Blochova sféra je nádherně minimalistická.

Kvbit má obvykle čtyři skutečné parametry; $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle. $ Některé rychlé informace však ukazují, že $ a $ -vs- $ b $ kompromis má díky normalizaci $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ a některé pečlivější poznatky ukazují, že při konstrukci hodnot očekávání v QM nemůžete pozorovat $ \ chi $ nebo $ \ phi $ samotné, ale pouze rozdíl $ \ chi – \ phi $ , což je $ 2 \ pi $ – periodické. (To je dále popsáno v komentářích níže, ale stručně: QM předpovídá pouze průměry $ \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle $ a posun celkové fáze vlnové funkce některým $ | \ psi \ rangle \ mapsto e ^ {i \ theta} | \ psi \ rangle $ se proto v každé předpovědi ruší.)

Takže pokud si nej abstraktněji myslíte, co potřebujete, stačí nakreslit čáru od 0 do 1 představující $ a $ -vs – $ b $ kompromis: kolik je to v jednom z těchto dvou států? Potom kolem něj nakreslete kruhy: kolik je fázový rozdíl? To, co brání tomu, aby to byl válec, je to, že na fázovém rozdílu přestane záležet, když $ a = 1 $ nebo $ b = 1 $ , proto se kruhy musí zmenšit na body. Et voila , máte něco, co je topologicky ekvivalentní sféře. Koule obsahuje všechny informace, které potřebujete pro experimenty, a nic jiného.

Je to také fyzické, skutečná koule ve 3D prostoru.

To je šokující fakt. Vzhledem k jednoduchému obrázku výše vám mohlo být odpuštěno, když si myslíte, že to byla všechno neškodná matematika: ne! Ve skutečnosti je kvintesenční qubit systém spin- $ \ frac 12 $ , přičemž Pauliho matice označují způsob, jakým se systém točí kolem $ x $ , $ y $ nebo $ z $ osy. Toto je systém, kde identifikujeme $ | 0 \ rangle $ s $ | \ uparrow \ rangle $ , $ | 1 \ rangle $ s $ | \ downarrow \ rangle $ a fázový rozdíl přichází výběr osy $ + x $ prostřednictvím $ | {+ x} \ rangle = \ sqrt {\ frac 12} | 0 \ rangle + \ sqrt {\ frac 12} | 1 \ rangle. $

Ortogonální směry prostoru nejsou v léčbě QM Hilbert-ortogonální, protože tak to fyzika prostě není tohoto systému funguje. Hilbertovy ortogonální stavy jsou nepřiměřené: pokud jste v tomto stavu, rozhodně v něm nejste.Ale tento systém má rotaci s definitivní celkovou velikostí $ \ sqrt {\ langle L ^ 2 \ rangle} = \ sqrt {3/4} \ hbar $ , ale pouze $ \ hbar / 2 $ z toho ukazuje ve směru, který je „nejvíce nasměrovaný,“ což znamená, že musí být distribuován na nějakém „prstenu“ kolem toho směru. Podle toho, když změříte, že je ve $ + z $ -direction, ukáže se, že je to také poloviční část v $ + x $ , polovina ve směru $ – x $ . (Tady „třídění“ znamená: to je, pokud sledujete měření $ x $ .)

Pojďme se tedy zeptat “ jakým směrem se nejvíce točí rotace – $ \ frac12 $ ? “ To vyžaduje konstrukci pozorovatelného. Uvedeme příklad, pokud je směr $ + z $ nejvíce roztočen stavem $ | \ uparrow \ rangle $ pak pozorovatelný pro $ z $ -spin je Pauliho matice $ \ sigma_z = | \ uparrow \ rangle \ langle \ uparrow | – | \ downarrow \ rangle \ langle \ downarrow |, $ $ + 1 $ v tomto stavu, $ -1 $ v Hilbertově-kolmém stavu $ \ langle \ downarrow | \ uparrow \ rangle = 0. $ Podobně se podíváte na $ \ sigma_x = | \ uparrow \ rangle \ langle \ downarrow | + | \ downarrow \ rangle \ langle \ uparrow | $ uvidíte, že výše definovaný stav $ | {+ x} \ rangle $ je vlastní vektor s vlastním číslem +1 a podobně by měl být $ | {-x} \ rangle \ propto | \ uparrow \ rangle – | \ downarrow \ rangle $ vyhovující $ \ langle {+ x} | {-x} \ rangle = 0, $ a můžete obnovit $ \ sigma_x = | {+ x} \ rangle \ langle {+ x} | – | {-x} \ rangle \ langle {-x} |. $

