se skládá z jednotkových $ 2 \ krát 2 $ s jednotkovým determinantem:

$$ A ^ {\ dagger} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$

Toto znázornění není tak zřejmé jako předchozí, protože spinory jsou něco, co v běžném životě obvykle nevidíme. Lze však matematicky dokázat, že tyto reprezentace jsou izomorfní, a proto jsou dvěma různými reprezentacemi stejné skupiny. (ve skutečnosti jsou homomorfní a spinorová reprezentace je dvojitým krytem vektorové reprezentace.)

Nyní k Pauliho maticím. Existuje obecný princip: pro každou Lieovu skupinu $ G $ existuje odpovídající lineární prostor (Lieova algebra) s Lieovou závorkou (antikomutativní operace uspokojující Jacobiho identitu), která jedinečným způsobem mapuje určité sousedství skupinové jednoty $ G $. Toto mapování se nazývá exponenciální.

Takže můžete napsat libovolný (dostatečně blízko jednotě, aby se zabránilo globálním topologickým problémům) $ 2 \ krát 2 $ komplexní matice fr om spinorová reprezentace ve tvaru

$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right], $$

kde $ \ alpha ^ a $ jsou tři čísla, která parametrizují prvek skupiny, jehož zastoupení je $ A $, a $ \ frac {i} {2} \ sigma_a $ jsou základem Lieovy algebry s $ \ sigma_a $ – 3 $ 2 \ krát 2 $ Pauliho matice. Tato rovnice do značné míry určuje, jak se spinor transformuje při libovolném otáčení.

Ve vektorové reprezentaci existuje také ležetá algebra, která se skládá ze 3 $ 3 \ krát 3 $ matice.

Existují další dvě interpretace Pauliho matic, které vám mohou být užitečné, i když až poté, co pochopíte Vynikající fyzický popis JoshPhysics . Následující lze chápat spíše jako “ funky trivia “ (na přinejmenším je považuji za zajímavé) spíše o Pauliho matice než o fyzickou interpretaci.

1. Jako základ pro $ \ mathfrak {su} (2) $

První interpretace je různě chápána jako (i) jsou to jednotkové čtveřice, modulují změnu znaménka a mění pořadí definice matematika tato zvířata , (ii) jako základ pro Lieovu algebru $ \ mathfrak {su} (2) $ z $ SU (2) $ , když použijeme exponenciál matice k obnovení skupiny $ SU (2) = \ exp (\ mathfrak {su} (2)) $ prostřednictvím (iii) trojrozměrného zobecnění De Moivreova věta .

Obecná, bez stopy, $ 2 \ times2 $ zkosená hermitovská matice $ H $ lze jednoznačně rozložit jako:

$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$

s $ \ alpha_x, \, \ alpha_y, \, \ alpha_z \ in \ mathbb { R} $ . Tato matice splňuje charakteristickou rovnici $ H ^ 2 = – \ frac {\ theta ^ 2} {4} \, \ mathrm {id} $ , kde $ \ mathrm {id} $ je $ 2 \ times2 $ identita a $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ .Pokud tedy nasadíme univerzálně konvergentní maticovou exponenciální Taylorovu řadu a poté snížíme všechny pravomoci $ H $ vyšší než lineární člen s charakteristickou rovnicí, dostaneme:

$$ \ exp \ left (H \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {id} + \ hat {H} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ tag {2} $$

což je považováno za zobecnění De Moivreův vzorec pro “ čistou imaginární “ jednotku

$$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$

a všechny členy $ SU (2) $ lze realizovat exponenciálem jako v (2) (ale mějte na paměti, že exponenciál Lieovy algebry, i když v tomto případě celý $ SU (2) $ , není vždy celá Lieova skupina, pokud lat ter je (i) připojen a (ii) kompaktní). Každý člen $ SU (2) $ tedy může být rozložen jako “ superpozice jednotkové délky Pauliho matic a matice identity.

