Je GameScience ' s neválcovou sedmistrannou kostkou vyváženou / spravedlivou kostkou?

Skutečný experiment je obtížný

Propojené kostky v otázce nejsou na skladě, takže pouze lidé, kteří již mají mnoho těchto kostek a jsou ochotni provést statistické testy, mohou poskytnout odpověď “ true „. Mám podezření, že tato populace je poměrně malá. Myslím si však, že stávající literatura a trochu dedukce mohou poskytnout teoretický a historický pohled na spravedlnost této d7.

Je možné mít spravedlivou d7 ve specifických scénářích

Zaprvé je rozhodně teoreticky možné mít sedmistranný nástroj. Nástroj, jak je znázorněno, je pětiúhelníkový hranol. Geometricky je spravedlnost nástroje nejvíce ovlivněna poměrem velikosti pětiúhelníkových ploch k obdélníkovým stranám . Rychle jsem vytvořil model dvou extrémů:

• Tváře jsou větší než strany: To odpovídá tvaru na levé straně. Tento extrém silně upřednostňuje pětiúhelníkové tváře – je to v zásadě mince a je těžké si představit, že by někdy přistál na okrajích.

• Boky jsou větší než Faces: To odpovídá tvaru vpravo . V tomto případě je kostka spíše jako tužka a téměř vždy padne po stranách.

Protože jeden plynule upravuje poměr velikosti mezi stranami a plochami, bude existovat konkrétní bod, kde bude přechod mezi upřednostňováním stran a upřednostňováním tváří. Tento průsečík je bod, ve kterém je kostka spravedlivá. Proto je možné mít spravedlivou sedmistrannou kostku.

Tento magický poměr m nemusí být stejné za všech podmínek. Tato odpověď v MathOverflow tvrdí, že u neizoedrálních kostek závisí spravedlivost výsledku na tom, jak ji hodíte. Podobně i tato náhodná stránka na internetu tvrdí, že výsledek může ovlivnit různé povrchy. Ani jeden ze zdrojů neposkytuje přesvědčivé důkazy o svých tvrzeních, ale stojí za zvážení, že výše uvedený argument střední hodnoty neprokazuje, že jediná d7 může být spravedlivá pod všemi podmínky .

Patent pro tento d7 ukazuje, že byl testován na férovost

Otázkou tedy je, mají tyto konkrétní kostky potřebnou geometrii, aby byly spravedlivé? Stránka s popisem produktu, na kterou OP odkazuje, obsahuje číslo patentu: US PAT č. D-4 900 034. Toto číslo odpovídá patentu “ Náhodné herní kousky a rozvržení a hrací stůl pro použití se stejným “ souborem Bernard Bereuter v roce 1988.Tento patent mimo jiné popisuje konstrukci a férovost pro tento konkrétní d7 pro účely hazardních her:

Používání vytvořených herních prvků z tvrdého plastu typu, který lze použít pro standardní kostky, experimenty ukázaly, že požadovaného náhodného přistání kusů je dosaženo, pokud se pravidelný pětiúhelník průřezu vejde přesně do kruhu o průměru 1 palec (což má za následek obvodové hrany 3 (délka 0,588 palce) a délka hranolu 0,753 palce, u kusů válcovaných přes plstěnou podložku napnutou přes tvrdý vodorovný povrch.

…

A náhodná hrací hrací část obsahující nehraný hranol … mající indicie rovnoměrně rozmístěné po jeho obvodu, přičemž délka uvedeného hranolu se liší od délky strany pravidelného mnohoúhelníkového příčného řezu a je rovna délce požadované tak, aby byla pravděpodobnost uvedený hranol přistávající na jedné ze svých koncových ploch je přibližně ekv al k pravděpodobnosti jeho přistání na kterékoli z jeho bočních ploch.

Tedy, pane Bereuter zřejmě provedl empirické testování nezbytné k určení ideálního poměru velikosti pro spravedlivý sedmistranný nástroj, alespoň na jednom konkrétním povrchu.

Bohužel, protože jeho data nejsou veřejná a kostky v současné době nejsou k dispozici, nemůžeme jeho výsledky sami ověřit ani opakovat. Je jistě možné, že kostky zakoupené na tomto webu nejsou férové i z jiných důvodů. Vynálezce této d7 však zjevně vynaložil značné úsilí na stanovení rozměrů nezbytných k vytvoření férové kostky.

