Jaká je definice symetrického rozdělení? Někdo mi řekl, že náhodná proměnná $ X $ pochází ze symetrické distribuce právě tehdy, když $ X $ a $ -X $ má stejnou distribuci. Myslím si však, že tato definice je částečně pravdivá. Protože mohu předložit protiklad $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) $ a $ \ mu \ neq0 $. Je zřejmé, že má symetrické rozdělení, ale $ X $ a $ -X $ mají jiné rozdělení! Mám pravdu? Přemýšlíte někdy nad touto otázkou? Jaká je přesná definice symetrického rozdělení?
Komentáře
- Když řeknete, " distribuce je symetrická ", musíte určit s ohledem na to, který bod je symetrický. V případě normálního rozdělení, které uvedete, je symetrie uvedena kolem $ \ mu $. V tomto případě mají $ X- \ mu $ a $ – (X- \ mu) $ stejnou distribuci. Z hlediska hustoty to lze vyjádřit jako: $ f $ je symetrické kolem $ \ mu $, pokud $ f (\ mu-x) = f (\ mu + x) $. BTW, je dobrým způsobem přijímat odpovědi, když jste s některou z nich spokojeni.
- Ano, my kluci jsme o této otázce přemýšleli. Symetrický obecně znamená symetrický kolem $ 0 $, a aby se předešlo dalším protipříkladům, tvrzení o distribucích, které jsou symetrické , není něco, co je pravdivé o kumulativní funkci distribuce pravděpodobnosti . Váš " protipříklad " má symetrii kolem bodu $ \ mu \ neq 0 $, ne kolem bodu $ 0 $.
- @Dilip Když definice závisí na jednom způsobu popisu něčeho, ale tuto definici lze prokázat jako vnitřní vlastnost toho něčeho, nemá smysl aplikovat definici na jiný forma popisu. V tomto případě je symetrie vlastností distribuce , ale to neznamená, že všechny popisy této distribuce (včetně PDF a CDF) musí být " symetrické " stejným způsobem. Použitím symetrie souboru PDF na CDF váš komentář zaměňuje otázku, nikoli ji objasňuje.
- shijing, @Procrastinator zjistil, že jste položili mnoho otázek, aniž byste přijali jakékoli odpovědi. To naznačuje, že možná nevíte, jak tento web funguje. Chcete-li vyjasnit nedorozumění, přečetli byste si prosím příslušnou část našich FAQ celou cestu ? Bude to trvat jen pár minut a jeho pokyny zvýší hodnotu našeho webu pro vás.
- @whuber CDF je jedním z mála popisů, ve kterých slovo distribuce ve skutečnosti se vyskytuje v názvu a já jsem se snažil objasnit, že vlastnost symetrie pro CDF neplatila.
Answer
Stručně: $ X $ je symetrické, když $ X $ a $ 2aX $ mají stejnou distribuci pro skutečné číslo $ a $. Ale dospět k tomu plně oprávněným způsobem vyžaduje určitou odbočku a zobecnění, protože to vyvolává mnoho implicitních otázek: proč tato definice„ symetrické “? Mohou existovat i jiné druhy symetrií? Jaký je vztah mezi distribucí a jejími symetriemi a jaký je naopak vztah mezi „symetrií“ a těmi distribucemi, které by tuto symetrii mohly mít?
Dotyčné symetrie jsou odrazy skutečná linie. Všechny jsou ve tvaru
$$ x \ až 2a-x $$
pro nějakou konstantu $ a $.
Takže předpokládejme, že $ X $ má tato symetrie pro alespoň jeden $ a $. Potom ze symetrie vyplývá
$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$
ukazující, že $ a $ je medián $ X $. Podobně, pokud má $ X $ očekávání, pak z toho okamžitě vyplývá, že $ a = E [X] $. Obvykle tedy můžeme snadno zjistit $ a $. I když ne, $ a $ (a tedy i samotná symetrie) je stále jednoznačně určena (pokud vůbec existuje).
Chcete-li to vidět, nechte $ b $ libovolným středem symetrie. Poté použijeme obě symetrie a zjistíme, že $ X $ je neměnné pod překladem $ x \ na x + 2 (b-a) $. Pokud $ b-a \ ne 0 $, distribuce $ X $ musí mít období $ b-a $, což je nemožné, protože celková pravděpodobnost periodického rozdělení je $ 0 $ nebo nekonečná. Tedy $ ba = 0 $, což ukazuje, že $ a $ je jedinečné.
Obecněji když $ G $ je skupina, která věrně jedná o skutečnou linii (a rozšířením o všechny její podmnožiny Borel), můžeme říci, že distribuce $ X $ je „symetrická“ (s ohledem na $ G $), když
$$ \ Pr [X \ in E] = \ Pr [X \ v E ^ g] $$
pro všechny měřitelné množiny $ E $ a prvky $ g \ v G $, kde $ E ^ g $ označuje obrázek $ E $ pod akcí $ g $.
