Jsou čísla opravdu nekonečná? [uzavřeno]

Nejste jediný, kdo zpochybňuje nekonečné množství čísel. Ve skutečnosti existují celé myšlenkové směry zkoumající nekonečné spektrum čísel, celé myšlenkové směry zkoumající transfinitní čísla přesahující nekonečné spektrum a celé myšlenkové směry zkoumající, jak dělat matematiku tam, kde nekonečna neexistují (známé jako finistické školy myšlenka)!

Základem diskuse o nekonečných číslech je koncept Peanoovy aritmetiky. Giuseppe Peano vyvinul sadu axiomů pro takzvaná „přirozená čísla“, která jsou neformálně definována jako posloupnost 0, 1, 2, 3, 4. .. Axiomy jsou:

• 0 je přirozené číslo (deklarujeme, že existuje, je to konstanta)
• pro každé přirozené číslo x, x = x (reflexivní: všechno se“ rovná „)
• Pro všechna přirozená čísla x a y, pokud x = y pak y = x (symetrická vlastnost rovnosti)
• Pro všechna přirozená čísla x, y, z, pokud x = y a y = z pak x = z (přechodná vlastnost rovnosti)
• pro všechny a a b, pokud b je přirozené číslo a a = b pak a je přirozené číslo (rovnost je „uzavřena“)

Poté musíme definovat funkci S známá jako funkce nástupce, takže můžeme mít čísla větší než 0. Neformálně S(0)=1, S(1) = 2 atd. zapnuto.

• Pro každé přirozené číslo n je S(n) také přirozené číslo
• Pro všechna přirozená čísla m a n, m = n právě tehdy S(m) = S(n) (S je injekce)
• pro každé přirozené číslo n, S(n) = 0 má hodnotu false (nástupce čísla nikdy není 0 … aka 0 je „první“ přirozené číslo)

Nyní potřebujeme axiom, díky kterému je vaše otázka tak mimořádně zajímavá, axiom indukce:

• pokud f je taková funkce, t f(0) platí a pro každé přirozené číslo n platí, pokud f(n) platí f(S(n)) platí, pak f(n) platí pro všechna přirozená čísla.

Tento poslední axiom je ten, který způsobuje tolik zajímavého chování. Je to ten, kdo se snaží dosáhnout nekonečna a tvrdí, že nabízí způsoby, jak to uchopit. A stejně jako všechny axiomy neříká nezbytně, že je „správný“, pouze to, že je v mezích prohlášen za pravdivý pravidel aritmetiky (jak je definuje Peano).

Hodně z aritmetiky bylo formováno na to, co je známé jako „teorie množin“, což je základ velké části naší matematiky, protože vypadá jako zásadní v tom, jak je vesmír organizován. Sady se zabývají konkrétními sbírkami věcí, například „množinou přirozených čísel menších než 5“, která se píše jako {0, 1, 2, 3, 4}.Peanoova aritmetika je nejčastěji mapována na teorii množin pomocí následující konstrukce:

• Prázdná množina {} je deklarována jako konstanta 0 v Peanoových axiomech
• Nástupnická funkce S(n) je definována jako` S (n) = {{}, {n }} (Nástupce libovolného čísla je definován jako sjednocení prázdné množiny a množiny obsahující předchozí číslo.)

Tato definice zní trochu tupě, ale byla zvolena, protože je snadné mapovat všechny ostatní Peanoovy axiomy na tyto dvě definice. Tím získáváme schopnost používat axiomy teorie množin k manipulaci s „čísly“ velmi silnými a základními způsoby. Jedním z nejdůležitějších z nich je koncept mohutnost sady. Toto je „počet“ věcí v sadě. Neformálně {1, 2, 3}, {3, 4, 5} a {apple, orange, orangutan} mají všechny mohutnost 3, protože mít 3 prvky, ale {2, 4, 6, 8} má mohutnost 4.

To je kde se to zkomplikuje, protože se ukáže, že „množina všech přirozených čísel“ je platná množina, obvykle představovaná velkým N, takže se můžeme zeptat „co je mohutnost množina všech přirozených čísel? “Odpověď zní„ nekonečno “a toto tvrzení je definováno. Kardinalitu N definujeme jako konkrétní číslo známé jako ℵ₀, které dostává anglický název „countable infinity“. Ano, pro matematiky je nekonečno započítatelné, protože teoreticky můžete začít na 0, počítat nahoru 1, 2, 3, 4, 5 … a „dosáhnout“ ℵ₀ podle axiomu indukce. Existují také nespočetné nekonečna, například ℵ₁, známé jako mohutnost kontinua nebo počet reálných čísel (za předpokladu, že hypotéza kontinua je pravdivá … na to jsou dokonce různé názory). Existuje dokonce škola přemýšlel o „transfinitních“ číslech, která zvládnou fráze jako „Zdvojnásobím psa, odvážím se nekonečno plus jednou!“

