Chcete-li začít s domácím problémem, je to zdlouhavé.
Částice o hmotnosti rovnající se 208násobku hmotnosti elektronu se pohybuje po kruhové dráze kolem jádra náboje $ + 3e $. Za předpokladu, že pro tento systém je použit Bohrův model atomu,
- Odvozte výraz pro poloměr Bohrovy dráhy $ n $ th.
- Najděte hodnotu $ n $ pro které se poloměr rovná poloměrům první oběžné dráhy vodíku.
- Najděte vlnovou délku záření emitovaného při otáčení skoků částic ze třetí oběžné dráhy na první.
Nyní jsem udělal první část a dostal správnou odpověď. Zde je to, co jsem udělal.
Předpokládejme, že hmotnost rotující částice je $ M $, její rychlost je $ v $ a $ M = 208 m_ {e} $. Elektrostatická síla je dostředivá síla .
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
Z Bohrova modelu
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
kde $ h $ je Planckova konstanta. Proto
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
Squaring it,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
Rovnění dvou rovnic, které mají $ v ^ 2 $ ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
Po vyřešení za $ r $ dostaneme něco takového,
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
Všechno výše uvedené je správné. Problém je ve druhé a třetí části; když vložím $ r = \ pu {0,53 * 10 ^ {- 10} m} $, nedostanu požadovanou odpověď. Ke třetí části jsem začal standardní Rydbergovou rovnicí,
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
Zapojil jsem každou hodnotu, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; ale odpověď znovu nebyla správná.
Odpověď na druhou část je 25 $ (n = 25) $; a na třetí je 55,2 pikometrů.
Odpověď
Odpověď na druhou část:
Známe $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
První část má chybu, jaká je
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implikuje & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
Známe také Bohrův poloměr:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ cca 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Proto můžeme psát a rušit:
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ proto & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ proto & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ cca25 \ end {align} $$
Třetí část:
Rydbergův vzorec je uveden jako
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$
s Rydberg $ \ mathcal {R} $ konstanta definovaná pro foton emitovaný elektronem. Předpokládáme, že hmotnost jádra je 7 atomových jednotek (tři protony + čtyři neutrony). Vezmeme-li v úvahu, že $ m_p \ cca 1836m_e $ , přijdeme na
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Nyní je třeba upravit Rydbergovu konstantu tak, aby zahrnovala hmotnost částice:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
S $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1,097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), dostal jsem se $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .
Bez zohlednění redukované hmotnosti, tj. $ \ mathcal {R} \ cca \ mathcal {R} _ \ infty $ jsem dorazil na $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54.8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Obě hodnoty jsou přiměřeně blízké danému řešení.
(Pokud se otázka skutečně týkala mionu, je přesnější hmotnostní poměr 206,77 a odpovídající vlnové délky 55,1 pm a 56,0 pm.)