Kde se Atiyah-Singerova věta o indexu používá ve fyzice?

Pohybové rovnice nebo rovnice okamžitých nebo solitonových nebo Einsteinovy rovnice, nebo téměř všechny fyzikální rovnice, jsou diferenciálními rovnicemi. V mnoha případech nás zajímá prostor řešení diferenciální rovnice. Pokud napíšeme celkovou (možná nelineární) diferenciální rovnici zájmu jako $ L (u) = 0, $, můžeme linearizovat blízko řešení $ u_0, $ tj. Napsat $ u = u_0 + v $ a rozbalte $ L (u_0 + v) = 0 + L ‚ | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ a vytvořte lineární rovnici $ D (v) = 0 $ ve výtlaku $ v. $

Lineární diferenciální rovnice je jako maticová rovnice. Připomeňme, že matice $ n \ times m $ $ M $ je mapa od $ R ^ n $ do $ R ^ m $ a $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ nezávislé na konkrétní matici (nebo lineární transformaci, obecněji). Toto číslo se nazývá „index“. V nekonečných dimenzích nejsou tato čísla obecně konečná, ale často (zejména u eliptických diferenciálních rovnic) jsou a závisí pouze na určitých „globálních“ informacích o prostorech, na které působí.

Věta o indexu řekne vám, co je index lineárního diferenciálního operátoru ($ D, $ výše). Můžete jej použít k výpočtu dimenze prostoru řešení rovnice $ L (u) = 0. $ (Když je prostor řešení varietou [jiný příběh], dimenze je dimenzí tečného prostoru, který popisuje rovnice $ D (v) = 0 $.) ne vám neříká jaký skutečný prostor řešení. To je těžká nelineární otázka.

Komentáře

• Myslím, že ‚ je pěkná matematická odpověď pro fyziky, kteří ‚ již neznají tvrzení věty o indexu. Nevidím však žádný skutečný fyzický příklad. Což je škoda, jsem si jistý, že je Eric musí znát hodně . Vím, že to lidé stále používají v teorii strun. Ale ‚ nevím dost na to, abych poskytl vlastní odpověď.
• Věta o indexu je velmi obecné a platí pro všechny příklady, které jsem citoval (instantony, solitony, Einstein ‚ s rovnice). Například prostor modulů $ SU (2) $ instantonů na čtyřech -sphere $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ s konstantním chováním v nekonečnu) s okamžitým číslem $ k $ se podle věty o indexu rovná $ 8k – 3 $.
• No, řekli jste “ téměř jakékoli fyzikální rovnice „, což je v přímém rozporu s mým každodenním životem pozorování 🙂 V co jsem doufal, byly některé konkrétní příklady, jaké dal Steve. Nebo něco jako váš příklad instanton (myslím, že jste mysleli $ S ^ 3 $?). Rád bych viděl více z nich, zvláště spojených s nějakou fyzickou interpretací. Díky předem 🙂
• Platí , že téměř každá rovnice ve fyzice je diferenciální rovnice! Ne všechny však vedou k problémům s indexem. (Myslel jsem S ^ 4. Instantony jsou časově závislé konfigurace polí.) Příklad z teorie strun, jehož Feynmanovy diagramy jsou dvourozměrné amplitudy QFT. Tato 2D teorie pole popisuje mapy od povrchu po časoprostor a okamžiky této teorie jsou holomorfní mapy. Dimenzi prostoru takových map zjistíme pomocí indexového vzorce. Pro CY je tato dimenze nulová, což znamená, že můžete počítat řešení (to souvisí s teorií topologických řetězců).
• +1 na pěknou odpověď a zmínku o instantonech. Existuje ale skutečně aplikace na Einsteinovu ‚ s rovnici? AFAIK je věta o indexu použitelná pro lineární eliptické operátory …

