Jak může 64 = 65?

Toto je slavné fyzické puzzle, které lze spojit s Fibonacciho série .

Chcete-li odpovědět na položenou otázku, problém spočívá v tom, že tyto dva svahy jsou odlišné ( $ \ frac25 $ vs $ \ frac38 $ ). Všimněte si, že všechna tato čísla jsou v řadě fibonacci ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

Postupné zlomky jsou blíže k aproximaci $ \ varphi $ , střídají se nad a pod. Diagramy, jako je tento, lze generovat vytvořením čtverce se stranami rovnými číslu v řadě fibonacci (v této otázce 8) a jeho rozdělením na dva obdélníky o šířkách dvou čísel fibonacci, které tvoří první zvolené číslo (3 a 5).

Menší z nich ořízněte po diagonále a větší ořízněte do středu na diagonále, takže šířka diagonálního řezu je další nejmenší číslo (v tomto případě 2). Všimněte si, že to ponechá lichoběžník, jehož malá paralelní velikost se shoduje s menší stranou původního malého obdélníku (v tomto případě 3) a jehož větší paralelní velikost se shoduje s menší stranou původního většího obdélníku (v tomto případě 5).

Vzhledem k tomu, že $ \ frac25 \ přibližně \ frac38 $ a z výše uvedených konstrukcí lze jednotlivé díly přeskupit do obdélníku (jak je znázorněno), oblast, která bude vždy jedna od původního čtverce, ale bude vypadat přibližně správně, protože svahy se téměř shodují.

Upravit: Protože tato odpověď obdržela tolik hlasů (děkuji!), Předpokládejme, že to lidi velmi zajímá, a tak jsem si myslel, že nakreslím několik obrázků!

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (příklad OP)

3,5,8,13 : $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: $ 21 \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

Komentář od @EricJ . podnítil diskusi, která by zde stála za zmínku:

Netvrdím, že všechny takové hádanky jsou založeny na řadě Fibonacci. Jen to, že všechna čísla Fibonacci mohou generovat tyto diagramy. Existuje několik charakteristik Fibonacci čísla, díky nimž to funguje.

1. Jedním z nich je to, že čtverec Fibonacciho čísla se střídá o jeden více a jeden méně než součin čísel na obou stranách.
2. Tam je svahová věc, kterou jsem již zmínil, což znamená, že naše konstrukce nám dá dva svahy, které jsou přibližně stejné. A
3. Existuje argument, že celkovou konstrukci lze provést na základě toho, že každé číslo je součtem předchozích dvou.

Poslední dva body lze nejlépe pochopeno podrobným studiem konstrukce. První bod lze prokázat indukcí:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ pro $ k \ geq1 $

Indexujeme znovu, takže $ f_0 = 0 $ a $ f_1 = 1 $ .

Krok 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ lze ověřit nahrazením.

Krok 2 : Předpokládejme, že to platí pro $ k $ . $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Používám $ \ mp1 $ protože očekávám, že se to bude střídat, a tak v kroku 3 to dokážu pro $ \ pm1 $ )

Krok 3 : Musíme ukázat, že $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Tady je:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

Definici řady Fibonacci jsem použil dvakrát ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ a $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) a předpoklad kroku 2.

To znamená, že když provedete výše uvedenou konstrukci, oblasti se budou vždy lišit pouze o 1 (pokaždé se budou střídat nad a pod).

Komentáře

• Výborně vynikající odpověď! Znám tyto hádanky ‚, ale nikdy jsem neslyšel o Fibonacciho spojení. Ve skutečnosti jsem si ‚ ani neuvědomil, že existuje algoritmus pro generování takových tvarů.
• Proto nikdy nedůvěřuji “ důkaz demonstrací “ obrázků na math.stackexchange.com .
• Poté, co jsem viděl tuto otázku, jsem si uvědomil, proč moje rychlejší než časově náročné Ferrari 488 nebylo ‚ t zcela funkční (myslím, že ‚ d se vracejí v čase rychleji než světlo, prostě v pohodě – ale stále se to vracelo jako Ford Fiesta!) A já ‚ d JEN jsem skončil když jsem si přečetl tuto hloupou odpověď, opravil to a spustil na zkušebním provozu! A POTOM se Ferrari vrátilo – ale tentokrát se vrátilo jako kolo S DINOSAUREM, KTERÝ JEZDÁ! Takže, dobře, praštil jsem dino (jeho jméno ‚ s Fred, BTW – milý chlapík. Legrační ol ‚ věc, život .. .) s pánví a nyní ‚ opravuji motor FTL. Takže t ‚ žádá fer nuttin ‚ !! 🙂
• Myslím, že ‚ jen říká, že dělá něco nemožného, a teď nemůže ‚ t už proto, že ‚ se ukázalo jako nemožné. To, co nedostávám ‚ je důvod, proč tolik hlasů nahoru? Myslím, že jsem si myslel, že jsem chytrý, ale ne ten chytrý!
• Ach jo? STUDNA! Právě jsem hlasoval pro vaši odpověď, jen aby to bylo dokonce 100! TAKŽE TAM!!!! 🙂 (A stranou od @ghosts_in_the_code – ve skutečnosti jsem ‚ neřekl, že tato odpověď je hloupá – označil jsem ji jako “ stupid “ v ironickém smyslu, což znamená “ Odpověď mi ukázala, že se mýlím! Jaká hloupá odpověď! “ – tj. Jsem ‚ m tu skutečnou figurínou. Doufejme, že jsme ‚ všichni v pořádku …) . Můj komentář je vlastně poctou třem filmům: Back To The Future, ET a Caddyshack. A Hitchiker ‚ s trilogií Průvodce po galaxii – všech pět knih. 🙂

Diagram je zavádějící , protože skrývá mezeru uprostřed druhé konfigurace.

