Věta o superpozici
„ Věta o superpozici pro elektrické obvody uvádí, že pro lineární systém odezva (napětí nebo proud) v kterékoli větvi bilaterálního lineárního obvodu, který má více než jeden nezávislý zdroj, se rovná algebraickému součtu odezev způsobených každým nezávislým zdrojem, který jedná samostatně, kde jsou všechny ostatní nezávislé zdroje nahrazeny jejich vnitřními impedancemi . „

Jaké druhy obvodů lze vyřešit superpozicí?

Obvody vyrobené z kterékoli z následujících komponent lze vyřešit pomocí věty o superpozici

• nezávislé zdroje
• Lineární pasivní prvky – rezistor, kondenzátor a induktor
• transformátor
• lineární závislé zdroje

Jaké jsou kroky k řešení obvodu pomocí věty o superpozici?

Postupujte podle algoritmu:

1. Odpověď = 0;
2. Vyberte první nezávislý zdroj.
3. Nahraďte všechny nezávislé zdroje v původním obvodu kromě vybraného zdroje jeho vnitřní impedancí.
4. Vypočítejte množství (napětí nebo proud) ) zájmu a přidat do Odpovědi.
5. Ukončete, pokud se jedná o konečný nezávislý zdroj. Jinak přejděte na krok 3 s výběrem dalšího zdroje.

Vnitřní impedance zdroje napětí je nulová a impedance zdroje proudu je nekonečná. Při provádění kroku 3 podle výše uvedeného algoritmu tedy nahraďte zdroj napětí zkratem a zdroj proudu otevřeným obvodem.

Jak se zachází s různými druhy zdrojů, když řešení superpozicí?

S nezávislými zdroji je třeba zacházet, jak je vysvětleno výše.

V případě závislých zdrojů se jich nedotýkejte.

Superpozice platí pouze tehdy, když mít čistě lineární systém, tj .:

\ begin {align *} F (x_1 + x_2) & = F (x_1) + F (x_2) \ \ F (ax) & = a F (x) \ end {align *}

V kontextu analýzy obvodu musí být obvod složen z lineárních prvky (kondenzátory, induktory, lineární transformátory a rezistory) s N nezávislými zdroji a to, co řešíte, musí být buď napětí nebo proudy. Všimněte si, že můžete použít supernucené řešení napětí / proudu a najít další veličiny, které nejsou lineární (např. výkon rozptýlený v rezistoru), ale nemůžete překrýt (přidat) nelineární veličiny, abyste našli řešení pro větší systém.

Řekněme například, že si vezmeme jeden rezistor a podívejte se na Ohmův zákon (já používám U a J pro napětí / proud, žádný konkrétní důvod) a podívejte se, jak proud přispěl ze zdroje \ $ i \ $ ovlivňuje napětí:

\ begin {align *} U = JR = R \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ NR J_i = \ sum_ {i = 1} ^ N U_i \ end {align *}

Takže můžu najít napětí na rezistoru sečtením aktuálního příspěvku z každého zdroje nezávisle na jakémkoli jiném zdroji . Podobně lze najít proud protékající rezistorem:

\ begin {align *} J = \ frac {U} {R} = \ frac {1} {R} \ sum_ {i = 1} ^ N U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {U_i} {R} = \ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ end {zarovnat *}

Pokud však začnu při pohledu na sílu již superpozice neplatí:

\ begin {align *} P = JU = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) \ left (\ sum_ {j = 1} ^ N U_j \ right) \ neq \ sum_ {i = 1} ^ N J_i U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N P_i \ end {align *}

Obecný postup řešení obvod využívající superpozici je:

1. Pro každý zdroj \ $ i \ $ nahraďte všechny ostatní zdroje jejich ekvivalentním nulovým zdrojem, tj. zdroje napětí se stanou 0V (zkraty) a zdroje proudu 0A ( otevřené obvody). Najděte řešení \ $ F_i \ $ pro jakékoli neznámé, které vás zajímají.
2. Konečné řešení je součtem všech řešení \ $ F_i \ $.

Příklad 1

Vezměte tento okruh se dvěma zdroji:

^{simulovat tento obvod – Schéma vytvořené pomocí CircuitLab}

Chci vyřešit aktuální J protékající R1.

Vyberte V1 jako zdroj 1 a I1 jako zdroj 2.

Při řešení pro \ $ J_1 \ $ se obvod stane:

^{simulovat tento obvod}

Takže víme, že \ $ J_1 = 0 \ $.

Nyní řešíme pro \ $ J_2 \ $ se obvod stává:

^{simulovat tento obvod}

Takže můžeme zjistit, že \ $ J_2 = I_1 \ $.

Použití superpozice, \ begin {zarovnat *} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \ end {align *}

Příklad 2

^{simulovat th is circuit}

Nyní se zajímám o proud přes R4 \ $ J \ $. Po obecném postupu popsaném dříve, pokud označím V1 jako zdroj 1, V2 jako zdroj 2 a I1 jako zdroj 3, najdu:

\ begin {align *} J_1 & = – \ frac {V_1} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J_2 & = \ frac {V_2} {R_2 + R_1 + R_4 + R_5} \\ J_3 & = -I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \ end {align *}

Tedy konečné řešení je: \ begin {align *} J & = J_1 + J_2 + J_3 = \ frac {V_2 – V_1} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} – I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {zarovnat *}

Síla superpozice pochází z kladení otázky „co když chci přidat / odebrat zdroj?“ Řekněme, že chci přidat aktuální zdroj I2:

^{simulovat tento obvod}

Místo toho, abych začínal znovu od začátku, musím nyní jen najít řešení pro můj nový zdroj I2 a přidat jej do moje staré řešení: \ begin {align *} J_4 & = I_2 \ frac {R_1 + R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J & = \ sum_ {i = 1} ^ 4 J_i = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Komentáře

• Mám několik komentářů, které, doufám, budou užitečné: 1. Najdu pomocí U a J jsou poněkud matoucí, V a já jsme lepší; 2. První rovnice pro U by neměla být součtem, protože ' s pouze pro i ' ten zdroj; 3. Domnívám se, že ostatní součty by měly být převzaty z i = 1 do N, nikoli z i do N; 4. Superpozice v teorii obvodů se používá pouze pro proud a napětí, proto bych diskusi o energii přesunul dále v textu; 5. V příkladu následujícím po jednoduchém příkladu I1 a R1 by nemělo ' t J3 = -I1 (…), protože I1 působí opačným směrem než J3?
• 1. Rozhodl jsem se použít U a J, protože jsem své zdroje označil pomocí V a já a nechtěl jsem ' zmatek způsobený \ $ I_3 = I_1 \ cdot (\ textrm {blah} ) \ $. Jasně uvádím, co jsou U a J v naději, že omezí zmatek. 2. Ano, vysvětlil jsem notaci toho, co je proměnná součtu a počáteční index. 4. Můj nápad byl dát všechny základní informace o tom, kdy teorie superpozice před příklady. Sekce příkladů jsem objasnil, abych je oddělil. 5. Ano, to byla moje chyba.