Poté bude stát kolmý na $ | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle $ je $ | \ bar \ psi \ rangle = \ beta ^ * | 0 \ rangle – \ alpha ^ * | 1 \ rangle, $ , takže pozorovatelnost, která je v tomto stavu +1 nebo -1 v opačném stavu, je: $$ \ begin {align} | \ psi \ rangle \ langle \ psi | – | \ bar \ psi \ rangle \ langle \ bar \ psi | & = \ begin {bmatrix} \ alpha \\\ beta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha ^ * & \ beta ^ * \ end {bmatrix} – \ begin {bmatrix} \ beta ^ * \\ – \ alpha ^ * \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ beta & – \ alpha \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2 & 2 \ alpha \ beta ^ * \\ 2 \ alpha ^ * \ beta & | \ beta | ^ 2 – | \ alpha | ^ 2 \ end {bmatrix} \ end {align} $$ Psaní jako $ v_i \ sigma_i $ , kde $ \ sigma_i $ jsou Pauliho matice, které získáváme: $$ v_z = | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2, \\ v_x + i v_y = 2 \ alpha ^ * \ beta. $$ Nyní necháme $ \ alpha = \ cos (\ theta / 2) $ a $ \ beta = \ sin (\ theta / 2) e ^ {i \ phi} $ zjistíme, že se jedná o: $$ \ begin {align} v_z & = \ cos ^ 2 (\ theta / 2 ) – \ sin ^ 2 (\ theta / 2) & = & ~ \ cos \ theta, \\ v_x & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ cos (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, \\ v_y & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ sin (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi. \ end {align} $$ Takže předpis Bloch používá $ (\ theta, \ phi) $ , což jsou jednoduše sférické souřadnice bodu na koule, kterou takový $ | \ psi \ rangle $ „nejvíce točí ve směru.“

Takže místo čistě teoretické vizualizace, můžeme říci, že spin- $ \ frac 12 $ systém, prototypový qubit, se ve skutečnosti točí ve směru daném souřadnicemi Blochovy koule! (Alespoň pokud se roztočí roztočený systém.) Je bezohledně fyzický : chcete ho vlnit do matematického koutku a říká: „Ne, pro skutečné systémy jsem ukázal tímto směrem ve skutečném 3D prostoru a musíte mi věnovat pozornost. “

Jak ti odpovídají na vaše otázky.

1. Ano, N a S jsou prostorově paralelní, ale v Hilbertově prostoru jsou ortogonální. Tato Hilbertova ortogonalita znamená, že systém nemůže být roztočením i roztočením.Naopak nedostatek Hilbertovy ortogonality mezi řekněme směry $ z $ a $ x $ znamená, že i když změříte $ z $ -spin, stále můžete mít nenulová měření rotace v $ x $ -direction, což je klíčová vlastnost těchto systémů. Je skutečně trochu matoucí mít dva různé pojmy „ortogonální“, jeden pro fyzický prostor a druhý pro Hilbertův prostor, ale vychází to ze dvou různých prostorů, na které se díváte.

2. Jeden způsob, jak zjistit, proč jsou úhly fyzicky velmi užitečné, je uveden výše. Ale jak již bylo zmíněno v první části, můžete to také považovat za čistě matematické cvičení pokusu popsat konfigurační prostor pomocí koule: pak máte přirozeně polární úhel jako fázový rozdíl, což je $ 2 \ pi $ -periodické, takže se jedná o přirozeně azimutální souřadnici; způsob, jakým souřadnice leží podél 0/1, by měl být „polární“ souřadnice s mapováním $ 0 $ na $ | 0 \ rangle $ a $ \ pi $ mapování na $ | 1 \ rangle $ . Zjevný způsob, jak toho dosáhnout, je mapování $ \ cos (\ theta / 2) $ od 1 do 0 v tomto rozsahu, jako amplituda pro $ | 0 \ rangle $ stát; skutečnost, že $ \ cos ^ 2 + \ sin ^ 2 = 1 $ znamená, že $ | 1 \ rangle $ stát musí vyzvednout $ \ sin (\ theta / 2) $ amplitudu, aby se mu vyrovnal.

