Jak daleko mohou papoušci létat, aniž by museli přistávat?

Letové ptáky byly původní inspirací pro konstrukci stroje, který dokázal létat a přepravovat osobu nahoře, proto to není překvapivé, že aerodynamika ptačího letu a letadel má mnoho společného. Konkrétně oba spotřebovávají hmotnost jako zdroj energie pro udržení letu; tryskové palivo nebo benzín v případě letadel a uložený tělesný tuk u ptáků a oba mají křídla , která zajišťují aerodynamický vzestup vzduchu, který se nad nimi pohybuje během letu. Oba mají navíc další charakteristiku letu, schopnost klouzat , pokračovat v letu bez poskytnutí jakékoli vlastní energie k udržení tohoto letu. Tuto energii poskytuje samotná atmosféra ve formě stoupajících proudů vzduchu způsobených rozdílem teploty místní „kapsy“ vzduchu; kapsa vzduchu, která je teplejší než okolní vzduch, vzroste, protože má nižší hustotu, Archimédův princip v akci. Podobný proces nastává, když je část vlhkého vzduchu obklopena suchým vzduchem při stejné teplotě jako vlhký vzduch, a proto je méně hustý než suchý vzduch. Třetí zdroj stoupajícího vzduchu je způsoben místní topografií; vzduch na návětrné straně hřebene nebo hory je tlačen nahoru a je často využíván ptáky jako zdroj vztlaku.

Jakákoli diskuse o klouzavém letu bude nevyhnutelně zahrnovat některé aspekty fyziky atmosféry (aka počasí), zde se to nijak neliší. Jak již bylo uvedeno výše, balík vlhkého vzduchu obklopený suchým vzduchem na stejná teplota stoupne. Pokud je tato teplota vyšší než teplota nasycení (rosný bod) pro tuto část vzduchu, voda zůstane ve formě páry. Všichni víme, že jak v atmosféře stoupáme, teplota klesá; je chladnější na vrcholu hory než na jejím úpatí. Jak tedy naše část vlhkého vzduchu stoupá, její teplota bude klesat a nakonec bude tato teplota stejná jako rosný bod v této zemi, což povede ke kondenzaci této vlhkosti, tj. Vytvoří se mrak. Protože povrch s konstantní teplotou v atmosféře je téměř rovný povrch, vidíme na obloze mraky, jejichž základny jsou všechny na stejné úrovni, na úrovni, kde začíná tato kondenzace. Nyní pro trochu termodynamiky; když vaříme vodu přidáním tepla (to je energie), měníme kapalnou vodu na páru (páru).Tady je věc, když tuto páru ochladíme na rosný bod, zkondenzuje zpět na kapalnou vodu, a tím získáme teplo (které bylo vloženo, aby se vařilo) zpět ! Toto rekuperované teplo se projevuje jako zvýšení teploty vzduchu, který se právě vzdal vodní páry. Toto zvýšení teploty způsobí, že vzduch bude i nadále stoupat, nyní kvůli teplotnímu rozdílu s spíše než rozdíl tlaků vodní páry ; okolní vzduch; oblak stále roste nahoru. To je zdroj mraků kumulonimbus, které vidíme na obloze a které mohou nakonec vytvořit bouřky. klíčový fakt o počasí, který přímo souvisí s naší diskusí o klouzavém letu; pokud neexistují žádné aktualizované proudy, nejsou ani mraky. To je pravda, aby se vytvořil mrak, musí existovat musí aktualizované proudy obsahující vlhký vzduch . Žádné mraky nenaznačují žádné aktualizace. Pokud nejsou k dispozici žádné aktualizované proudy, neexistuje žádný klouzavý let. Upozorňujeme však, že opravdu suchý vzduch je velmi těžké najít; stále tu mohou být termálky, ale není to pravděpodobné a ty nejsou moc silné. Diskuse z této diskuse je následující: pokud chceme zahrnout zvýšení maximálního dosahu vyplývající z klouzavého letu, musíme být schopni předpovědět počasí (které se ještě nestalo, a říkám to jako ten, kdo strávil roky jako vysokoškolák a postgraduální student aktivní v atmosférickém výzkumu.). Klouzavý let na dlouhé vzdálenosti zde proto již nebudeme řešit.

