Odvození snížené hmotnosti [duplikát]

Systém dvou těles lze analyzovat jednodušeji pomocí snížené hmotnosti, protože problém se v zásadě redukuje na jedno tělo. První aproximaci lze získat za předpokladu, že m1 >> m2, například planeta obíhající kolem hvězdy, protože těžiště se shoduje s m1. Lze tedy předpokládat, že těžké tělo je v klidu a lehčí se kolem něj pohybuje.

Odvození: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {je hmota a poloha masivního těla a} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {ta světlejší.} $$

$$ \ text {Předpokládá se}} \, m_1 > > m_2 \, \ text {Síla mezi hmotami (gravitace) závisí na rozdílu vektorů pozic}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {where}: $$

$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {je síla na tělo 1 kvůli tělu 2} $$ V naší aproximaci předpokládáme, že těžká hmotnost je na odpočinek v místě původu. Tak: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ A pohybová rovnice bude: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ , které lze vyřešit pro získání polohy.

Chcete-li získat „skutečný“ pohyb, ukázalo se, že naši aproximaci lze provést přesnou s ohledem na těžiště (CM). (což je hmota vážený průměr pozic dvou hmot v tomto případě) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {Budeme množství hovoru} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {redukovaná hmotnost} $$ $$ \ text {Proto}: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ Lze snadno ukázat, že čistá vnější síla v systému se rovná celková hmotnost krát zrychlení těžiště. Pokud nejste přesvědčeni, napsal jsem před takovým odvozením v tomto POST

Protože se předpokládá, že neexistují žádné vnější síly (síla gravitace mezi hmotami „se počítá“ jako vnitřní), těžiště se pohybuje konstantní rychlostí. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ implikuje \ frac {d \ vec r} {dt} = konst. $$ Nechme CM brát jako počátek inerciálního souřadnicového systému. Pozice obou hmot je tedy dána vztahem: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ implikuje \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ implikuje \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {since}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ text {dostaneme:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ implies \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ implikuje \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Proto jsou pohybové rovnice}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ Z to je naše rovnice získaná dříve v naší aproximaci se sníženou hmotností. Všimněte si, že pokud je zmenšená hmotnost m1 >> m2 téměř stejná jako m2.

Toto se pohyb dvou systémů těla skládá z jeho CM a pohybu kolem něj. Pohyb kolem něj lze popsat pomocí jediné redukované hmoty pohybující se kolem pevného středu.