Tady již existuje taková otázka , aby mohla být zvážena moje otázka duplikát, ale pokusím se objasnit, že se jedná o jinou otázku.
Existuje způsob, jak odvodit Biot-Savartův zákon z Lorentzova „Force zákona“ nebo jen z Maxwellových rovnic?
Jde o to, že na základě experimentů obvykle definujeme, že síla pociťovaná pohyblivým nábojem za přítomnosti magnetického pole je $ \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ krát \ mathbf {B} $, ale v takovém případě se magnetické pole obvykle nechá definovat později.
Lze tento silový zákon nějakým způsobem použít k získání Biot-Savartova zákona, jako bychom rovnici pro elektrické pole získali přímo ze Coulombova silového zákona?
Chtěl jsem vím, že protože jak jsem uvedl v otázce, kterou jsem zmínil, i když Maxwellovy rovnice lze považovat za zásadnější, tyto rovnice se získají poté, co známe Coulombovy a Biot-Savartovy zákony, takže pokud začneme s Maxwellem, S Rovnice k získání Biot-Savartových, které ji používají k nalezení Maxwellových rovnic, pak si myslím, že padneme do kruhového argumentu.
V takovém případě, aniž bychom využili Maxwellovy rovnice, je jediný způsob, jak získat Biot-Savartův zákon, je prostřednictvím pozorování, nebo ho lze nějak odvodit?
Komentáře
- Maxwell ani Biot-Savart nejsou zásadní – všechny tyto vzorce vyplývají z Coulomba a dobře zvolené definice $ B $, jak je tangenciálně zmíněno v tomto krátkém chvástání .
- @ ChrisWhite, Maxwell rovnice nevyplývají pouze z Coulombova zákona, speciální relativity a definic. Například Gaussův zákon pro nepřímý pohyb nábojů nelze odvodit bez dalších předpokladů.
- Myslím, že @Hans de Vries může poskytnout elegantní odpověď.
Odpověď
$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ Zákon Biot-Savart je důsledkem Maxwellových rovnic.
Předpokládáme Maxwellovy rovnice a zvolte Coulombův rozchod, $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Pak $$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ $ Ale $$ \ nabla \ times \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ částečné \ VE} {\ částečné t} = \ mu_0 \ VJ. $$ V ustáleném stavu to znamená $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ Pro každou složku výše uvedené rovnice tedy máme Poissonovu rovnici. Řešení je $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr „)} {| \ vr- \ vr“ |} d ^ 3 r „. $$ Nyní musíme pouze vypočítat $ \ VB = \ nabla \ times \ VA $. Ale $$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ (\ vr „)} {| \ vr- \ vr“ |} = \ frac {\ VJ (\ vr „) \ times (\ vr- \ vr“)} {| \ vr- \ vr „| ^ 3} $$ a tak $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr“) \ krát (\ vr- \ vr „)} {| \ vr- \ vr“ | ^ 3} d ^ 3 r „. $$ Toto je Biot-Savartův zákon pro drát o konečné tloušťce. U tenkého drátu se to sníží na $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ times (\ vr- \ vr „)} {| \ vr- \ vr „| ^ 3}. $$
Dodatek : V matematice a přírodních vědách je důležité dodržovat pamatujte na rozdíl mezi historickým a logickým vývojem subjektu. Znalost historie subjektu může být užitečná k získání pocitu osobností, kterých se to týká, a někdy k vytvoření intuice o subjektu. Logickou prezentací subjektu je způsobem, jak o tom odborníci přemýšlejí. Zapouzdřuje hlavní myšlenky nejucelenějším a nejjednodušším způsobem. Z tohoto hlediska je elektromagnetismus studiem Maxwellových rovnic a Lorentzova silového zákona. Všechno ostatní je druhořadé, včetně Biot-Savartova zákona.
Komentáře
- Ale jak jsem to ‚ viděl, Maxwell ‚ rovnice jsou odvozeny ze zákona biot-savart, který by vytvořil tento oběžník.
- @JLA: I ‚ jsem něco přidal do adresujte “ oběhovost “ na kterou odkazujete.
- @JLA, není možné matematicky odvodit Maxwell ‚ s rovnice ze zákona Biot Savart. Lidé někdy dělají, že odvodí (dospějí) Maxwellovy ‚ rovnice ze zákona Biot-Savart pro konkrétní případ, jako jsou stacionární proudy, a poté je zobecní na všechny situace slovem.
- Kvůli jasnosti se diferenciální operátory používají na $ {\ bf r} $ a ne na $ {\ bf r ‚} $, které ‚ jak jsou vyměňovány s integrály přes $ {\ bf r ‚} $.
