Důkaz slabší Baker-Campbell-Hausdorffovy formule [duplikát]

Nejprve předpokládám konečné dimenzionální operátory: jinak musíte u operátorů zkontrolovat určité podmínky omezenosti. Protože řada CBH je zde zkrácena mizejícími dvojitými komutátory, podmínky pro lineární operátory na např. $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ budou mírné.

Musíte si nacvičit operace s $ \ mathrm {Ad} $. Vyhledejte následující. Ve Lieově skupině $ \ mathfrak {G} $ s algebrou $ \ mathfrak {g} $ tečný vektor cesty:

$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ v \ mathfrak {g} \ tag {1} $$

v identitě je $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Zde $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ to GL (\ mathfrak {g}) $ je Adjoint zastoupení . Jedná se o homomorfismus Lieovy skupiny od obecné Lieovy skupiny $ \ mathfrak {G} $ až po maticovou Lieovu skupinu $ GL (\ mathfrak {g}) $. Jeho jádro je centrem $ \ mathfrak {G} $. Jelikož se jedná o homomorfismus, máme $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ v \ mathfrak {G} $. Další užitečná identita je:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$

a tato řada je univerzálně konvergentní pokud je operátor $ B \ mapsto [A, \, B] $ vhodně ohraničený ( např. $ \ left \ | [A, \, B] \ right \ | \ leq K (A) \, \ left \ | B \ right \ | $ pro některé $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – to určitě platí v konečných rozměrech).

Nyní (1) a vlastnost homomorfismu ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \ , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), zjistíte, že:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ vpravo) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$

Všechno výše uvedené je naprosto obecné. Musíte to specializovat na váš zkrácený případ. Použijte tedy univerzálně konvergentní (a zde zkrácenou na dva termíny) řadu (2) k rozbalení $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ a zkraťte to pro svůj speciální případ a myslím, že byste měli udělat nějaký pokrok.

Pedantská verze: ačkoli oba řády pro jméno jsou docela běžné, řád přesně odrážející historickou prioritu je „Campbell-Baker-Hausdorff“, protože každý z autorů přispěl v letech 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) a 1906 (Hausdorff) ). Každý si byl vědom své předchůdcovské „práce, ale jak uvádí Fascicule 16 Ch 1 z Bourbaki (1960),„ každému připadaly demonstrace jeho předchůdců nepřesvědčivé (!) “. Toto prohlášení mě vždycky chichotá a poskytuje určitou útěchu, kterou jsem „nejsem jediný, kdo má asi 5% míru porozumění při čtení odborné literatury (domnívám se, že si musím„ přečíst “v průměru asi 20krát článek) Zábavným faktem je, že žádný z těchto tří ve skutečnosti sérii nepracoval. Místo toho založili teorém, že řada byla konvergentní v určitém sousedství $ \ mathbf {0} $ v Lieově algebře a zahrnuje pouze lineární operace a operace s hranatými závorkami. Samotný vzorec je zásluhou Dynkina a byl plně vypracován v roce 1947!

Komentáře

• moc děkuji za odpověď! ' Budu se snažit studovat vaši odpověď, i přes mé malé úvodní znalosti skupin lži a algebry.
• @quarkleptonboson I ' jsme přidali další krok k ekv. (3) abychom vám pomohli.Představte si všechny operátory jako čtvercové $ N \ krát N $ matice a všechny Lieovy závorky a multiplikace se pak stanou multiplikacemi konkrétní matice. (2) je vždy doslovná maticová mocninová řada, protože skupina invertibilních lineárních transformací na $ \ mathfrak {g} $ je vždy maticová skupina.