Model / vzorec pro odrážení míče

Říkáte, že ignorujete tření vzduchu, ale předpokládejme částečně nepružnou kolizi. To znamená, že můžeme problém prolomit dvě části:

1. Zatímco míč není v kontaktu se zemí, výška v čase $ t $ po posledním odrazu v $ t_0 $ je dána $$ h (t + t_0) = v_0 t – \ frac12 gt ^ 2 $$, kde $ v_0 $ je rychlost těsně po odrazu. Tato rychlost se bude měnit od jednoho odrazu k druhému.
2. Během nárazu se koule deformuje a dojde k tření. Přesný tvar míče během nárazu je těžké zachytit jednoduchou rovnicí, protože závisí na složení míče a podlahy. Jako zjednodušující předpoklad považujte míč za „hmotu na mírně ztrátové pružině s jarní konstantou $ k $“; poté bude míč během nárazu vykazovat (přibližně) tlumený jednoduchý harmonický pohyb: to znamená, že doba nárazu bude nezávislá na rychlosti nárazu (!)

Koeficient restituce je parametr koule / povrchu a odráží zlomek rychlosti těsně po odrazu dělený rychlostí těsně před. U golfového míčku to může být až 0,8; u tenisového míčku je to kolem 0,75.

Při použití $ \ rho = 0,75 $, pokud upustíte míč z výšky 5 m (a uvedení $ g = 10 ~ m / s ^ 2 $ pro pohodlí) přistálo by to po 1 sekundě rychlostí 10 m / s a po odrazu (nějaký krátký čas $ \ Delta t $) by to zase přišlo s nižší rychlostí $ v_1 = 7,5 m / s $. Čas strávený ve vzduchu do dalšího odrazu je dán $$ t_1 = 2 \ frac {v_1} {g} = 2 \ rho \ frac {v_0} {g} $$

Zatímco míč je v kontaktu se zemí, můžeme uvažovat, že se jeho střed pohybuje přibližně sinusovým způsobem – jak jsem řekl, důležité je, že doba kontaktu je nezávislá na výšce pádu (za předpokladu lineární konstanty pružiny). Ve skutečnosti, jak se koule více deformuje, pružinová konstanta se zvýší – což ve skutečnosti zkrátí dobu kontaktu, protože je vyšší rychlost nárazu. Ale pro vaši simulaci je nepravděpodobné, že by na tom záleželo.

Chcete-li přejít z výše uvedeného na „matematický model“, možná budete chtít tento pythonovský kód upravit podle svých potřeb:

from math import sqrt import matplotlib.pyplot as plt h0 = 5 # m/s v = 0 # m/s, current velocity g = 10 # m/s/s t = 0 # starting time dt = 0.001 # time step rho = 0.75 # coefficient of restitution tau = 0.10 # contact time for bounce hmax = h0 # keep track of the maximum height h = h0 hstop = 0.01 # stop when bounce is less than 1 cm freefall = True # state: freefall or in contact t_last = -sqrt(2*h0/g) # time we would have launched to get to h0 at t=0 vmax = sqrt(2 * hmax * g) H = [] T = [] while(hmax > hstop): if(freefall): hnew = h + v*dt - 0.5*g*dt*dt if(hnew<0): t = t_last + 2*sqrt(2*hmax/g) freefall = False t_last = t + tau h = 0 else: t = t + dt v = v - g*dt h = hnew else: t = t + tau vmax = vmax * rho v = vmax freefall = True h = 0 hmax = 0.5*vmax*vmax/g H.append(h) T.append(t) print("stopped bouncing at t=%.3f\n"%(t)) plt.figure() plt.plot(T, H) plt.xlabel("time") plt.ylabel("height") plt.title("bouncing ball") 

Tento kód vytváří následující graf:

Obtíž je, když je míč v kontaktu se zdí. Několik věcí, které můžete zvážit.

• elastický dopad. V takovém případě můžete míč považovat za pružnou pružinu. Když nárazem narazí na stěnu rychlostí, kinetická energie se převede na potenciální energii pružiny. A poté, co dosáhne maximální deformace, kulička vyskočí zpět do vesmíru. Směr deformace je ke zdi normální.
• nepružný dopad. Je to podobné jako výše, kromě toho, že koule obnovuje pouze zlomek kinetické energie. To je blíže realitě. Ztráta se obvykle popisuje pomocí koeficientu restituce.
• nepružný náraz s třením. Když míč narazí na zeď pod úhlem, může kulička klouzat po povrchu. To se blíží realitě.
• odpor vzduchu. Když se míč pohybuje v prostoru, existuje síla vzduchu, která ho zpomaluje.

Komentáře

• Lituji, myslím, že jsem nebyl ' dostatečně jasný. ' mluvím o částečně nepružném dopadu. Z mého původního příspěvku " … kolik energie se při odrazu ztratí … ". Také jsem v původním příspěvku zmínil, že ' ignoruji odpor vzduchu (" … I ' m za předpokladu zanedbatelné ztráty odporu vzduchu … ") a já se ' nepokouším modelovat hybnost do strany (" nepružný náraz s třením "). Chci jen modelovat kompresi, zpomalení, dekompresi a zrychlení, ke kterým dochází při nárazu na zem, a ztrátu energie vlastní celému procesu.

Vizuální řešení (nyní Altair) vyrábí software VisSim. Zde je ukázkové blokové schéma, které použili k simulaci skákací koule:

Bloky $ 1 / s $ jsou integrační bloky z knihovny VisSim.

Graf odrážející koule s těmito parametry je uveden níže.

Máte-li zájem o jeho spuštění, demo obsahuje instalaci a bezplatnou 60denní zkušební verzi si můžete stáhnout zde