Nalezení poloměru oběžné dráhy pomocí Bohrova modelu a Rydbergovy rovnice

Chcete-li začít s domácím problémem, je to zdlouhavé.

Částice o hmotnosti rovnající se 208násobku hmotnosti elektronu se pohybuje po kruhové dráze kolem jádra náboje $ + 3e $. Za předpokladu, že pro tento systém je použit Bohrův model atomu,

  1. Odvozte výraz pro poloměr Bohrovy dráhy $ n $ th.
  2. Najděte hodnotu $ n $ pro které se poloměr rovná poloměrům první oběžné dráhy vodíku.
  3. Najděte vlnovou délku záření emitovaného při otáčení skoků částic ze třetí oběžné dráhy na první.

Nyní jsem udělal první část a dostal správnou odpověď. Zde je to, co jsem udělal.

Předpokládejme, že hmotnost rotující částice je $ M $, její rychlost je $ v $ a $ M = 208 m_ {e} $. Elektrostatická síla je dostředivá síla .

$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$

Z Bohrova modelu

$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$

kde $ h $ je Planckova konstanta. Proto

$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$

Squaring it,

$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$

Rovnění dvou rovnic, které mají $ v ^ 2 $ ,

$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$

Po vyřešení za $ r $ dostaneme něco takového,

$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$

Všechno výše uvedené je správné. Problém je ve druhé a třetí části; když vložím $ r = \ pu {0,53 * 10 ^ {- 10} m} $, nedostanu požadovanou odpověď. Ke třetí části jsem začal standardní Rydbergovou rovnicí,

$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$

Zapojil jsem každou hodnotu, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; ale odpověď znovu nebyla správná.

Odpověď na druhou část je 25 $ (n = 25) $; a na třetí je 55,2 pikometrů.

Odpověď

Odpověď na druhou část:

Známe $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .

První část má chybu, jaká je

$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implikuje & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$

Známe také Bohrův poloměr:

$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ cca 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$

Proto můžeme psát a rušit:

$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ proto & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ proto & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ cca25 \ end {align} $$

Třetí část:

Rydbergův vzorec je uveden jako

$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$

s Rydberg $ \ mathcal {R} $ konstanta definovaná pro foton emitovaný elektronem. Předpokládáme, že hmotnost jádra je 7 atomových jednotek (tři protony + čtyři neutrony). Vezmeme-li v úvahu, že $ m_p \ cca 1836m_e $ , přijdeme na

$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$

Nyní je třeba upravit Rydbergovu konstantu tak, aby zahrnovala hmotnost částice:

$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$

S $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1,097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), dostal jsem se $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .

Bez zohlednění redukované hmotnosti, tj. $ \ mathcal {R} \ cca \ mathcal {R} _ \ infty $ jsem dorazil na $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54.8 ~ \ mathrm {pm} $ .

Obě hodnoty jsou přiměřeně blízké danému řešení.

(Pokud se otázka skutečně týkala mionu, je přesnější hmotnostní poměr 206,77 a odpovídající vlnové délky 55,1 pm a 56,0 pm.)

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *