Mám otázku ohledně černého modelu z roku 1976 a Bachelierova modelu.
Vím, že geometrický Brownův pohyb v míře P $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ za cenu akcie $ S_ {t} $ vede (po změně míry) k Black- Scholesův vzorec pro volání:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Kde $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ a $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Vlastně nevím, jak je možné získat slavný černý vzorec forwardová smlouva:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
kde nyní $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ a $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Mám do první BS jednoduše vložit $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ vzorec pro získání druhého?
Ptám se na to, protože jsem se pokusil odvodit vzorec BS pomocí aritmetického Brownova pohybu jako $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, a a dostanu:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
kde $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ a $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ a nezapomeňte, že $ N (d) $ a $ n (d) $ jsou CDF a PDF.
ale předchozí substituce $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ nevypadá, že vede ke známému výsledku $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
kde nyní $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Myslím, že bych mohl dosáhnout rovnic vpřed jak v geometrickém Brownův pohyb a aritmetický Brownův pohyb pomocí rovnic
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ a $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ ale já ne “ Nevím, jak je odůvodnit jejich použití.
Komentáře
- @Macro Vítejte v Quantu. S.E.! Chcete ocenit pouze forwardovou smlouvu nebo opci na forwardovou smlouvu?
- Ahoj Neeraji, děkuji za odpověď. ' Chci ocenit opci na forwardovou smlouvu!
- Stačí nahradit $ S_0 $ s $ F e ^ {- rT} $ ve vašem původním vzorci BS nebo můžete použít přístup neutrální vůči riziku. Oba povedou ke stejnému oceňovacímu vzorci.
- Dobře, díky. Ale mohu udělat totéž pro ABM? Protože při této substituci ' nemůžu získat výsledek.
Odpovědět
Evropská opce pro budoucnost
Chcete-li ocenit evropskou opci pro budoucnost, stačí nahradit $ S_0 $ za $ Fe ^ {- rT} $ ve svém původním vzorci BS nebo můžete použít přístup neutrální vůči riziku. Oba povedou ke stejnému oceňovacímu vzorci.
Americká opce v budoucnu
Výše uvedený postup nelze použít pro stanovení ceny americké opce v budoucnu. V příspěvku Ocenění opcí na budoucí smlouvy od Ramaswamy uvádí, že
Neexistují žádná známá analytická řešení ocenění americké opce na budoucí smlouvu.
Autoři použili metodu implicitní metody konečných rozdílů k ocenění americké opce na budoucí smlouvu.
Upravit: Odvození ceny evropské opce na budoucí smlouvu
Pod rizikově neutrálním měřítkem, budoucí cena, $ F_t $ splňují následující SDE: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ kde, $ W_t $ je Wienerův proces. Lze snadno ukázat, že: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
Cena opce na budoucí smlouvu $ (C_t) $ pod rizikově neutrální míra je: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Výše uvedený výraz můžete snadno vyřešit, abyste v budoucnu dostali cenu opce. Distribuce $ F_T $ je velmi podobná distribuci $ S_T $ (viz tato odpověď) . Pokud nahradíte $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ , získáte stejnou distribuci $ S_T $ jako rizikově neutrální opatření. To je důvod, abychom v budoucnu dostali cenu opce, nahradíme $ S_t $ hodnotou $ F_t e ^ {- r (Tt)} $ v modelu BS ceny evropské call opce.
Komentáře
- Ahoj Neeraj, vlastně jsem ' chcete ocenit evropskou opci počínaje od ABM.
- @Marco prosím zkontrolujte upravit odpověď.
Odpovědět
Tady je jednoduchý způsob, jak získat cenu hovoru na forwardovou cenu s využitím rizikově neutrálních cen.
Předpokládejme, že máme evropské volání, které platí za $ t = T $ , $ (pro ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , kde $ T ^ * \ geq T $ . Dále předpokládejme, že úrokové sazby jsou konstantní a jsou vyjádřeny hodnotou „ $ r $ „. Nechť $ c ^ {For} (t, s) $ je cena hovoru, kde $ S (t) = s $ .
Pokud tedy akcie neplatí žádné dividendy:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (Pro (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , Replikací lze zobrazit, $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ a
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Měli byste si okamžitě všimnout, že úrokové sazby jsou konstantní, a tedy deterministické, můžeme vytáhnout matematiku „ $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ “ termín mimo očekávání:
$ c ^ { For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Je to tedy úměrné ceně volání Black Scholes s strike $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {Pro } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , kde $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
také:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Toto je „slavný černý vzorec pro forwardovou smlouvu“. Doufám, že to pomůže!
Vezměte prosím na vědomí, že forwardová cena a cena forwardové smlouvy nejsou stejné. Cena forwardové smlouvy v čase 0 je 0, ale může se měnit, forwardová cena je cena, kterou souhlasíte s platbou při dodání.
Pokud vás zajímá, jaké by to bylo, kdyby šlo o výzvu cena futures místo volání forwardové ceny, tvrdím, že pokud cena aktiv nekoreluje s úrokovou sazbou, pak jsou stejné, jinak by došlo k arbitráži (za předpokladu, že neexistuje riziko protistrany atd.). Doporučuji vám, abyste to zkusili ukázat.
(PS Na odpověď předchozích komentátorů ohledně neexistence vzorce pro americkou možnost pro forwardovou cenu nám to nezabrání v používání monte carlo!)