V pravidelném pentagramu (pěticípá hvězda) je úhel v každém bodě 36 stupňů, takže úhly ve všech pěti bodech součet na 180 stupňů:
A co nepravidelný pentagram, například následující?
Nyní se úhly mohou navzájem lišit; situace je mnohem komplikovanější. Dokážete dokázat, že úhly ve všech pěti bodech stále dosahují 180 stupňů?
Omezení (aby bylo jasné, že se nejedná ani o matematický problém [na rozdíl od matematické skládačky] ani o cvičení ve výpočtu nebo pokročilé euklidovské geometrii):
- nejsou povoleny žádné aritmetické operace (sčítání, násobení, …)
- můžete na hvězdu nakreslit jeden nový úsečkový segment, ale ne více než
Komentáře
- Omlouvám se, ale myslím, že toto je jen další matematický problém … (“ dokázat „, “ úhly „, “ součet „, “ 180 stupňů „)
- @MarkN Podle kanonický meta příspěvek k tomu je znakem matematické hádanky na rozdíl od problému hav ea chytré nebo elegantní řešení, často “ aha “ moment , neočekávané prohlášení o problému nebo neočekávaný nebo neintuitivní výsledek . Řešení, které mám na mysli, má určitě první z těchto funkcí a IMO také poslední dvě.
- Toto není ‚ ta matematická hádanka – je ‚ sa logická hádanka. Tuto logiku se obvykle naučíte od někoho, kdo také vyučuje matematiku.
Odpovědět
$ \ hskip 1,5in $ 
zasněné?
Toto je obrázek šipky zametající každý z následujících úhlů v hvězda. Všimněte si, že poté, co sleduje všechny úhly $ 5 $, je jeho orientace obrácená – to znamená, že otočil $ 180 ^ {\ circ} $ a že to musí být součet úhlů. Můžeme udělat totéž s hvězdou na tvé postavě, ergo, její úhly jsou také součet $ 180 ^ {\ circ} $.
A Zevšeobecnění:
Totéž můžeme udělat s podobnou postavou, jejíž úhly činí $ 180 ^ {\ circ} $: $ \ hskip 1,5 v $ 
Můžeme to udělat také jako trojúhelník. Důležitá vlastnost je tato:
Kužele smetenému paprskem procházejícím paprskem nesmí být žádné vrcholy hvězd vnitřku . daný úhel.
Splnění této podmínky – která v zásadě říká, že nikdy nemusíme vrcholy „ignorovat“, ale pouze otočit šipku a zjistit, co to je zásahy – zjistíme, že můžeme uspořádat vrcholy způsobem „ve směru hodinových ručiček“, takže v každém úhlu buď hlava nebo ocas šipky postupují k dalšímu vrcholu v pořadí (a které alternují). Je zřejmé, že jak hlava, tak ocas provedou úplnou revoluci, když bude vysledováno dvakrát tolik úhlů než vrcholy, což povede k požadovanému výsledku.
(Jeden může také vyjádřit můj stav jako „přiřazení vrcholů číslům $ 1 $ přes $ 2n + 1 $ ve směru hodinových ručiček, jak je vidět z centrálního bodu, musí to být tak, že $ 1 $ se připojuje k $ n $ a $ n + 1 $ a všechny ostatní body jsou připojeny analogicky „)
Komentáře
- (Kvůli tomu, co má ‚ hodnotu, se mi tato hádanka opravdu líbila, i když moje odpověď není zamýšlený – měl jsem dobrý, “ No, ‚ s zřejmý “ okamžik, po kterém následovalo několik hodin intenzivního škrábání hlavy, zkoušení, proč je to zřejmé, následované “ Aha! To to bylo zřejmé! „)
- Beru to tak, že váš komentář je odkazem na tento vtip ? =)
- Přijato, protože ‚ je ještě hezčí než odpověď, kterou jsem také hledal, a zahrnuje také zobecnění.
Odpověď
Umístěte tužku na řádek 1.
Otočte tužku tak, aby byla v jedné linii s řádkem 2. Právě jste ji otočili proti směru hodinových ručiček o úhel v horní části pentagramu.
Nyní ji znovu otočte proti směru hodinových ručiček na čáru 3. Potom znovu na řádek 4, poté na 5 a nakonec zpět na 1. Právě jste postupně otáčeli tužkou všemi pěti úhly pentagramu.
A co se stalo? Tužka nyní leží na stejné linii, na které začala, a ukazuje opačným směrem.Pokud sledujete, kterým směrem tužka ukazuje v každém kroku, můžete vidět, že jste ji celkem otočili proti směru hodinových ručiček o jednu polovinu otáčky. Odtud 180 $ ^ \ circ $.
Komentáře
- Bude to krásný důkaz, pokud jej vyladíte, abyste vyloučili možnost, že jste otočili tužkou přes nějaký další lichý násobek $ 180 ^ \ circ $. S tímto heptagramem tužka končí také opačným směrem, ale otočila se o $ 540 ^ \ circ $
- Existuje nepřetržitá deformace z referenční pentagram k jakémukoli deformovanému pentagramu. Rotace tedy nemůže přeskakovat z jednoho násobku 180∘ na jiný.