Analýzu poháněného letu začneme zvážením konkrétní letoun, řekněme proudový letoun Boeing 787. Abychom zjistili jeho maximální dosah, letadlo by bylo zcela načerpáno, vzlétlo by a letělo po rovné dráze letu s konstantní rychlostí, protože jakákoli zrychlení (změnou nadmořské výšky nebo zrychlením) by měla pas Když palivová nádrž vyschne, dosáhli jste maximálního rozsahu poháněného letu (samozřejmě za předpokladu, že nebude čelní ani zadní vítr).

Z analytického hlediska palivo přepravované 787 je zdrojem energie, $ E_s $ , který pohání jeho motory. Tyto motory produkují přítlačnou sílu $ \ mathbf {T} = T \ mathbf {\ hat {T}} $ směrovanou vodorovně, rovnoběžně s podélnou osou 787 “ a na dráhu letu, která působí proti účinku atmosférické síly tažení, $ \ mathbf {D} = D \ mathbf {\ hat {D}} $ , který je proti pohyb 787 po jeho letové dráze. Za stabilních letových podmínek (konstantní rychlost a nadmořská výška) jsou čisté horizontální síly na 787 nulové, takže $ \ mathbf {T} + \ mathbf {D} = \ mathbf {0} $ nebo $ \ mathbf {D} = – \ mathbf {T} $ . Vezmeme-li velikost obou stran tohoto výrazu, zjistíme, že $ D = T $ , takže $ \ mathbf {\ hat { D}} = – \ mathbf {\ hat {T}} $ . Zjistili jsme, že tah generovaný motory má stejnou velikost jako, ale směřuje proti atmosférickému odporu.

Za stejných letových podmínek najdeme podobný vztah pro vertikální složky síly působící na 787, jeho váha, $ \ mathbf {F} _w = F_w \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ je vyvážena výtahem $ \ mathbf {L} = L \ mathbf {\ hat {L}} $ generovaný křídly tak, že $ F_w = m_p g = L $ a $ \ mathbf {\ hat {L}} = – \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ kde $ m_p $ je okamžitá hmotnost (= vzletová hmotnost letadla, $ m_ {p_0} $ , mínus hmotnost vynaloženého paliva, takže daleko generující tah) 787 a $ g = 9,8 \, \ text {m / s} ^ 2 $ je standardní gravitační zrychlení na povrchu Země. Upozorňujeme, že za těchto letových podmínek platí, že $ \ mathbf {L} $ a $ \ mathbf {F} _w $ jsou kolmé na $ \ mathbf {T} $ a $ \ mathbf {D} $ .