Vítejte v králičí nory nekonečna v matematice. „Definovali jsme zde slovo tak, že něco znamená. Definuje se s ohledem na množinu axiomů. Platí tyto axiomy v„ reálném životě? “Většina matematiků považuje za vhodné předpokládat, že ano. Počítač, na kterém to dnes čtete byl vyvinut s použitím mnoha modelů z počtu a kořeny zubního kamene se nacházejí hluboko v nekonečnu (zejména jeho koncept „limitů“). Tento předpoklad nám zatím udělal docela dobře. Je tento předpoklad „pravdivý?“ To je složitější otázka. Existují finistické myšlenkové směry, které vycházejí z předpokladu, že počet přirozených čísel je konečný, obvykle nějakým způsobem souvisí s konečnou kapacitou lidské mysli nebo vesmíru. Pokud je čas konečný a výpočet je konečný, pak člověk nemůže teoreticky počítačově „nekonečno“, takže tvrdí, že neexistuje. Mají pravdu? No, ano … podle jejich definic, stejně jako opačné tvrzení platí definice Peanoových axiomů a teorie množin. Oba mohou být pravděpodobně pravdivé, protože každý z nich definuje slovo „nekonečno“ tak, že znamená něco tak trochu jiného.

Na závěr může být užitečné se v lingvistice zabývat volba: „Takže, řekneme, že čísla jsou nekonečná?“ Můžeme říci spoustu věcí. To, zda tyto věci splňují ideál pravdivosti (což je formálně velmi těžké formálně popsat), do značné míry závisí na individuálním významu pro slova. Pokud přijmete definici „nekonečna“ danou mainstreamovou matematikou, pak „čísla jsou nekonečná“ je pravdivá, doslova proto, že mainstreamová matematika definuje „nekonečno“ jako takové. Pokud přijmete definici danou finitisty, pak „čísla jsou nekonečná“ je nepravdivá, doslova proto, že finitisté definují „nekonečno“ jako takové. Můžete si vybrat vlastní definici. Může to být dokonce kontextové (není neobvyklé najít křesťanské matematiky, kteří definují „nekonečno“ ve svém náboženství mírně odlišně, než ho definují v matematice, aniž by to mělo škodlivé účinky kromě dvou velmi podobných konceptů, jimž je ve slovníku přiřazeno stejné slovo) .

Komentáře

• " existují celé myšlenkové školy zkoumající nekonečné spektrum čísel ". Nikdo nemůže prozkoumat nekonečné množství čísel, protože jsou nekonečné. Budete potřebovat nekonečné množství let a nekonečné množství učenců.
• Tato odpověď obsahuje to, co považuji za nevinnou chybu. Hodnota mohutnosti kontinua je jednou z velkých neznámých teorie množin. ZFC není dostatečně silný, aby odpověděl na stanovení hodnoty. Říci, že " c " se rovná aleph-1, znamená předpokládat pravdivost hypotézy kontinua.
• Opravdu se mi tato odpověď líbí.Ať už je cokoli, co říkáme, když existuje všeobecná shoda, tato odpověď jde ještě dále a velmi rychle a jasně dává matematický rámec, kde oba definujeme pojmy a konkrétně jak je nekonečno definováno pomocí stejného. +1
• @NickR Děkujeme za úlovek! Byla zavedena úprava!
• @JohnAm Můžete je prozkoumat v konečném čase, pokud na každém čísle průměrujete nekonečně malé množství času 😉 To vyvolává otázku, jak důkladně prozkoumejte některá z větších čísel, ' to!

Obecně se uznává, že přirozená čísla uspokojují Dedekind-Peanoovy axiomy (obvykle pojmenované podle Peana, protože Dedekind ztuhne). Tyto axiomy znamenají že existuje nekonečně mnoho přirozených čísel. A není těžké pochopit proč: nemůže existovat největší přirozené číslo n, protože n + 1 je větší přirozené číslo.

Obecněji, v standardní (ZFC) axiomy pro teorii množin dokážeme existenci několika nekonečných množin. To je pro vaše účely o něco méně užitečné, protože existence nekonečné množiny je zabudován do ZFC jako axiom, ale protože ZFC je široce přijímaný matematiky a filozofy stojí za to poukázat.