- @AG Přijetí derivace ve vztahu k $ {\ bf r ‚} $ ve skutečnosti nemá smysl.Máme $ \ nabla = \ sum \ hat e_i \ částečné / \ částečné x_i $, ne $ \ sum \ hat e_i \ částečné / \ částečné x ‚ _i $ (pro které napíše $ \ nabla ‚ $ nebo něco takového).
odpověď
Je možné, že v dávných dobách lidé měřili sílu vycházející z vláknového proudu, objevili Biot-Savartův zákon a poté jej použili jako inspiraci ke konstrukci Maxwellových rovnic. Pokud je to jak se to vlastně historicky stalo, fajn.
Ale to je analogické s nějakým mimozemským archeologem, který za 10 milionů let našel na Zemi kosterní ruku a nohu. Z ruky archeolog pochopil, co zvíře, které tu ruku mělo, s ní ráda dělá: že může uchopit a používat nástroje atd. Od nohy, archeolog, pochopí, že zvíře, ke kterému patřilo, chodilo na dvou nohách a že v dospělosti obvykle vážilo kolem 100-300 liber.
Teprve později archeolog zjistí, že ruka a noha patřila stejnému zvířeti – člověku. Ale povaha práce znamená, že hádanka toho, čím byla lidská bytost, musí být rozložena na kousky, které lze jednotlivě pochopit, než se může spojit celý obraz. To znamená, že by bylo pozadu, kdybychom navrhli, že ruka a noha jsou podstatnější než samotná lidská bytost.
Maxwellovy rovnice byly konstruovány tak, aby byly v souladu s Biot-Savartovým zákonem a dalšími informacemi , jako Coulombův zákon. Biot-Savartův zákon tedy můžete odvodit od Maxwella, ale nikoli naopak, protože Maxwell je obecnější a všeobjímající.
Pokud již víte Lorentzův silový zákon, můžete odvodit sílu magnetického pole z drátu pouhým výstřelem nabitých zkušebních částic v blízkosti drátu a pozorováním jejich pohybu. Ale to zpochybňuje, jak již znáte Lorentzův silový zákon, a tak zapnuto.
Můžete kroužit celý den v kruzích nad tím, co je nebo není zásadní, nad tím, co musí být založeno na experimentálním pozorování a co je pouze konstruováno tak, aby bylo v souladu s těmito pozorováními, ale často tam je preference pro „jednoduchá“ experimentální pozorování považovaná za základní vs. teoretické konstrukce t Které obsahují mnoho takových pozorování – viz komentář Chrisa Whitea, že Maxwellovy rovnice lze odvodit z Coulombova zákona a některých dalších věcí.
Pro mě je to hloupé. Maxwellovy rovnice zahrnují součet našich pozorování (alespoň těch, které odpovídají klasickému režimu). Pro mě je to to, co víme o klasickém elektromagnetismu. Říci, že můžete odvodit Maxwella “ s rovnice pouze s jedním výsledkem plus několika předpoklady … no, postrádá smysl, že tyto předpoklady také musely být nejprve otestovány a ověřeny. Pro mě je velmi zpětné vyčlenit speciální případy (čistá elektrická, čistá magnetická, statická nebo dynamická pole) a považovat je za „základní“.
Upravit: ale ve skutečnosti fyzik musí pracovat v obou směrech. Abychom vytvořili novou teorii, máme často speciální případy, o kterých nevíme, že jsou propojené, a musíme je spojit dohromady. Tím je budování Maxwellových rovnic z Coulombova zákona a Biot-Savarta. Chcete-li analyzovat konkrétní problém nejsnadněji, nejsme si jisti, zda existuje speciální případový vzorec, musíme se uchýlit k nejobecnějšímu popisu (Maxwell) a pokusit se ho zredukovat na něco jednoduššího a snadněji řešitelného (v v případě neexistence proudu a časové závislosti se můžete vrátit zpět k Coulombovu zákonu). Oba přístupy musí být co nejpružnější.
Odpověď
Počínaje experimentem typu Rowland Ring je možné definovat permeabilita jako míra toku generovaného v jednotkovém objemu na otáčku ampéru. Pokud pak předpokládáme, že se tento tok rozptýlí jako zákon inverzního čtverce, získáme zákon biot Savart jako magický analog coulombova zákona s přidáním křížového produktu, který se postará o kolmost směru pole a přísně s pochopením, že je to pracovní hypotéza ověřená svou užitečností, protože aktuální prvek nemůže existovat izolovaně od zbytku jeho obvodu. Moje rada – Ignorujte všechna pokušení upadnout do více matematiky, než je nutné minimum, které vás dovedou k pochopení. Doufám, že to pomůže .