Pokud GameScience přesně dodržovala rozměry v patentu, který uvádějí, pak je jejich d7 pravděpodobně dostatečně spravedlivý pro účely RPG. Původní patent koneckonců určoval kostku pro účely hazardních her a podle mých zkušeností jsou TTRPG mnohem méně citlivé na nekalé kostky než hazardní hry.

Komentáře

• Mám odpověď s touto odpovědí (omlouvám se, že jsem ji nezálohovala zdroji): Pravděpodobnost, že kostka spočívá na obličeji, závisí (také) na tom, jak ostrá / zaoblená hrana, jestli má kostra dostatečnou hybnost přes tento okraj. protože moment setrvačnosti a výška těžiště matrice se liší v závislosti na tom, o jakou hranu jde, musí se také lišit zaoblená noc. ‚ nevidím tuto adresu kdekoli. Také jsem nedělal ‚ matematiku, pokud je rozdíl pro různé tváře významný, možná to nebude moc.
• @mart that ‚ s pravdou a já se nemůžu touto otázkou zabývat – pokusil jsem se to zmínit, když řeknu, že mohou existovat i jiné důvody, proč kostky nejsou veletrh. Abyste mohli otestovat, že ‚ d musíte nejen získat skutečné kostky, které jsou na skladě, ale také spoustu těch kostek, které nemají ‚ nemají zaoblené hrany, ale jsou jinak identické.
• Zajímalo by mě, jestli by někdo s 3D tiskárnou mohl po skenování “ nařízení vytvořit různé kostky “ zemřít. Pak si zahrajte s parametry na okrajích.

Ne, nejsou férové, pokud ignorujete strany

Aby byla uniformní masivní kostka spravedlivá, musí existovat několik požadavků.

Aktivní strany musí být přechodné.

Kostky jsou spravedlivé, pouze pokud jsou všechny ze stran, které jsou používány, je stejně pravděpodobné, že na ně přistane. Aby to byla pravda, musí to být obličejové, což znamená, že všechny strany mají stejný tvar. Přesněji …

Isohedral Obrázek

V geometrie, polytop dimenze 3 (mnohostěn) nebo vyšší je izohedrální nebo přechodový, když jsou všechny jeho plochy stejné. Přesněji řečeno, všechny tváře musí být nejen kongruentní, ale musí být tranzitivní, tj. Musí ležet na stejné oběžné dráze symetrie. Jinými slovy, pro jakékoli plochy A a B musí existovat symetrie celého tělesa rotacemi a odrazy, které mapují A na B. Z tohoto důvodu jsou konvexní isohedrální mnohostěny tvary, které vytvoří spravedlivé kostky.

Izotoxální obrázek

Pravidelné mnohostěny jsou izohedrální (tvář-tranzitivní), izogonální (vrchol-tranzitivní) a izotoxální (hrana tranzitivní).

Tato 7stranná kostka není ani jednou z těchto věcí. Ale je to tak, že ignorujeme všechny výsledky na pětiúhelníkových stranách.

Jinými slovy, vzhledem k ploše na matrici, musí existovat rotace (alespoň jedna), jejímž výsledkem je každá další plocha, hrana, a vrchol se mapuje na stejné místo jako odlišná plocha, hrana a vrchol. Zkusme to za 2 dny.

Díky tomu je dobrý dvourozměrný zemřít. Otočení trojúhelníku o 120 stupňů kolem středu mapuje každý vrchol a hranu trojúhelníku na jiný. Pojďme to vzít do 3 dimenzí, řekněme krychli. A d6. Jsme všichni dobře známí. D6 je férová matrice, protože existuje alespoň jedna rotace, která vede k tomu, že každá plocha, hrana a vrchol jsou mapovány na umístění jiné. Jednou z těchto rotací by samozřejmě byla rotace, kterou lze představovat „90 stupňů na jedné ose a 90 stupňů na druhé“. Nebo v Euler Angles , 90, 90, 0. Nebo, pokud to pomůže, 90 stupňů a 90 stupňů vybočení. Nebo jakákoli kombinace výšky, zatáčení a otáčení.

Všechny ostatní férové kostky mají tuto vlastnost. Existuje rotace, která mapuje každou plochu, hranu a vrchol d4 na jinou plochu, hranu a vrchol. Existuje jeden pro d20. Ve skutečnosti existuje mnoho rotací, které to dělají pro tyto spravedlivé kostky. Ale pro d7 to neexistuje žádná rotace. Mohli byste to otočit o 180 stupňů kolem osy „nahoru“ (sedět ani na 6, ani na 7), ale horní hrana by pak nebyla přeložena do polohy další hrany. Dalo by se to položit naplocho na 6 a otočit to o 72 stupňů, ale pak by pětiúhelníkové tváře nebyly přeloženy do jiné tváře.