Pokud je tah odstraněn, takže $ \ mathbf {T} = \ mathbf {0} $ , síla tažení nebude déle být proti a zpomalí letadlo dolů, což sníží rychlost vzduchu proudícího přes křídlo, což zase způsobí, že křídlo bude generovat menší vztlak, čímž se zahájí sestup letadla (jeho váha je větší než vztlak produkovaný Pokud je rovina potom „nakloněna dolů“ o úhel $ \ alpha $ z vodorovné roviny, promítnutí vektoru hmotnosti roviny, $ \ mathbf {F} _w $ na podélné ose letadla již nebude nula, ale místo toho bude $ \ mathbf { F} _w \ sin \ alp ha $ směřující dopředu proti odporu.Pokud je $ \ alpha $ zvoleno tak, aby součet této projekce a vektoru tažení byl nulový, pak rovina sestupuje konstantní rychlostí a velikostí tahu je dáno $ D = F_w \ sin \ alpha $ . Projekce váhového vektoru na osu kolmou k podélné ose roviny, $ \ mathbf {F} _w \ cos \ alpha $ , je vyvážena rovným velikost, ale opačně směrovaný vektor výtahu, jehož velikost se nyní stává $ L = F_w \ cos \ alpha $ . Pokud vytvoříme poměr $ D / L $ najdeme \ begin {equation} \ frac {D} {L} = \ frac {F_w \ sin \ alpha} {F_w \ cos \ alpha } = \ tan {\ alpha} \ tag {1} \ label {1} \ end {rovnice} Inverzní hodnota tohoto poměru, $ L_D = L / D = (\ tan \ alpha) ^ {- 1} $ , je v aerodynamice známé jako poměr zdvihu k odporu , zatímco úhel $ \ alpha $ se nazývá úhel sklonu klouzání . Tyto dva parametry jsou důležité pro celkovou charakterizaci aerodynamiky vzdušného rámu. Jakmile je tento poměr znám, lze jej použít k odhadu táhnout ve vodorovném letu. Ale ve vodorovném letu, výtah má stejnou velikost jako hmotnost letadla, $ L = F_w = m_p g $ . Nahrazení tohoto výrazu do ekv. ~ $ \ eqref {1} $ a řešení pro drag \ begin {equation} D = L \ tan \ alpha = F_w \ tan \ alpha = m_p g \ tan \ alpha \ tag {2} \ label {2} \ end {rovnice}

Dosáhli jsme bodu v naše analýzy, že musíme řešit rozpočet hmoty / energie na let letadla. Bude užitečné rozdělit hmotnost letadla na jeho prázdnou hmotnost (bez paliva), $ m_ {p_e} $ a hmotnost dostupného paliva $ m_f $ s počáteční počáteční hmotností paliva danou $ m_ {f_0} $ . S těmito definovanými veličinami je počáteční vzletová hmotnost letadla dána $ m_ {p_0} = m_ {p_e } + m_ {f_0} $ , zatímco okamžitá hmotnost je dána $ m_p = m_ {p_e} + m_f $ . Během letu hmotnost dostupné palivo, $ m_f $ , se liší tak, že $ m_ {f_0} \ ge m_f \ ge 0 $ , zatímco hmotnost letadla, $ m_p $ , liší se od $ m_ {p_0} \ ge m_p \ ge m_ {p_e} $ .

Existují dvě další konstanty potřebné k určení čisté efektivní energie, která je k dispozici pro práci proti tažné síle při spotřebě (rozdílového) množství $ \ delta m_f $ paliva při letu (diferenciální) vzdálenosti $ \ delta \ mathbf {r} $ . První z nich, $ \ kappa $ , určuje celkovou (diferenciální) energii, $ \ delta E $ , dostupné ze spalování množství $ \ delta m_f $ paliva \ begin {equation} \ delta E = \ kappa \ delta m_f \ tag {3} \ label {3} \ end {equation} U amerického letadla, jako je 787, $ \ kappa $ bude mít jednotky vynaložené něco jako BTU za libru paliva. Druhý, $ \ eta $ , určuje účinnost převodu dostupné energie na skutečnou práci, $ \ delta W $ , generující tah, který působí proti tažení \ begin {equation} \ delta W = \ eta \ delta E = \ eta \ kappa \ delta m_f = – \ mathbf {T} \ cdot \ delta \ mathbf {r} = – m_p g \ tan \ alpha \ delta r \ tag {4} \ label {4} \ end {rovnice} kde $ \ delta \ mathbf {r} = \ delta r \ mathbf {\ hat {T}} $ je vektor diferenciálního posunutí podél dráhy letu při konstantní rychlosti, vodorovném pohybu a minusu znak odpovídá za to, že zásoby energie v letadle jsou spotřebovány, protože tato energie je používána k vyrovnání odporu (zásadně disipativní proces).