Odpovědět
Laskavě následujte následující odkaz. a plese přejít k nadpisu „Práce“. Říká se, že zákon byl objeven experimentálně v roce 1820, tj. 45 let před zveřejněním Maxwellových rovnic. Obecná formulace k Biot-Savartův zákon dal P. Laplace. Výraz Biot-Savartova zákona (integrace) ukazuje, že při Princip superpozice je již v něm obsažen.Maxwellovy rovnice byly vyvinuty později a byly navrženy tak, aby zahrnovaly důsledky Biot-Savartova zákona. Možná proto můžeme odvodit Maxwellovy rovnice z Biot-Savartova zákona a naopak.
Přejděte na tento odkaz https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force a přejděte do části „Historie“. Říká se, že v rok 1881, tj. 16 let po zveřejnění Maxwellových rovnic, Thomson nejprve odvodil formu Lorentzova silového zákona z Maxwellových rovnic. Nakonec moderní formu Lorentzova silového zákona odvodil Lorentz v roce 1892 z Maxwellových rovnic.
Takže historická posloupnost je taková:
Biot-Savartův zákon ==> Maxwellovy rovnice ==> Lorentzův silový zákon.
Ale ve třídách jsme vyučováno v následujícím pořadí:
Za prvé: Lorentzův silový zákon, představit koncept magnetického pole, který vyvíjí sílu na pohybující se náboj.
Za druhé: Biot-Savartův zákon, představit koncept, že pohybující se cha rge produkují magnetické pole.
Za třetí: Maxwellovy rovnice; zobecnění všech experimentálních pozorování v elektromagnetismu.
Takže závěr zní:
(1) Biot-Savartův zákon je experimentálně pozorovaný zákon. Tento zákon také zahrnuje myšlenku tento princip superpozice platí také v magnetostatice. Tento zákon poskytl základ pro magnetostatiku.
(2) Byly odvozeny Maxwellovy rovnice takovým způsobem, aby obsáhly nálezy Biot-Savartova zákona ( spolu s dalšími experimentálními pozorováními elektromagnetismu). Je to teoretické zobecnění. Maxwellovy rovnice jsou podstatnější než jakékoli jiné experimentální pozorování, protože experimenty se obvykle provádějí za určitých okolností, a proto nemohou poskytnout zobecněné informace.
(3) Lorentzův zákon síly byl odvozen z Maxwellových rovnic, ale lze přímo experimentálně ověřit.
POZNÁMKA
„Pozorování a zobecnění“: Myslím, že tímto způsobem se fyzika vyvíjí. Pozorování (experiment) vždy vytváří základ. Zevšeobecnění zahrnuje pozorování a rozšiřuje jeho použitelnost na další představitelné konfigurace, případy a okolnosti. Proto je vždy možné odvodit zobecnění z pozorování a naopak [Biot-Savartův zákon lze odvodit z Maxwellových rovnic a Maxwellovy rovnice lze odvodit z Biot-Savartova zákona ] .
Zde je zdůrazněno, že Biot-Savartův zákon je důležitým pozorováním, které zahájilo pole magnetostatiky. Lze použít Maxwellovy rovnice (generalizace) a koncept vektorového potenciálu (obecná vlastnost vektorového pole) odvodit Biot-Savartův zákon, ale to neznamená, že tento zákon je pouze přechodným krokem ve vývoji znalostí týkajících se magnetostatiky. Že je možné odvodit Biot-Savartovu zákonnou formu Maxwellových rovnic a koncept vektorového potenciálu pouze potvrzuje, že zobecnění v Maxwellových rovnicích je správné.
Komentáře
- OP se však neptal na historické pořadí událostí.
Odpověď
Musíme se podívat na časovou linii (historii). Byl zveřejněn zákon Biot-Savart před zveřejněním Maxwellových rovnic. Takže Gaussův zákon pro magnetická pole (druhá Maxwellova rovnice) je odvozen od Biot-Savartova zákona, a nikoli naopak. Odvození Gaussova zákona pro magnetická pole (druhá Maxwellova rovnice) ) z Biot-Savartova zákona si můžete přečíst zde Gaussův zákon pro magnetická pole
Odpověď
Problém Biot-Savartova zákona spočívá v tom, že teoreticky je formulován ve smyslu aktuálního prvky $ Idl $ a poté integrovány. Ve většině učebnic je ale formulován také pro BODOVÉ poplatky, pokud jde o $ qv $ . Problém je v tom, že když se bodový náboj $ q $ pohybuje rychlostí $ v $ , magnetické pole v blízké prostory ZMĚNY s časem, tj. máme $ \ frac {dB} {dt} $ , a poté nastanou indukční efekty a dojde k porušení magnetostatické podmínky. Naproti tomu, když je $ Idl $ integrován do spojitého drátu, je pole $ B $ konstantní (magnetostatické ). Tyto dvě situace jsou velmi odlišné a podle mého nejlepšího vědomí nebylo nikdy měřeno přímo bodové pole $ B $ . Síla na $ qv $ , ano, ale ne pole vytvořené $ qv $ .