Reprezentace modelu AR (1) je následující:
$ Y_t = c + ϕY_ {t-1} + ε_t $
kde $ c = (1 -ϕ) μ $ ( $ c $ je konstanta).
Chci porozumět výpočtům, které existují jsou za obecným vzorcem autovariance AR (1), což je $ γ (h) = \ operatorname {Var} (Y_t) ⋅ϕ ^ {| h |} $
Zatím jsem provedl následující kroky – začal jsem s $ γ (1) $ :
$ \ operatorname {Cov} (Y_t, Y_ {t-1}) = γ (1) = $
$ = \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1} + ε_t, ϕY_ {t-2} + ε_t) = $
$ = \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ϕY_ {t-2}) + \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) + \ operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) + \ operatorname {Cov} (ε_t , ε_t) $
$ γ (1) = ϕ ^ 2γ (1) + ??? + ??? + σ ^ 2 $
Jak vidíte, od tohoto okamžiku nemohu pokračovat, protože nevím, které hodnoty jsou z $ \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) $ a $ \ operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) $
Jakákoli pomoc bude velmi oceněna. Předem děkuji.
Odpověď
Pojďme psát $ \ gamma ( 1) $ : $$ \ begin {align} \ gamma (1) & = cov (Y_t, Y_ {t -1}) = cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = cov (c, Y_ {t- 1}) + \ phi cov (Y_ {t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = \ phi \ gamma (0) \ end {align} $$
od $ cov (c, Y_ {t-1}) = cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) = 0 $ , (tj. minulý výstup je nezávislý na budoucím vstupu).
Podobně $ \ gamma (2) = cov (Y_t, Y_ {t-2}) = cov (\ phi Y_ {t-1} + c + \ epsilon_t, Y_ {t-2}) = \ phi \ gamma (1) = \ phi ^ 2 \ gamma (0) $ .
Pokud budeme pokračovat tímto způsobem, dostaneme $ cov (Y_t, Y_ {th}) = \ phi \ gamma (h-1) = … \ phi ^ h \ gamma (0) $ , kde $ h \ geq0 $ . Zobecnění pro záporné $ h $ výnosy $ \ gamma (h) = \ phi ^ {| h |} \ gamma (0) $ , kde $ \ gamma (0 ) = var (Y_t) $ .
PS celá tato analýza předpokládá, že $ \ epsilon_t $ je WSS, proto $ y_t $ z vlastnosti filtrování LTI.
Komentáře
- v prvním řádku je překlep .. špatně umístěný znak identity.
- V prvním řádku bych nahraďte 3. “ + “ znak “ = “ znamení: $ cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) = cov (c, Y_ {t-1}) + \ phi cov (Y_ { t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) $
- Při pokusu o úpravu překlepu adresovaného @Jesper jsem převedl toto konkrétní = znaménko podepsat + a udělat to špatně :). Vidím, že důvodem je vykreslování. I když je pořadí příkazů tex správné, byly zobrazeny v jiném pořadí. Každopádně jsem ‚ použil příkazy zarovnání a učinil to mnohem jasnějším. Doufám, že ‚ je to v pořádku.
- Je výraz pro podmíněnou automatickou kovarianci stejný? To znamená, že $ Cov [Y_ {t_0 + n + h}, Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h Var [Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h \ sigma ^ 2 \ frac {1- \ phi ^ {2n}} {1- \ phi ^ 2} $ pozdržení?
Odpověď
Počínaje tím, co jste poskytli:
$ y_ {t} = c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {1} $
Kde $ c = (1 – \ phi) \ mu $
Můžeme přepsat $ (1) $ as:
\ begin {array} \ y_ {t} & = & c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & (1 – \ phi) \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & \ mu – \ phi \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ \ end {array}
Pak
$ y_ {t} – \ mu = \ phi (y_ {t-1} – \ mu) + \ epsilon_ {t} \ tag {2} $
Pokud necháme $ \ tilde {y_ {t}} = y_ {t} – \ mu $ , pak rovnice $ (2) $ lze zapsat jako:
$ \ tilde {y} _ {t} = \ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {3} $
Variance
Varianta $ (3) $ se získá srovnáním výrazu a převzetím očekávání, které končí:
\ begin { array} \ \ tilde {y} _ {t} ^ 2 & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1} + \ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1}) ^ 2 + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + (\ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & \ phi ^ {2} \ tilde {y} _ {t-1} ^ {2} + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + \ epsilon_ {t} ^ 2 \ end {array}
Nyní očekávejte:
$ E (\ tilde {y} _ {t} ^ 2) = \ phi ^ {2} E (\ tilde {y} _ {t-1} ^ {2}) + 2 \ phi E (\ tilde {y } _ {t-1} \ epsilon_ {t}) + E (\ epsilon_ {t} ^ 2) $
Její Budeme volat:
- $ \ sigma_ {y} ^ {2} $ je rozptyl stacionárního procesu.
- Druhý člen na pravé straně rovnice je nula, protože $ \ tilde {y} _ {t-1} $ a $ \ epsilon_ {t} $ jsou nezávislé a oba mají nulové očekávání.
- Posledním výrazem vpravo je varianta inovace, označená jako $ \ sigma ^ {2} $ (všimněte si, že neexistuje dolní index pro toto).
Nakonec
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ phi ^ {2} \ sigma_ { y} ^ {2} + \ sigma ^ {2} $
Pokud vyřešíme rozptyl procesu, jmenovitě $ \ sigma_ { y} ^ {2} $ , máme:
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2 } {1 – \ phi ^ 2} \ tag {4} $
Autokonverze
Použijeme stejný trik, jaký používáme pro vzorec $ (3) $ . Autokonverze mezi pozorováními oddělenými obdobími $ h $ je potom:
\ begin {array} \ \ gamma_ {h} & = & E [(y_ {t – h} – \ mu) (y_ {t} – \ mu)] \\ & = & E [(\ tilde {y} _ {t – h}) (\ tilde {y } _ {t})] \\ & = & E [\ tilde {y} _ {t – h} (\ phi \ tilde {y} _ {t – 1} + \ epsilon_ {t}) \\ \ end {array}
Inovace nesouvisí s minulými hodnotami série, pak $ E [\ tilde {y} _ {th} \ epsilon_ {t}] = 0 $ a zbývá nám:
$ \ gamma_ {h} = \ phi \ gamma_ {h-1} \ tag {5} $
Pro $ h = 1, 2, \ ldots $ a s $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ 2 $
Pro konkrétní případ $ AR (1) $ , z rovnice $ (5) $ se stane:
$ \ gamma_ {1} = \ phi \ gamma_ {0} $
A použití výsledku z rovnice $ (4) $ : $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} $ skončíme s
$ \ gamma_ {1} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} \ phi $
Původní zdroj: Andrés M. Alonso & Prezentace Carolina García-Martos. K dispozici zde: http://www.est.uc3m.es/amalonso/esp/TSAtema4petten.pdf