Střed každé tváře musí být ve stejné vzdálenosti od těžiště.

Pokud jde o (férové) kostky, těžiště je v přesném středu objektu. To znamená, že všechny tváře jsou od ní ve stejné vzdálenosti. Výsledkem toho je, že po hodu má každá tvář stejnou příležitost přijít. Pokud se však těžiště pohne z geografického středu nástroje, změní se osa otáčení a nástroj již nebude spravedlivý. zdroj

Změna těžiště se nazývá vážení matrice. Jak se těžiště pohybuje dále od středu matrice, efektivně lehčí plocha se bude valit nahoru častěji než ne.

Vytváření spravedlivých kostek ignorováním tváří

Kostky s lichým počtem plochých ploch lze vytvořit jako „dlouhé kostky“. [ 26] Jsou založeny na nekonečné sadě hranolů. Všechny (obdélníkové) tváře, na které mohou skutečně přistát, jsou shodné, takže jsou stejně spravedlivé. (Další 2 strany hranolu jsou zaoblené nebo opatřeny pyramidou, která je navržena tak, aby kostka nikdy nespočívala na těchto plochách) Zdroj

Tato poslední věta je nejdůležitější částí. Tato 7stranná kostka je spravedlivá pro rozsahy 1-5 za předpokladu, že budete ignorovat 6. a 7. tvář. Jak jsme si přečetli výše, jakýkoli hranol může být spravedlivý, pokud jsou jeho konce „uzavřeny“ nebo ignorovány ( viz Dlouhé kostky ). Skutečná d7 by tedy byla vytvořena z sedmibokého hranolu . Ignorováním konců tedy existuje rotace, která mapuje každou plochu, vrchol a hranu na umístění jiné plochy, hrany a vrcholu. Vraťme se k výše uvedenému příkladu. Položíme to naplocho na 6. hranu a otočíme o 72 stupňů. Voila! Každá z tváří je nyní v místě, kde býval obličej, každá hrana je v místě, kde byla jiná hrana, a každý vrchol je v místě jiného vrcholu . Až na čepice, které jsme ignorovali.

V poslední době jste si možná všimli sudových kostek. Používají stejný základní princip, až na to, že jejich strany jsou spíše trojúhelníky než obdélníky.

Proč nefungují nesymetrické neortodoxní tvary?

Výsledkem toho, že matrice je čelně tranzitivní a má střed hmoty ve stejné vzdálenosti od středů ploch, je to, že k jejímu převrácení vyžaduje stejnou sílu v jednom směru bez ohledu na to, jakou plochu má přistála na. Když se podíváme zpět na d7, můžeme snadno uhodnout, že použití síly k přechodu z plochy 1 na plochu 2 je stejné množství síly, které ji změní z plochy 2 na plochu 3, jak spočívá na stole. To je způsobeno skutečností, že úhly mezi tvářemi jsou stejné, a protože tváře jsou na těchto stranách stejné. Když je „1“ nahoře, dotýká se stolu tolik plochy, kolik je, když je „2“ nahoře. Uvažujme o tvářích 6 a 7.

Když je obličej 6 nahoře, obličej 7 je dolů. Na stole je nyní větší povrch. Kromě toho je úhel mezi obličejem 6 a jakýmkoli jiným obličejem, který se ho dotýká, větší (90 stupňů proti 72 stupňů). Oba tyto způsoby znamenají, že to vyžaduje větší sílu, aby se tlačila na jednu z ostatních tváří.Takže když se kostka omíjí a plocha 6 nebo 7 narazí na stůl blízko konce bubnu a ztratí část své rychlosti a rychlosti otáčení, je pravděpodobnější, že X síla síly bude not má za následek padání kostky přes tuto tvář k přistání na 1-5.

Komentáře

• Komentáře nejsou určeny pro rozšířenou diskusi; tato rozsáhlá konverzace mnoha matematických / fyzických / statistických bodů v příspěvku byla přesunuta do vlastního vyhrazeného chatu . Důrazně doporučuji, aby ti, kteří ‚ takhle četli, také četli chat. V každém případě by se další komentáře měly zabývat pouze tím, jak by OP mohlo zlepšit jejich prezentaci jejich pozice; pokud chcete tvrdit, že jejich pozice není správná, udělejte to buď ve své vlastní odpovědi, nebo v chatu.