To je to, co ve skutečnosti získáme, pokud změníme uspořádání příslušných tvarů. Všimněte si, že úhlopříčka se mírně „ukloní“ a ponechá mezi tvary nějaký prostor navíc – to je místo, kde se vplíží další jednotka plochy.

Ale neměli byste mi věřit víc než tomu, kdo nakreslil původní obrázek!

Jak vidíme zde, obrázky mohou být zavádějící – můj diagram tedy není důkazem toho, že původní diagram byl špatný. To dává intuitivní představu o tom, odkud pochází prostor navíc.

Pro správný důkaz zvažte přechody:

• Gradient modrého lichoběžníku je $ 5/2 = 2,5 $
• Gradient červený trojúhelník je $ 8/3 = 2,666 … $

Vzhledem k tomu, že přechody se neshodují, nemůžeme je takto uspořádat vedle sebe, aniž by mezi nimi bylo nějaké prázdné místo . Ale protože jsou si blízcí, oko je možné přimět k tomu, aby si mysleli, že tvoří jedinou souvislou linii, a nevšimne si, že se sklon trojúhelníku mění uprostřed.

Komentáře

• Miluji tyto hádanky – existuje ‚ dobrá filozofická morálka nepřijímat věci tak, jak jsou ‚ prezentovány vám.

Obrázek vpravo podvádí : kousky ve skutečnosti do sebe perfektně nezapadají, mezi nimi je mezera. Abychom to dokázali, můžeme vypočítat velikost mezery výpočtem velikosti trojúhelníku, kterou tvoří:

• nejdelší strana žlutého trojúhelníku: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• nakloněná strana lichoběžníku: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• úhlopříčka obdélníku na vpravo: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

Plochu tohoto trojúhelníku lze vypočítat pomocí Heronova vzorce:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

kde

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

Nahrazení hodnot do vzorce dává přesně 0,5 za $ A $. Existují dva takové trojúhelníky, takže „sa total 1 = očekávaná nesrovnalost.

Je to zavádějící diagram. Ve skutečnosti se úhly neshodují – větší vnitřní úhel oranžového trojúhelníku je asi 69,5 stupňů, zatímco je to 68,2 pro šedý čtyřúhelník. (Opravte mě, pokud se mýlím – opráším zde svůj trig.) V diagramu s oblastí 65 jsou oranžové oblasti ve skutečnosti čtyřúhelníky. Pokud se podíváte pozorně, uvidíte, že mají mírnou inflexi tam, kde se setkávají s druhou oranžovou sekce. Takže tato extra oblast pochází z jejich malého rozšíření.

Trojúhelníky nemají stejný sklon ; můžete vidět, že velká diagonální čára procházející „větším“ obdélníkem se ohýbá. Je zakryta silnými čarami kolem trojúhelníků, ale existuje velmi tenká díra, která má celkovou plochu jednoho čtverce – stejného čtverce, který se údajně „objevil odnikud“.

Stačí obrázek zvětšit a vy „ll uvidíte odpověď.

Jednoduchá odpověď :

Tyto tvary (oranžově) na pravé straně obrázku nejsou vůbec trojúhelníky! jsou to dva čtyřúhelníky. mají tedy větší plochu, než vizuálně očekávali. takže zde není žádný kapitál. Liší se, a proto mají různou celkovou plochu.

Obrázek dolního obdélníku je zavádějící, protože lidi oklamá do nesprávného předpokladu, že šířka trojúhelníků bude přesně 3 jednotky.

Skutečnou šířku lze snadno vypočítat – je to zlomek celkové šířky, definovaný výškou bodu na úhlopříčce, nebo přesně 8./13. z 5, tj. 3,076923077 (a ne 3), qed

Komentáře

• Podle logického prohlášení trojúhelníky v oba diagramy jsou identické a tvar trojúhelníků je definován v konfiguraci 8×8 tak, aby byl přesně třemi jednotkami osmi jednotkami. Chyba je dobře ilustrována v alexwlchan ‚ s odpovědí a matematicky vysvětleno v několika dalších: Kousky se do konfigurace 5×13 ve skutečnosti nevejdou. Tam ‚ je mezi nimi tenká lichoběžníková mezera, která je skryta silnou, černou a ne zcela rovnou úhlopříčkou nakreslenou v původní ilustraci 5×13.