Komentáře

• Mám podobný zmatek ohledně Blochovy sféry jako OP. Mohli byste trochu vysvětlit, co máte na mysli pod pojmem “ a některé pečlivější vhledy ukazují, že ve způsobu, jakým konstruujeme hodnoty očekávání v QM, nemůžete pozorovat $ \ chi $ a $ \ phi $ sami, ale pouze rozdíl $ \ chi – \ phi $, což je $ 2 \ pi $ -periodic „?
• @Moses: jistě. všechny předpovědi QM jsou očekávané hodnoty ve tvaru $ \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle. $ Vypočítejte to pro $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle $ s $ A_ {ij} = \ langle i | \ hat A | j \ rangle $ (takže $ A_ {ij} = A_ {ji} ^ * $) pro vyhledání $ \ langle A \ rangle = a ^ 2A_ {00} + b ^ 2A_ {11} + 2ab ~ \ text {Re} \ Big (A_ {10} e ^ {i (\ chi- \ phi)} \ Big). $ Ne očekávaná hodnota tedy odhaluje cokoli o $ \ phi $ nebo $ \ chi $ samotném, ale pouze potenciálně $ \ delta = \ phi- \ chi $ prostřednictvím tohoto $ e ^ {i \ delta} $ výrazu, který je zjevně $ 2 \ pi $ – periodicky v $ x $.
• Obecněji je globální fáze vlnové funkce nepozorovatelná; tyto závorky uvádějí, že očekávání ve stavu $ | \ psi ‚ \ rangle = e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle $ musí být $$ \ langle A \ rangle_ {\ psi ‚} = \ langle \ psi | e ^ {- i \ varphi} \ hat A e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle = e ^ {- i \ varphi} e ^ {i \ varphi} \ cdot \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle = 1 \ cdot \ langle A \ rangle _ {\ psi}. $$
• Může to OP pomoci internalizovat přirozenost $ \ frac {\ theta} {2} $ poukázat na to, že to odpovídá skutečnosti, že máme co do činění s spinem – $ \ frac {1} {2} $ částice. Poloviční rotace vede k tomu, že generátory rotace nebudou $ \ sigma $, ale spíše $ \ frac {\ sigma} {2} $ (aby vlastní hodnota byla $ \ pm \ frac {\ hbar} {2} $). Transformace, která působí na stav pro fyzickou rotaci $ \ theta $, se tedy stává $ e ^ {- i \ hbar \ frac {\ theta} {2} \ sigma} $ – což vede k rotaci $ \ frac {\ theta} {2} $ pro stát.
• Proč potřebujeme 3D kouli a ne jen kruh v rovině? Představíme-li si qubit jako 2 možné hodnoty rotace atomu nebo jeho superpozice … Jak ‚ fyzikální význam azimutálního úhlu ϕ?

Body na povrchu jednotkové koule můžete přiřadit k jednoduchým stavům rotace následujícím jednoduchým způsobem.

Bod koule $ (n_x, n_y, n_z) $ je spojen s vlastním vektorem operátoru $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ s kladnou vlastní hodnotou a naopak. To zahrnuje všechny stavy rotace 1/2 jedné částice.

A nejde o náhodné ani o vizualizaci nebo matematiku. Pokud máte zařízení Stern-Gerlach s nehomogenitou magnetického pole směřující ve směru $ (n_x, n_y, n_z) $, bude důsledně odklánět paprsek v určitém směru, pokud má tento stav vlastní vlastní $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Není to však příliš matoucí? Pokud je zvolen severní a jižní pól, pak jsou oba státy na stejném řádku a už ne ortogonální,

Není to ani v nejmenším matoucí. Geometrie souvisí s orientací fyzického zařízení v laboratoři, ke kterému váš stav poskytuje spolehlivé výsledky.Opačné zařízení poskytuje také spolehlivé výsledky. To je obvyklé pro ortogonální stavy, že teonorthgonální stavy mohou být vlastní stejnému operátorovi.

Takže různé body Blochovy sféry identifikují různé orientace, které dávají „nahoru“ výsledek pro různé stavy. Nezaměňujte orientaci měřicího zařízení ve 3D prostoru s geometrií stavů ve spinovém prostoru.

tak, jak lze zvolit libovolný bod $ p $ na povrchu koule a případně ji rozložit na stavy $ 0,1 $ za účelem nalezení $ a $ a $ b $?

