Mám spojitý paprsek přes středový sloup (nejsem si jistý, jestli ho nakreslím správně nebo ne)
Posuvný a silový diagram je zobrazen takto:
První diagram je ohybový moment, druhý axiální síla, třetí posunutí.
Nyní, jaká je okrajová podmínka na $ R_A $, $ R_B $ a $ R_C $?
Z toho, co mohu odvodit, se zdá být
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (odpovídá výchylce na třech podpěrách)
$ M (0) = M (2L) = 0 $ nebo $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (odpovídá momentu).
Mám ale podezření, že mi stále chybí nějaké okrajové podmínky, abych odvodit kompletní diagram posunutí / síly pro pokračování paprsek. Existují nějaké okrajové podmínky, které mi chyběly?
Odpovědět
Chybí vám kompatibilita svahů na střední podpoře :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
V případě symetrická geometrie & zatížení, sklon paprsku ve střední podpoře bude nulový.
Protože ohybový moment nemá v x = L derivaci, budete je třeba odvodit odchylky obou polovin zvlášť a spojit je s kompatibilitou.
Aktualizace: odvození vzorce vychýlení paprsku:
Počínaje Euler-Bernoulliho rovnicí paprsku (za předpokladu konstantní EI) a převzetím x z vnějšího podporuje směrem ke středu: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Integrace čtyřikrát:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
Všimněte si, že problém je symetrický, okrajové podmínky jsou: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Proto můžeme okamžitě vidět, že: $ B = D = 0 $
Nyní máme dvě rovnice se dvěma neznámými (A, C). Řešení najdeme: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Nyní můžeme nahradit všechny konstanty zpět do rovnice pro w. Zjednodušení výsledků v:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Což je shodné s odkazovaným výsledkem zde (všimněte si, že jejich souřadný systém má ve středu x = 0). Všimněte si také, jak se jedná o přesně stejný výsledek jako konzolový konzola . Je to způsobeno symetrií, což znamená, že sklon paprsku ve středu je nulový (což je stejná okrajová podmínka jako u konzolové podpory).
Můžete také dosadit do rovnice ohybového momentu:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
Komentáře
- a) kompatibilita podmínek sklonu je užitečná, pouze pokud lze modelovat spojitý nosník jako dva nosníky. Jak je v tomto případě užitečné? b) Proč říkáte, že ohybový moment je diskontinuální na $ L $? momentový diagram v mé otázce jasně ukazuje, že je spojitý.
- Bylo by vděčné, kdybyste to mohli trochu rozvinout a kdybyste ukázali, jak mohou vaše okrajové podmínky vést k diagramu momentu posunutí / ohybu pro spojitý paprsek .
- @Graviton, a) aktualizuji otázku odvozením. b) máte pravdu, s mojí matematickou terminologií jsem byl trochu uvolněný. Myslím tím, že ohybový moment nemá derivaci na x = L.