- V zásadě jakýkoli $ \ {m: n \} $ – gram, kde $ n < \ frac m 2 $ se otáčí $ 360 \ krát (\ frac m 2 – n) $ stupňů.
- Pěkné vysvětlení Lopsy … jednoduché, čisté 🙂 Chtěl jsem říci, vzít 4 úhly a vizuálně začněte je snižovat na 0 .. přemýšlejte o tom, jak vypadá hvězda, když se to stane … pátý úhel se neustále přizpůsobuje … dokud 4 úhly nejsou 0 a pátý je 180 (tj. přímka) ..: ) Ale líbí se mi Lopsy ‚ s lepší vysvětlení ..;)
- Krása této odpovědi spočívá v tom, že ‚ t číst jako matematický důkaz. Každý to pochopí.
Odpovědět
Zde je další důkaz.
Štítek body, jak je znázorněno, a nakreslete liniový segment CD. Pomocí A, B atd. označte úhly, od kterých se požaduje, abychom našli součet.
Nyní
$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ (úhly v trojúhelníku)
Stačí tedy dokázat, že
$ \ angle ADC + \ angle DCA = B + C + D + E $
Nyní
$ \ angle ADC = D + \ angle BDC $ a $ \ angle DCA = C + \ angle ECD $
Takže stačí prokázat, že
$ \ angle BDC + \ angle E CD = B + E $
což je zjevně pravda, protože
LHS je doplněk $ \ angle DFC $ a RHS je doplněk $ \ angle EFB $ , kde $ \ angle DFC $ a $ \ angle EFB $ jsou stejné, protože svisle naproti .
Komentáře
- Toto je odpověď, kterou jsem hledal.
- Takže do značné míry můžete toto řešení destilovat na 2 pravidla: úhly v trojúhelnících = 180 a protilehlé úhly 2 protínajících se čar jsou stejné.
- @randal ‚ thor Toto řešení zahrnuje také sčítání, takže by nebylo v souladu s vašimi omezeními, nebo byste měli změnit svá omezení.
- Ano, chtěl jsem říct, že to není jako -the-, ale jeden z nejvíce matematických -ish odpovědi zde. Absence aritmetiky neznamená, že to není ‚ t matematika …
odpověď
Součet vnitřních úhlů pětiúhelníku je vždy 540 °.
Úhel každého vnějšího bodu je vždy součtem dvou sousedních vnitřních úhlů – 180 °. Můžeme to říci, protože vzhledem k vnitřním úhlům A a B jsou úhly trojúhelníku 180 – A, 180 – B, X. Podle definice úhlů trojúhelníku se X rovná $ 180 – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.
Každý vnitřní úhel pětiúhelníku je použit dvakrát a má 5 bodů, takže $ (2 \ krát 540) – (5 \ krát 180) = 180 ° $
Komentáře
- Věřím, že toto je geometrie stupně 9, která vyvrcholí …
- To je složitější než důkaz, na který jsem myslel. Můžu otázku upravit, abych trochu omezil možné důkazy, ale ‚ vám přesto dám +1. Mohl bys ospravedlnit svou druhou větu? Také nerozumím, co říká třetí věta.
- Necháme-li A a B dva sousední vnitřní úhly pětiúhelníku, pak úhel bod v trojúhelníku je 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
- +1 Pěkný důkaz, ale bylo by skvělé, kdybyste mohli použít obrázek nebo 2, nebo dokonce i gif!
- Myslím si, že ‚ je možné tento důkaz zobecnit a ukázat, že úhly v bodech any n -gramový součet na $ 180 ^ \ circ $ za předpokladu, že tvar spojuje každý bod se dvěma sousedními body na n -gonu.(Všimněte si, že unicursální hexagram nesplňuje ‚ kritérium připojení; ani hexagram vytvořený ze dvou trojúhelníků; a pouze jeden ze dvou unicursálních heptagramů ano.)
Odpověď
Tady je další čistý důkaz, tentokrát indukcí. Pentagram můžeme vytvořit začátkem běžného a postupné posouvání čtyř bodů. Stačí tedy dokázat, že
posunutí bodu v pentagramu nezmění součet úhlů na points
Nechť „s
přesunout bod A do A“ a zavolat jak úhel v A, tak úhel v A „horní úhel
Získáme toto:
Postačuje to dokázat
změna horního úhlu a změny úhlu es na C a D součet na nulu.
Na tomto novém diagramu
zobrazujeme
změna horního úhlu jako $ xw $ a změny na D a C jako $ -y $ a $ z $,
a musíme dokázat, že
$ xw-y + z = 0 $, nebo jinými slovy, že $ x + z = w + y $,
což je zjevné jako dříve, protože
LHS a RHS jsou doplňky vertikálně protilehlých úhlů v G.
odpověď
Jiný přístup:
Počínaje běžnou hvězdou víme, že $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Nyní nakreslíme úsečku, jak je znázorněno na obrázku.