Například nechte $ G $ stále skupinou objednávek $ 2 $, ale nyní nechť jeho akce spočívá v převrácení reálného čísla (a nechme to opravit $ 0 $). Standardní lognormální distribuce je vzhledem k této skupině symetrická. Tento příklad lze chápat jako instanci reflexní symetrie, kde došlo k nelineárnímu opětovnému vyjádření souřadnic. To naznačuje zaměření na transformace, které respektují „strukturu“ skutečné linie. Struktura nezbytná pro pravděpodobnost musí souviset s množinami Borel a Lebesgueovým měřítkem, které lze definovat pomocí (euklidovské) vzdálenosti mezi dvěma body.
Zachování vzdálenosti mapa je podle definice izometrie. Je dobře známo (a je snadné, i když trochu zahrnuto, demonstrovat), že všechny izometrie reálné čáry jsou generovány odrazy. Odkud tedy, když je zřejmé, že „symetrický“ znamená symetrický vzhledem k nějaké skupině izometrií , musí být skupina generována maximálně jedním odrazem a viděli jsme, že odraz je jednoznačně určen jakékoli symetrické rozdělení vzhledem k němu. V tomto smyslu je předchozí analýza vyčerpávající a ospravedlňuje obvyklou terminologii „symetrických“ distribucí.
Mimochodem, hostitel vícerozměrných příkladů distribucí invariantních pod skupinami izometrií je zajištěno uvažováním „sférických“ distribucí. Ty jsou neměnné při všech rotacích (vzhledem k nějakému pevnému středu). Tyto zobecňují jednorozměrný případ: „rotace“ reálné linie jsou pouze odrazy.
Nakonec stojí za zmínku, že standardní konstrukce – zprůměrovaná přes skupinu – dává cestu produkovat množství symetrických distribucí. V případě skutečné čáry nechte $ G $ generovat odrazem bodu $ a $, takže se skládá z prvku identity $ e $ a této reflexe, $ g $. Nechte $ X $ být jakoukoli distribucí. Definujte distribuci $ Y $ nastavením
$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ v G} {\ Pr} _X [ E ^ g] = ({\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]) / 2 $$
pro všechny sady Borel $ E $. Toto je zjevně symetrické a je snadné zkontrolovat, zda zůstává distribucí (všechny pravděpodobnosti zůstávají nezáporné a celková pravděpodobnost je $ 1 $).
Ilustrující proces skupinového průměrování, PDF symetrizované distribuce gama (se středem $ a = 2 $) je zobrazeno zlatě. Původní gama je modré a jeho odraz je červený.
Komentáře
- (+1) Chtěl bych dodat, že v nastavení více proměnných je definice symetrie není jedinečné. V této knize existuje 8 možných definic symetrických vícenásobných distribucí.
- @Procrastinator I ' jsem zvědavý, co byste mohli myslet tím, že " není jedinečný. " AFAIK, cokoli, co ospravedlňuje jméno " symetrie " v konečném důsledku odkazuje na skupinovou akci v prostoru. Bylo by zajímavé zjistit, jaké různé druhy akcí považují statistici za užitečné. Protože tato kniha není v tisku a není k dispozici na webu, můžete uvést rychlý příklad dvou skutečně odlišných druhů symetrie, které jsou v této knize zohledněny?
- Vaše intuice je správná, souvisí to se statistickými rysy : Centrální symetrie $ {\ bf X} – \ mu \ stackrel {d} {=} – ({\ bf X} – \ mu) $; Sférická symetrie $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O} ({\ bf X} – \ mu) $ pro všechny ortogonální matice $ {\ bf O} $. Na ostatní si nevzpomínám, ale v těchto dnech se pokusím knihu vypůjčit. V tomto odkazu najdete některé z nich.
- @Procrastinator Díky. Všimněte si, že dva příklady, které nabízíte, jsou oba speciální případy obecné definice, kterou jsem uvedl: centrální symetrie generuje skupinu dvou prvků izometrií a sférické symetrie jsou také podskupinou všech izometrií. " eliptická symetrie " v odkazu je sférická symetrie po afinní transformaci, a tak ilustruje fenomén, na který jsem u lognormálu poukázal příklad. " úhlové symetrie " opět tvoří skupinu izometrií. " poloprostorová symetrie " [sic] není symetrie, ale umožňuje její oddělené odchylky: ' s novými.
Odpověď
Odpověď bude záviset na tom, co myslíte tím symetrie. Ve fyzice je pojem symetrie zásadní a stal se velmi obecným. Symetrie je jakákoli operace, která ponechává systém beze změny.V případě rozdělení pravděpodobnosti by to mohlo být převedeno na jakoukoli operaci $ X \ až X „$, která vrátí stejnou pravděpodobnost $ P (X) = P (X“) $.
V jednoduchém případě prvního příkladu máte na mysli reflexní symetrii o maximu. Pokud by distribuce byla sinusová, pak byste mohli mít podmínku $ X \ až X + \ lambda $, kde $ \ lambda $ je vlnová délka nebo období. Pak $ P (X) = P (X + \ lambda) $ a stále by vyhovovalo obecnější definici symetrie.