Necháme $ \ z delta $ se stanou deriváty, vydělením $ m_p $ a použitím $ m_p = m_ {p_e} + m_ f $ a nahrazení integrovaných proměnných primovanými veličinami, lze ekv. ~ $ \ eqref {4} $ přepsat v integrálním tvaru \ begin {equation} \ eta \ kappa \ int_ {m_ {f_0}} ^ {m_f} \ frac {dm „} {m_ {p_0} + m“} = – g \ tan \ alpha \ int_0 ^ r dr „\ tag {5} \ label {5} \ end {equation} s limity integrace vyhodnocenými při vzletu a aktuální downrange pozicí vzdálenost $ r $ od startu.

Provedení integrací uvedených v ekv. ~ $ \ eqref {5} $ a zjednodušení máme výsledek \ begin {equation} m_p = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r} \ tag {6} \ label {6} \ end {equation} Zjistili jsme, že hmotnost letadla, $ m_p $ , je exponenciálně klesající funkcí ujeté vzdálenosti, $ r $ . Necháme $ r = r_m $ maximální rozsah letadla, kde bylo vyčerpáno veškeré palivo (když $ m_f = 0 $ takže $ m_p = m_ {p_e} $ ), ekv. ~ $ \ eqref {6} $ se stává \ begin {equation} m_ {p_e} = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r_m} \ značka {7} \ label {7} \ end {equation} Zaznamenáváme podobnost tohoto výrazu s Tsiolkovského raketovou rovnicí .

Eq. ~ $ \ eqref {7} $ lze vyřešit pro maximální rozsah $ r_m $ \ begin {equation} r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} { m_ {p_e}} \ right) \ tag {8} \ label {8} \ end {equation} , neuvěřitelně jednoduchý výsledek, při všech úvahách! Tento výsledek zůstává platný pro jakýkoli aerodynamický systém, který získává vztlak pohybem vpřed vzduchem poskytovaným pohonným systémem, který spotřebovává hmotu k výrobě tahu. Mohlo by to být použito u modelu Cessna 172, nebo dokonce u modelu 172 s rádiovým (RC) pohonem na nitro. Mohlo by to být ne použito u modelu 172 s elektrickým pohonem (baterií), protože žádný úbytek hmotnosti z baterie nebo na jakýkoli typ kluzáku (žádný tah nebo úbytek hmotnosti). Lze jej však použít u jakéhokoli ptáka letu, včetně našeho papouška!

U papouška je zdrojem energie tuk uložený v jeho těle. Tato hmota je spotřebována metabolickými procesy, které ji přeměňují na $ \ text {CO} _2 $ a vodní páru, která je vylučována během dýchání, a jako pot a moč jako papoušek mouchy (papoušek „vyfoukne“, jak to bylo!). Energetický obsah tělesného tuku ( $ \ kappa $ , jak je definováno v Eq. ~ $ \ eqref {3} $ ) je 9 (jídlo) kalorií na gram. Jedno jídlo Kalorie se rovná jedné kilokalorii, což je zase 4184 joulů v jednotkách SI, viz Wikipedia article Potravinová energie .

Účinnost přeměny uložené energie v lidském těle na mechanickou práci se odhaduje na $ 18 \% $ – $ 26 \% $ (viz stránka Wikipedia sval ). Dalo by se očekávat podobné počty pro ostatní teplokrevné obratlovce, takže k jedné významné číslici vezmeme $ \ eta = 20 \% = 0,2 $ (bezrozměrné množství).

Zdá se, že existuje velmi široké rozmezí pro procento tělesné hmotnosti, které je tukem. Někteří stěhovaví ptáci mají až 70 $ \% $ (viz obézní super sportovci: migrace tuků u ptáků a netopýrů , ale papoušek se obecně nepovažuje za stěhovavého ptáka. Na webové stránce Srovnání letových kilometrů u různých druhů divokých papoušků je uvedena migrační vzdálenost 320 km například u tlustých papoušků. Proto je 70 $ \% $ číslo pravděpodobně příliš velké. Na druhé straně je mleté hovězí maso považováno za libové, pokud obsahuje 10 $ \% $ tuku, ale obecněji se blíží 20 $ \% $ . Vybereme hodnotu poněkud pod mediánem těchto extrémů, řekněme $ 35 \% $ .