Všimněte si, že $ B, D, E $ zůstanou nezměněny! Z našich pozorování vidíme, že $ Y = C – X $ a $ Z = A + X $.
Tedy součet bodů naší nové hvězdy $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.
Takže můžeme pokračovat v kreslení segmentů a vytváření nových hvězd (a měnit měřítko) jim), dokud nedosáhneme požadovaného tvaru.
Komentáře
- Pěkné, ale můžete přidat něco, aby bylo intuitivnější, že můžete vytvořit obecný nepravidelný pentagram posloupností tahů jednoho bodu podél jedné z linek tímto bodem a změnami měřítka.
- Mohl bych zkusit, kdyby neublížila jen geometrie ‚ můj mozek tolik D:
odpověď
Je nevyhnutelné, že někteří aritmetika musí být provedena – koneckonců zamýšlený závěr je kvantitativní – výzva by tedy neměla být t o skryjte aritmetiku, ani ji nenazývejte jiným jménem, ale aby to bylo zřejmé a jednoduché. Následující argument redukuje aritmetiku na pozorování, že pět je jedna více než čtyři (a že celek je dvakrát polovina, což se mimochodem používá).
Hvězda se točí kolem jejího středu dvakrát, a proto každý, kdo ji proletí, bude muset otočit dva plné kruhy (čtyři půlkruhy). Veškeré otáčení probíhá pouze na vrcholech, kde maximální částkou je úplná plocha jedné poloviny kruhu. Pro pět vrcholů, což by bylo pět půlkruhů nebo jeden více půlkruhu, než je ve skutečnosti otočeno: 180 stupňů. Nedostatek mezi tímto maximem a množstvím otáčení, kterého se skutečně dosáhne, je přesně součet vnitřních úhlů, QED.
Tento přístup je v moderní matematice (tj. Po 18. století). Zobecňuje na libovolné postavy libovolných rozměrů nakreslené v jiných obrázcích, které samy o sobě mohou být zakřiveny. Je známá jako věta Gauss-Bonnet .
Odpověď
Existuje kruhová věta, která uvádí: „Míra vepsaného úhlu je polovinou míry oblouku, který zachycuje.“ To znamená, že pro úhel x bude oblouk, který zachytí, 2x . 
Pokud vepsáte hvězdu do kruhu, získáte toto:
Označením předchozího výkresu získáte toto;
S touto větou víme, že úhel ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, a ∠ 5 = b / 2. Pokud to rozdělíme, dostaneme ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . Kromě toho, protože míry všech oblouků v kruhu přidávají až 360, víme, že a + b + c + d + e = 360 . Nakonec pomocí vlastnosti substituce získáme ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 nebo ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . Součet všech úhlů je tedy 180.
Komentáře
- Ve vašem argumentu je ‚ jedna chyba: ne každý pentagram může být zapsán do kruh.
- @ThomasKwa Můžete mi uvést příklad?
- @ user1812 jednoduše přesuňte libovolný bod na svém příkladu do kruhu nebo z kruhu. Definování kruhu vyžaduje pouze tři body a pentagram má pět.
Odpověď
Tento důkaz v smysl není nic jiného než počítání stupně úhlů.
Připomeňme, že pětiúhelník, ať už pravidelný nebo nepravidelný, má své vnitřní úhly celkem 540. Také úhly průsečíku 2 přímek se sečtou k 360, kde jsou také protilehlé úhly shodné.
Uvažujme o 5 bodech středního pětiúhelníku, bodech, kde dochází k průsečíku 2 přímek. Kolem těchto 5 bodů je 360 x 5 = 1800 stupňů celkem a 5 x 4 = 20 úhlů, které se mají počítat.
Z 20 úhlů je 5 z pětiúhelníku, dalších 5 odpovídá těm. To tedy představuje 540 + 540 = 1080 stupňů. Zbytky 1800 – 1080 = 720 stupňů pocházejí zevnitř 5 trojúhelníků.
5 trojúhelníků obsahuje vnitřní úhly 5 x 180 = 900 stupňů. 720 z těchto stupňů je v rozích pětiúhelníku / trojúhelníku / křižovatky.
Toto ponechává na špičkách hvězdy 900 – 720 = 180 stupňů.
Upravit: Aritmetika je zde jednoduše zkratkou pro úhel sčítání a odčítání, stejně jako v jiných odpovědích.
Odpověď
Centrální Pentagon jako A, B, C, D , E obsahuje 540 STUPŇŮ
Součet 5 PÁRŮ doplňkových úhlů, tj. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Těchto 720 stupňů představuje „základnu“ úhly 5 trojúhelníků Celkem 5 * 180 = 900 900-720 = 180 (hledaných 5 úhlů.
Pět trojúhelníků v bodech je 5 * 180 = 900
Komentáře
- Otázka konkrétně požaduje, aby se to dokázalo bez použití aritmetických operací.