Na mnoha místech statistické fyziky používáme oddílovou funkci . Pro mě jsou vysvětlení jejich použití jasná, ale zajímalo by mě, jaký je jejich fyzický význam. Může mi někdo vysvětlit dobrý příklad bez příliš mnoha matematických komplikací?
Komentáře
- Kromě toho, že je normalizačním faktorem, má mnoho z jeho významných rysů výpočty vycházejí z jeho podoby s Z a Laplaceovými transformacemi díky Boltzmannovu distribuci exponenciální s energií, což je druh " koindidence " v tom, že by ' nepracovali s jinou distribucí.
- Přečetli jste si " což znamená " sekci v článku Wikipedie ? Pokud ano, co vás ' t neuspokojuje o " kóduje to, jak jsou pravděpodobnosti rozděleny mezi různé mikrostavy " ?
- Možný duplikát Nerozumná účinnost funkce oddílu
Odpověď
Funkce oddílu je měřítkem objemu obsazeného systémem ve fázovém prostoru. V zásadě vám řekne, kolik microstates je přístupných vašemu systému v daném souboru. To lze snadno zjistit počínaje mikrokanonickým souborem .
V mikrokanonickém souboru, kde každý mikrostav s energií mezi $ E $ a $ E + \ Delta E $ je stejně pravděpodobné, funkce oddílu je
$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$
, kde integrál je pouze hypervolume oblasti fázového prostoru, kde energie (hamiltonián) $ \ mathcal H $ systému je mezi $ E $ a $ E + \ Delta E $, normalizováno o $ h ^ {3N} $, aby byl bezrozměrný. Faktor $ N! ^ {- 1} $ bere v úvahu skutečnost, že výměnou „štítku“ na dvou částicích se mikrostát nezmění.
$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$
říká, že entropie je úměrná logaritmus celkového počtu mikrostavů odpovídajících makrostátu vašeho systému a tento počet je pouze $ Z_ {mc} $.
V kanonických a grand-kanonických souborech zůstává význam funkce oddílu to samé, ale protože energie již není pevná, výraz se změní.
Funkce kanonického oddílu je
$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$
V tomto případě se integrujeme přes celý fázový prostor, ale každému bodu přidělíme $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a váha $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, kde $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, takže stavy s energií mnohem vyšší než $ k_B T $ jsou méně pravděpodobné. V tomto případě je spojení s termodynamikou dáno
$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$
kde $ F $ je Helmholtzova volná energie .
Funkce velkého kanonického oddílu je
$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$
kde tentokrát také sčítáme všechny možné hodnoty počtu částic $ N $, každý termín vážíme pomocí $ \ exp (\ beta \ mu N) $, kde $ \ mu $ je chemický potenciál .
Souvislost s termodynamikou je dána
$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$
Odpověď
Je to $ e ^ {- F / T} $, kde $ F / T $ je volná energie normalizovaná příslušnou stupnicí termodynamické energie, teplota. Exponenciální je pouze monotónní reparameterizace, takže morálně řečeno, funkce rozdělení je jen volná energie, která je k dispozici dělat užitečnou práci.
Jiný výklad: pokud normalizujete to tak, že $ E = 0 $ je základní stav, pak zhruba řečeno, je to převrácená část „zlomku systému, který je v základním stavu“. Extrémně heuristicky nechť $ g $ je celková částka systému, která je v základním stavu, $ e $ je celková částka systému, která je v opuštěném stavu, a $ s = g + e $ je celková částka systému. Pak $ g / s $ je zlomek systému, který je v základním stavu, a jeho reciproční je $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. Boltzmannova váha udává, že relativní váha (nebo „množství“) každého vzrušeného stavu $ i $ s energií $ E_i $ vzhledem k hmotnosti základního stavu je $ e ^ {- \ beta E_i} $.Sečteme-li všechny vzrušené stavy $ i $, dostaneme funkci oddílu $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ tečky $.
Odpověď
Fyzický význam funkce oddílu je následující: Vyjadřuje počet tepelně přístupných stavů, které systém poskytuje nositelům (např. elektronům).