Důvod faktoru 2 v definici $ \ theta / 2 $ je zatím záhadný: dosvědčte, že pro účely z výše uvedeného můžeme stejně snadno nahradit $ \ theta / 2 $ za $ \ theta $ . Důvod souvisí se vztahem mezi Pauliho maticemi a nebeskou sférou, o kterém pojednávám později. Čtvrtiny představují rotace skrz mapu spinoru ( ALE , jak radí Joshphysics, nenechejte se tímto slovem příliš rozptylovat); je-li vektor ve 3-prostoru reprezentován čistě imaginárním čtveřicí tvaru $ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ , pak jeho obraz pod rotací úhlu $ \ theta $ kolem osy se směrovými kosiny $ \ gamma_x, \, \ gamma_y, \, \ gamma_z $ je dáno vztahem:

$$ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z \ mapsto U \, (x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z) \, U ^ \ dagger; \ quad U = \ exp \ left (\ frac {\ theta} {2} (\ gamma_x \, \ sigma_x + \ gamma_y \, \ sigma_y + \ gamma_z \, \ sigma_z) \ right) \ tag {4} $$

Tato mapa spinoru je příkladem skupiny $ SU (2) $ působící na vlastní Lieovu algebru prostřednictvím adjunktní reprezentace. Lze ji intuitivně chápat ve smyslu trojúhelníkové pravidlo pro vypracování složení dvou rotací, jak je nakresleno v mém diagramu níže. Oblouky na jednotkové kouli představují rotaci o úhel dvakrát větší než úhel daný úhlem podřízeným obloukem v počátku.

Podrobně to vysvětlím v Příkladu 1.4 “ $ 2 \ times2 $ Unitary Group $ SU (2) $ “ na mé webové stránce “ Některé příklady propojených skupin lži “ zde .

K dispozici je také moje interaktivní ukázka Mathematica “ Spinorová mapa $ SU (2) $ : rotační kompozice od grafických čtvercových trojúhelníků “ na webu Wolfram Demonstations .

2. Nebeská sféra

Rozšířením trojrozměrného lineárního prostoru superpozic Pauliho matic (což je stejné jako lineární prostor traceless $ 2 \ times2 $ zkosené-hermitovské matice) do 4 dimenzionálního prostoru překlenutého Pauliho maticemi a maticemi identity, pak libovolná transformace ze skupiny $ SL (2, \ , \ mathbb {C}) $ působí na vektory ve tvaru $ t \, \ mathrm {id} + x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ stejnou spinorovou mapou jako v (4). Pokud se v tomto prostoru omezíme na projektivní paprsky, skupina $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ je izomorfní vůči Moebiově skupině Möbiovy transformace působí na tento prostor paprsků úplně stejně jako Möbiovy (zlomkové lineární) transformace působí na Riemannovu sféru. $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ je dvojité krytí skupiny Lorentz a můžete vypočítat, jak se mění pohled vesmírného pilota, jak se mění podstoupit Lorentzovy transformace. Viz sekci “ Lorentz Transformations “ na Wikipedii “ Möbiova transformace “ stránka pro další podrobnosti.

Obecné mechanické vysvětlení. Pole a vlny následují hyperbolické rovnice (vlnové rovnice). Ty představují pokrok v prostoru a čase a jako takové nemohou „představovat hmotu, která musí být stacionární, ale může se také točit. Takový pohyb vyžaduje eliptickou rovnici. Jako příklad lze uvést, že Kline-Gordonova rovnice je hyperbolická, zatímco Diracova rovnice je eliptický. V tekoucích tekutinách existuje paralelní příklad. Víry a turbulence se nemohou vytvořit bez pomoci hranice – k odvrácení toku od postupu do cirkulujícího stavu. První oblast je hyperbolická a druhá eliptická.

Nyní, abychom vytvořili částici (rotující energii) z pole (pohybujícího se v poloze), musíme odklonit / otočit směr pole. Tady přicházejí Pauliho matice o pomoc a poskytují požadovanou elipticitu. Proto se používají imaginární čísla / rotace. Vynásobením veličiny i ji otočíme o 90 stupňů, pro obecný úhel použijeme exponenciál imaginární veličiny.

Později, když smícháme Lagrangianovy vln a částic v obecnějším modelu, vrátíme se používat Higgsa ke stejné práci při transformaci z jednoho druhu energie na druhý – to je z polí na částice a naopak.