Typická hmotnost pro papouška je další obtížně zjistitelné číslo, protože tam je velmi velký rozdíl v tělesné hmotnosti pro různé členy rodiny papoušků. Například webová stránka Průměrná hmotnost ptáků běžných druhů papoušků poskytuje údaje o 52 druzích papoušků s odkazy na další čtyři druhy, každý s několika položkami. Ty se pohybují od 10 gramů pro pěnkavu Zebra po 1530 gramů pro papouška zeleného křídla a pokrývají hmotnostní rozsah přes dva řády! Výsledek: neexistuje nic jako „typický“ papoušek! Vybereme Papouška tlustého, protože máme data na dlouhé vzdálenosti, s nimiž můžeme porovnat náš výsledek. Stránka Wikipedia Papoušek tlustý-účtovaný udává hmotnostní rozsah 315-370 gramů, použijeme 370 gramů, takže $ m_ {p_0} = 0,37 \, \ text {kg} $ , 35 $ \% $ z toho je třeba považovat za palivo, takže $ m_ {f_0} = 0.16 \, \ text {kg} $ ponechání „prázdné“ hmotnosti papouška na $ m_ {p_e} = 0,24 \, \ text {kg} $ .

K odhadu máme jeden zbývající parametr, kterým je úhel sklonu sestupu, $ \ alpha $ , který se používá k vyhledání výtahu k poměr přetažení výše. Vezměte v úvahu odhady velikosti $ \ alpha = 10 ^ 0 = 1 \, \ text {radian} \ cca 60 ^ o $ , $ \ alpha = 10 ^ {- 1} = 0,1 \, \ text {radian} \ cca 6 ^ o $ nebo $ \ alpha = 10 ^ {- 2} = 0,01 \, \ text {radian} \ přibližně 0,6 ^ o $ . Je zřejmé, že $ 60 ^ o $ je příliš daleko strmé a 0,6 ^ o $ je příliš mělké, takže $ 6 ^ o $ je jediné přijatelné pořadí volba velikosti, proto jsme nastavili $ \ alpha = 10 ^ {- 1} $ radián, číslo platné pro většinu letových ptáků.

Opakování Rov. ~ $ \ eqref {8} $ výše, $$ r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} {m_ {p_e}} \ right) $$ a dosazení hodnot papouška shora (včetně převodních faktorů jednotek)

$$ r_m = \ frac {\ left [\ left (\ frac {4184 \, \ text {J}} {\ text {gm}} \ right) \ left (\ frac {1 000 \, \ text {gm}} {\ text {kg}} \ doprava) \ doleva (\ frac {\ text {kg m} ^ 2} {\ text {J s} ^ 2} \ doprava) \ doprava ] \ left (0,2 \ right)} {\ left (\ frac {9,8 \, \ text {m}} {\ text {s} ^ 2} \ right) \ left (\ tan \ left (0,1 \ right) \ vpravo)} \ ln \ vlevo (\ frac {0,37 \, \ text {kg}} {0,24 \, \ text {kg}} \ doprava) \ přibližně 370 \ text {km} $$

najdeme odpověď na otázku: „Jak daleko může papoušek létat [pod silou] za jediný den?“ být

$$ \ box {r_m \ cca 370 \, \ text {km}} $$

a číslo, které je v úzké shodě s dostupnými (omezenými) údaji, které poskytly skutečný (vs. maximální ) denní rozsah migrace 320 km.

It „Je zajímavé poznamenat, že tento maximální rozsah pro motorový let lze považovat za minimální rozsah, pokud je zahrnut klouzavý let. Za ideálních povětrnostních podmínek , skutečný maximální dosah by mohl být značně rozšířen, pokud by papoušek měl zužitkovat jakoukoli dostupnou termiku, se kterou se setkal během letu.