Eric a další dali dobré odpovědi, proč člověk očekává, že věta o indexu vznikne v různých fyzických systémech. Jednou z prvních a nejdůležitějších aplikací je „t Hooft“ řešení problému $ U (1) $. To se týká nedostatku devátého pseudo-Goldstoneova bosonu (jako jsou piony a Kaons) v QCD, který by člověk naivně očekával od rozbití chirální symetrie. Rozlišení má dvě části. První je skutečnost, že chirální $ U (1) $ je anomální. Druhým je zjištění, že existují konfigurace konečné akce (okamžiky), které přispívají ke korelačním funkcím zahrnujícím divergenci axiálního proudu $ U (1) $. Analýza se do značné míry opírá o teorém o indexu pro Diracova operátora spojený s polem QCD měřidla $ SU (3) $. Pro úplnější vysvětlení viz S. Coleman „Erice přednášky“ Využití instantonů.„Existují také důležité aplikace pro S-dualitu $ N = 4 $ SYM, které zahrnují teorém o indexu pro operátor Dirac v prostorech monopólových modulů.

Komentáře

• Jeffe, zůstaň na lince! Myslím si, že Physics Stack Exchange může být pro komunitu fyziky užitečný, pokud je používán tak široce a moudře jako Math Overflow – např. od lidí jako jsi ty!
• Díky Ericu. Shromáždil jsem, že se to právě restartovalo. Doufám, že to funguje. Má několik způsobů, jak jít, než bude kvalita MO.
• Skutečně. Myslím, že ‚ je nyní ve vývoji (Theoretical Physics Stack Exchange), jehož cílem bude více připomínat Math Overflow, ale toto má tu výhodu, že existuje.

Nejprve mi dovolte vysvětlit, na co se dotyčný index vztahuje Pokud je matematika příliš plná žargonu, dejte mi vědět v komentářích.

Ve fyzice nás často zajímá spektrum různých operátorů na různých potrubích, na kterých nám záleží. Např .: operátor Dirac v časoprostoru 3 + 1. Zejména nízkoenergetická fyzika na dlouhé vzdálenosti je obsažena v nulových režimech (základní stavy).

Nyní, co měří „index“, pro Diracova operátora $ D $ a daný rozdělovač $ M $ je rozdíl mezi počtem režimů nuly pro leváky a počtem režimů pro leváky pro praváky. Techničtěji:

$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$

kde $ D $ je dotyčný operátor; $ ker \, D $ je jádro $ D $ – množina stavů, které jsou zničeny $ D $; a $ ker \, D ^ {+} $ je jádro jeho adjointu. Pak, jak vidíte, $ ind \, D $ spočítá rozdíl mezi rozměrnostmi těchto dvou prostorů. Toto číslo závisí pouze na topologii $ M $.

Stručně řečeno, věta ASI spojuje topologii potrubí $ M $ s nulovými režimy nebo základními stavy diferenciálního operátora $ D $ působícího na $ M $. Toto jsou zjevně informace důležité pro fyziky.

Možná, že někdo jiný může rozpracovat více fyzikálních aspektů.

Podle mého názoru je nejlepším odkazem pro toto a další témata z matematické fyziky Nakahara .

V případě Diracův operátor, index je (podepsaná) nadměrná dimenze prostoru vakuových režimů jedné chirality w / r / t druhé: tj. Počet anomálních „přízračných“ stavů v teorii chirálního pole.

Anomálie vznikají, když se klasická / kvantová symetrická korespondence rozpadne při renormalizaci (globální anomálie může být zodpovědná za kvarkovou hmotu v QCD; řešení lokální chirální anomálie v účtech SM pro kvarky a leptony; řešení v teorii superstrunek opraví měřidlo skupina [buď SO (32) nebo E8 x E8] a rozlišení konformní anomálie fixuje rozměr časoprostoru a obsah fermionu). Při pokusu přeměnit teorii strun na skutečnou fyziku se člověk ptá

• Může to vysvětlit tři generace chirálních fermionů?
• Může vysvětlit experimentální výsledky rozpadu protonů?
• Může vysvětlit maličkost elektronové hmoty?
• Může to vysvětlit [věci týkající se kosmologické konstanty]?

a AST na tyto otázky odpovídá.