Zde chceme ukázat, že metoda Box-Muller generuje dvojici nezávislé standardní gaussovské náhodné proměnné . Ale nerozumím, proč používáme determinant? Pro mě, když máte dvě nezávislé proměnné, je funkce hustoty kloubů pouze produktem funkce dvou hustot. Někdo mi zde může vysvětlit význam determinantu? Prosím.
Komentáře
- Při přechodu z X na Y dochází ke " změně proměnných " vynásobte Jacobem transformace, což je determinant, který vidíte výše. Viz například Proposition 8 zde math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Dobře, rozumím, děkuji Alexi za odpověď.
Odpověď
Nechť $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, máme
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ left [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ right] = \ mathbb {P} \ left [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ je jednotně definováno na $ [0, 1] $, proto $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ Skutečně $$ f_Z (z) = \ begin {cases} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ nech $ W = 2 \ pi X_2 $. Proto je $ X_2 $ rovnoměrně distribuováno na $ [0,1] $, takže $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Protože $ X_1 $ a $ X_2 $ jsou nezávislé, $ Z $ a $ W $ by měly být nezávislé. Máme $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ vpravo), \ quad z > 0 \ quad \ text {a} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Definovat funkci $ q: (0, \ infty) \ krát ( 0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ 2 $ takové, že $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ tedy $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ jinými slovy $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q „(q ^ {- 1} (y_1, y_2))) |} $$ můžeme snadno ukázat $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ pak $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
Odpověď
Je vidět, že $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ a ten $ Y_2 \ přes Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Proto $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ přes Y_1}} $ a $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ přes 2} $ .
Získání diferenciálu pro získání $ dX_1 = {1 \ přes {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ přes {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
Podobně $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ nad 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Proto Jacobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ nad {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ nad 2 } $ .
U souborů PDF jako $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
dává $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ nad {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ nad 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ více než 2} $
ukazující, že $ Y_1, Y_2 $ jsou nezávislé gaussovské náhodné proměnné.
Commen ts
- rozsah $ X_1 $ by měl být (0,1), ale $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ je $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $