Je známo, že standardní vícerozměrný Brownův most $ y (\ mathbf u) $ je centrovaný Gaussův proces s kovarianční funkcí $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ wedge v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
Nejsem si jistý, jak vytvořit takový vícerozměrný Brownův most.
Moje první myšlenka byla začít nějakým způsobem s Brownovým mostem. Našel jsem o tom informace a dokonce i balíček v R, který to dokáže, ale pouze pro univariate Brownův most.
Našel jsem toto , ale jak to chápu, co se tam stalo, neexistuje standardní Brownův most s více proměnnými, jak je definován výše nebo např. v tomto příspěvku .
Ocenil bych jakékoli rady a podporu.
Komentáře
- Jak jsem zjistil v příspěvku Deheuvels odkaz , existuje následující vztah mezi Brownovým mostem $ B_t $ a Brownovým listem (nebo Wienerovým listem) $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Takže si myslím, že problém se redukuje na simulaci Brownova listu. Na to se zeptám v samostatné otázce.
- Oprava, vztah pro více dimenzí je $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Související: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
odpověď
Jak jste již uvedli v komentářích se otázka redukuje na simulaci Brownova listu. Toho lze dosáhnout zobecněním simulace Brownova pohybu přímým způsobem.
K simulaci Brownova pohybu lze použít i.i.d. průměrná-0 variance-1 časová řada $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ , a vytvořte normalizovaný proces částečného součtu $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ Jako $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ konvergence slabě (v smysl pro měření pravděpodobnosti Borel v metrickém prostoru) na standardní Brownian $ B $ v prostoru Skorohod $ D [0 , 1] $ .
Iid s případem konečného druhého okamžiku je nejjednodušší způsob simulace. Matematický výsledek (Funkční centrální limitní věta / Donskerova věta / princip invariance) má mnohem větší obecnost.
Nyní k simulaci (řekněme dvourozměrného) Brownova listu vezmeme iid průměr-0 rozptyl -1 pole $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ , a zkonstruujte normalizovaný proces částečného součtu $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ Jako $ n \ rightarrow \ infty $ , $ D ([0,1] ^ 2) $ na jednotkovém čtverci .
(Důkazem je standardní slabý argument konvergence:
-
Konvergence konečné dimenzionální distribuce vyplývá z Levy-Lindeberg CLT.
-
Těsnost $ D ([0,1] ^ 2) $ vyplývá z podmínky dostatečného okamžiku, která triviálně platí v i.i.d. případ konečného druhého okamžiku — viz např. Bickel a Wichura (1971). )
Potom pomocí věty o spojitém mapování $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ slabě konverguje k dvourozměrnému Brownovu mostu.