Coulomb ' s Zákon: proč je otázka $ k = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} $ [duplicate]

Definování symbolu $ k $ v Coulombově zákoně, $$ F = k \ frac {q_1q_2} {r ^ 2}, $$ bude $ k = 1/4 \ pi \ epsilon_0 $, je dokonale povoleno, když tomu člověk rozumí jednoduše jako definice $ \ epsilon_0 $. Motivací pro tuto definici je, že když spočítáte síly mezi dvěma opačně nabitými deskami oblasti $ A $ a nabijete $ Q $ na vzdálenost $ d $ od sebe, přijdou jako $ F = \ frac {2 \ pi kQ ^ 2} {d} = \ frac {Q ^ 2} {2 \ epsilon_0 d} $, kde faktor $ 4 \ pi $ vychází z uvážlivé aplikace Gaussova zákon.

Když to dále rozvinete do teorie kapacity, zjistíte, že to znamená, že napětí mezi deskami je $ V = Q / C $, kde $ C = \ epsilon_0 A / d $. Dále, pokud chcete vložit dielektrikum mezi desky (jak to často děláte), pak se kapacita změní na $$ C = \ epsilon A / d $$, kde $ \ epsilon $ je známé jako elektrická permitivita dielektrika . $ \ epsilon_0 $ se pak přirozeně chápe jako „permitivita volného prostoru“ (což samozřejmě jednoduše definuje, co máme na mysli pod permitivitou).

Otázkou tedy samozřejmě je, proč je to „odvozeno „jednotka, $ \ epsilon_0 $, považována za„ zásadnější “než původní $ k $? Odpověď zní, že to není stejné, protože jsou ekvivalentní, ale permitivita volného prostoru je mnohem snazší měřit (a rozhodně to tak bylo během konce 19. a počátku 20. století, kdy byl elektrický výzkum velmi zaměřen na technologie založené na obvodech), aby vyšel vítězem, a proč mít dva symboly pro ekvivalentní množství?

Jednotka druhé je definována jako doba trvání určitého počtu period záření emitovaného z části konkrétní typ elektronového přechodu mezi energetickými hladinami v izotypu cesia (viz zde ).

Předpokládá se, že světlo se pohybuje v konstantní rychlost $ c $ nezávislá na jednom referenčním rámci, takže nyní, když máme pevnou jednotku času, můžeme definovat jednotku délky: metr je vzdálenost, kterou světlo cestuje v $ 1/299792548 \, \ mathrm {s} $.

Rovněž definujeme jednotku SI proudu (Ampér), aby propustnost volného prostoru získala požadovanou hodnotu v Jednotky SI ($ 4 \ pi \ krát 10 ^ {- 7} $).

Poté můžeme definovat $$ \ varepsilon _0 = \ frac {1} {\ mu _0c ^ 2} $$ jako $$ k = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _0}. $$

Nyní mějte na paměti, že k tomu nemusíte opravovat systém jednotek (jako jsem to dělal dříve). Jelikož výše uvedené jsou definice , budou platit v jakémkoli systému jednotek. Abychom však viděli, že tyto definice nakonec nejsou kruhové, pomůže nám to vidět, že můžeme definovat $ \ mu _0 $ a $ c $ z hlediska čistě fyzikálních jevů. Jinými slovy, aby výše uvedené definice vůbec dávaly smysl, museli jsme vědět, že můžeme nejdříve definovat $ c $ a $ \ mu _0 $ nezávisle na $ \ varepsilon _0 $ a $ k $. Výše uvedená definice jednotek SI vám pomůže zjistit, že toho lze dosáhnout.

Komentáře

• S novým systémem SI se to všechno mění. Zatímco $ c $ je pevné, $ \ mu_0 $ a $ \ epsilon_0 $ nejsou.

Pokud je otázkou, proč „$ 4 \ pi $“ v Coulombově konstantě (k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $), pak stejně platnou otázkou může být důvod, proč „4 $ \ pi $“ v magnetické permeabilitě vakua, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $?

Možná najdeme vodítko v Maxwellově rovnici rychlosti elektromagnetické vlny (světla) ve vakuu, $ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $.

Maxwell tento vztah samozřejmě odvodil mnohem později než Coulomb.

Maxwell se týká elektrická permitivita vůči magnetické permeabilitě ve vakuu, $ \ mu_ {0} = \ frac {1} {\ epsilon_ {0} c ^ {2}} $, která má hodnotu $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $ v jednotkách SI.

„Důvod“ pro „$ 4 \ pi $“, které se zde objevují, a v Coulombově konstantě (věřte tomu nebo ne), takže že Maxwellovy rovnice lze psát bez jakýchkoli $ 4 \ pi $ „faktorů!

Abychom tomu porozuměli, zvažte, jak jsou elektrostatické jevy vyjádřeny v Coulombsově zákonu jako“ pole “ intenzita na druhou mocninu „, ve srovnání se (ekvivalentním) Gaussovým“ zákonem, který popisuje „tok skrz uzavřený povrch obklopující náboj“.

Celkový tok je hustota toku vynásobená plochou povrchu , což pro kouli o poloměru $ r $ je dáno $ S = 4 \ pi r ^ {2} $, takže poměr $ S / r ^ {2} $ = $ 4 \ pi $ je jednoduše výsledkem geometrie prostor a sférická symetrie.

Systém SI jednotek (na rozdíl od Gaussových jednotek) se říká „racionalizovaný“, protože umožňuje vyjádření Maxwellových rovnic bez faktorů $ 4 \ pi $. Za tímto účelem byl faktor $ 4 \ pi $ jednoduše zabudován do definice (jednotky SI) univerzální konstanty pro propustnost vakua, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $, ze kterého můžeme vyjádřit Coulombovu konstantu jako k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $.