Můj profesor mi nedávno řekl, že Area je vektor. Vyhledávání Google mi dalo následující definici vektoru:
Podstatné jméno: Veličina, která má směr i velikost, zejm. jako určování polohy jednoho bodu v prostoru vzhledem k druhému.
Moje otázka zní – jaký je směr oblasti? Můžu se vztahovat k tomu, že rychlost je vektor. Například rychlost pohybující se motorky má určitý směr i určitou velikost za předpokladu, že se kolo pohybuje v přímém směru & nezrychluje.
Můj přítel mi dal toto vysvětlení směru vektoru oblasti. Vezměme si obdélníkovou rovinu ve vesmíru. Tvrdil, že orientaci roviny v prostoru lze popsat pouze tak, že plochu považujeme za vektor & nikoli za skalární.
Stále jsem nebyl přesvědčen. Předpokládejme, že letadlo bylo umístěno tak, aby jeho tváře byly kolmé na směr, například na sever & jih. Nyní je orientace letadla stejná > bez ohledu na to, zda takzvaný vektor ukazuje na sever nebo na jih. Jaký je dále směr oblasti koule?
Má uvažování oblasti jako vektoru nějaký skutečný význam? Vysvětlete to prosím.
Předem děkujeme.
Komentáře
- Jelikož je tato otázka ve své podstatě matematické povahy, bylo by vhodné pro migraci na matematické stránky? Myslím, že většina otázek, které si zaslouží značku “ matematiky “ (nezaměňovat s “ mathematical-physics „) jsou na math.SE pravděpodobně lepší.
- @David Upřímně řečeno, nenapadá mě lepší příklad jasného překrývání fyziky a matematika. I když ‚ nepochybuji o tom, že by matematika neměla ‚ t problém vektorizovat oblast, zdá se, že celý bod je lze použít v nějakém fyzickém smyslu. Záleží také na tom, jestli ‚ hovoříte o diferenciálních plochách pro integraci (jako si myslím, že jste), pak ano ‚ souhlasím it ‚ sa matematické téma. Ale co použití vektoru oblasti pro proudovou smyčku při výpočtu magnetického pole? Tento ‚ téměř jistě fyzikální materiál.
- Související otázka na Math.SE .
- cokoli, co k úplnému popisu potřebuje více než jeden skalár, je podobné vektoru. Otázkou je, v jakém rámci se tento popis odehrává.
Odpověď
Může to být spíše matematická otázka . To je na trojrozměrném prostoru zvláštní věc. Všimněte si, že ve třech rozměrech je oblast, jako je rovina, dvourozměrný podprostor. Na listu papíru potřebujete pouze dvě čísla, abyste jednoznačně označili bod.
Nyní si představte, že stojíte na listu papíru, směr, na který směřuje vaše hlava, bude vždy způsob, jak zjistit, jak je tato rovina orientována ve vesmíru. Toto se nazývá „normální“ vektor k této rovině, je v pravém úhlu k této rovině.
Pokud nyní zvolíte konvenci tak, aby se délka tohoto normálního vektoru rovnala ploše tohoto povrchu , získáte úplný popis dvourozměrné roviny, její orientaci v trojrozměrném prostoru (vektorová část) a velikost této roviny (délka tohoto vektoru).
Matematicky to můžete vyjádřit „křížovým produktem“ $$ \ vec c = \ vec a \ krát \ vec b $$, jehož velikost je definována jako $ | c | = | a || b | sin \ theta $, která se rovná ploše rovnoběžníku, která odpovídá rozsahu vektorů (které skutečně definují rovinu). Chcete-li ukrást tento obrázek z článku wikipedie o produktu cross:
Jak jsem řekl na začátku to je pro tři dimenze velmi zvláštní věc, ve vyšších dimenzích to z různých důvodů nefunguje tak úhledně. Pokud se chcete o tomto tématu dozvědět více, klíčové slovo bude „vnější algebra“
Aktualizace:
Pokud jde o fyzický význam tohoto konceptu, prominentními příklady jsou vektorová pole protékající povrchy. Vezměte kruhový drát. Tento kruh lze ve 3D různě orientovat. Pokud máte externí magnetické pole, možná víte, že to může indukovat elektrický proud úměrný rychlosti změny množství protékajícího kružnicí (uvažujte o tom, jak moc šípy perforují oblast). Pokud jsou vektory magnetického pole rovnoběžné s kružnicí (a tedy kolmé k jejímu normálnímu vektoru), oblast vůbec „neperforují“, takže tok touto oblastí je nulový.Na druhou stranu, pokud jsou vektory polí kolmé k rovině (tj. Rovnoběžné s normální), maximálně „perforujte“ tuto oblast a tok je maximální.
pokud změníte orientaci mezi těmito dva stavy, kde můžete získat elektrický proud.
Komentáře
- +1 za zmínku o magnetických polích. Ne všechny povrchové vektory používané ve fyzice jsou diferenciální.
- Díky. Jen několik vysvětlení. Požádali jste mě, abych si představil, že osoba stojící na papíře & považuje směr jeho hlavy za normální vektor. Ale předpokládejme, že tato osoba stála na přesně opačné tváři, pak nezůstane ‚ t orientace papíru stejná? Ale nyní je směr vektoru v opačném směru. Upřesněte prosím.
- Zadruhé jste řekl, že tento koncept ve vyšších dimenzích nefunguje tak dobře ‚. Znamená to tedy, že moje otázka ohledně směru oblasti koule ‚ je neplatná? Pokud ano, pak je oblast v tomto konkrétním případě skalární, protože považovat ji za vektor nemůže určit její orientaci v prostoru?
- co vám ‚ brání ve spokojenosti ?
- Není to ‚ uspokojivé, protože i když axb je vektor, | axb |, tj. oblast, je skalární, a proto nepřesvědčuje, že tato oblast je vektor.
Odpověď
Hlavní režim použití je, když je oblast nekonečně malá, jako by jedna použití v integrálu. V takovém případě snadno zjistíme, že je plochá a na tvaru opravdu nezáleží. V takovém případě můžeme informace zakódovat jako vektor s velikostí představující (skalární) oblast; výběr (jako vy všiml jsem si, že poukázat na kteroukoli danou stranu je přesně to — volba — ale ta, která se dá dělat důsledně. Můžeme to rozšířit na neinfinitezimální roviny, ale pro zakřivené povrchy to nefunguje tak dobře.
Abych byl přesný, opravdu chcete ko-vektor . Toto je abstraktní gadget, který vezme vektor a vyplivne skalár. Pro rovinu chcete, aby to představovalo „množství“ vektoru, který prochází rovinou -, takže by mělo být ve vektoru lineární (zdvojnásobení vektoru zdvojnásobuje výstup) a mělo by brát v úvahu úhel, pod kterým vektor zasáhne (dává faktor $ \ cos $). Nyní si můžeme položit otázku, jak reprezentovat tento abstraktní ko-vektor, a ukázalo se, že vektor je dobrý nápad! Konkrétně můžeme akci představovat tak, že vezmeme bodový součin, který přirozeně kóduje linearitu a kosinus. Obecně platí, že to má stejný počet rozměrů jako správný vektor, ale toto pouze zakóduje oblast (2D povrch) ve 3D — ve 2D byste dostali čáru, ve 4D objem (ano! 4-vektor protíná svazek v jednom bodě!).
Pokud se chcete o těchto věcech dozvědět více, chcete prozkoumat diferenciální geometrii, kde je třeba mít o těchto věcech jasno a nemíchat vektory a společné vektory (tzv. formuláře v daném poli). Dobře čitelným odkazem je Gauge Fields, Knots and Gravity , který vychází ze základního přehledu matematiky a rozvíjí ji pro fyzické použití.
Komentáře
- V kontextu polních teorií, například u elektromagnetismu, je koncept “ množství vektoru (pole ), který prochází rovinným segmentem, “ dostal jméno tok . Takže si můžete myslet, že oblast je charakterizována funkcí, která mapuje vektory (nebo vektorové pole) na tok tohoto vektoru (pole) přes oblast.
- @luksen kniha, kterou zmínil, je dobrá pro jakou úroveň matematických a fyzikálních znalostí? Chcete-li přeformulovat, jaké jsou předpoklady, abyste mohli knihu efektivně sledovat? A je to kniha pro absolventy nebo vysokoškoláky?
Odpověď
Think of Force is Pressure times Area ($ F = P \ cdot A $). Víte, že tlak je skalární (není s ním spojen žádný směr) a síla je vektor (působí podél osy). Co to znamená pro tlak.
Vezměte malou plochu a podívejte se, jak to přispívá k celkové síle v důsledku tlaku
$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$
Směr síly je pro oblast normální a jeho velikost je úměrná velikosti oblasti. Proto nekonečná oblast $ {\ rm d} A $ může být vektor. Je vhodné myslet na (vector) = (skalární) * (vektor).
Odpovědět
Existuje obzvláště malebný příklad Zákona Pythagorovy ve třech rozměrech aplikovaných na oblasti simplexu. (V případě „simplexu“ mám na mysli část prostoru ohraničenou třemi ortogonálními roviny a jedna libovolná rovina.) Součet čtverců (ploch) tří malých ploch se rovná čtverci oblasti šikmé plochy. To lze snadno vysvětlit argumenty typu tlak / průtok předloženými v ostatních zde zveřejněných odpovědích plus zjevný fyzický stav, že nerušená tekutina je v rovnováze sama se sebou.