Je to naopak. Jak jste se rozhodli volat nějaký stav 0 a jiný 1? Vybrali jste náhodnou orientaci a nazvali ji z a orientovali jste zařízení tak, aby bod nehomogenity magnetického pole směřoval tímto způsobem. To vám dalo nahoru a dolů.

Nyní však můžeme určit libovolný stav rotace. Stejně tak máte libovolný bod $ (n_x, n_y, n_z) $ a potom najděte vlastní vektor $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ S kladnou hodnotou vlastního čísla. Říkejte tomu $ \ left | s \ right \ rangle, $ then $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$, takže jsou vaše $ a $ a $ b $ kromě toho, že neznáte celkovou fázi a velikost, ale stav otáčení jedné částice nemá jeden z těchto .

Znamená to, že bychom neměli považovat Blochovu sféru za platný základ pro náš systém a že je to jen vizualizační pomůcka?

Ne, znamená to, že byste neměli zaměňovat geometrii v laboratoři s geometrií Hilbertova prostoru. Fyzika je experimentální věda, takže jsou rozhodně související, ale nejsou stejné.

Pokud chcete promítnout vektor do vlastních prostorů, nepromítnete štítky na sebe. Můžete mít stav odstřeďování a další stav odstřeďování, a když dáte jedno zařízení Stern-Gerlach orientované na druhé, pak se prostorové stupně volnosti rozdělí a oddělí do jednoho, který je v tomto směru nahoru a jednoho, který je z tohoto prostoru prostorově dolů. směr a stav otáčení se doslova mění tak, aby směřoval nahoru v paprsku, který prostorově stoupal, a směřoval dolů v paprsku, který šel dolů. Takže rotace jedné částice se zamotala do své vlastní polohy.

Velikost Hilbertovy projekce vám řekne velikost prostorových částí, které se vychýlily a rozdělily. Ale také doslova nepotřebujete pamatovat si taková pravidla. Pokud zapíšete Schrödingerovu rovnici pro zařízení Stern-Gerlach, paprsek se rozdělí a rozdělí na části správné velikosti a rotace se vyrovnají do dvou polarizací a stane se, aniž byste mu to řekli.

Takže pak je stav odstředění jasný. Říká vám směr, kterým se spolehlivě vydá, pokud mu dáte šanci. A pokud to dáte do odlišně orientovaného Stern-Gerlachu, bude nucen jít jedním ze dvou směrů povolených touto orientací a rozdělí se a půjde oběma. Chcete-li získat velikosti každé části, můžete vyvinout Schrödingerovu rovnici nebo vypočítat vlastní vektory operátoru $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ a tečkovat jej vlastním vektorem kladného vlastního čísla kolmého na druhý vektor.

A ano, existují jednodušší způsoby, jak toho dosáhnout, a více se z toho můžete dostat. Ale doufejme, že uvidíš další geometrii.

Mohl bys ukázat, jak člověk získá $ cos \ theta / 2 $ a $ e ^ {i \ phi } $ podmínky?

Používal jsem operátory Pauli spin, pokud si chcete vybrat základ, můžete je napsat jako matice (operátor je funkce ve vektorovém prostoru , matice znamená operátor poté, co vyberete základnu; operátor existuje a je stejný bez ohledu na to, jakou základnu můžete nebo nemusíte vybrat později). $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

A vlastní vektor s kladným vlastním číslem je $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ pokud $ n_z = 1 $, pak je $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ Pojďme se vypořádat s případem $ n_z = 1 $ první, v tom případě $ a = 1 $ a $ b = 0 $ a $ \ theta = 0 $, takže $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ vše funguje.

Pokud chcete napsat vlastní vektor jako jednotkový vektor, dostanete $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Pokud chcete upravit fázi tak, aby první souřadnice byla skutečná a pozitivní, dostanete $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ end {matrix} \ right). $

Zbytek je trigometrie, např. $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Takže musíme jen ukázat, že $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ a ten $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ Ta druhá je identita triggeru $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

První je $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

Komentáře

• Proč potřebujeme 3D kouli a ne jen kruh v rovině? Představíme-li si qubit jako 2 možné hodnoty rotace atomu nebo jeho superpozice … Jak ‚ fyzikální význam azimutálního úhlu ϕ?

A. Dvoustavové systémy

Nechte dvoustavový systém, přičemž stavy budou nezávislé na časoprostorových souřadnicích. V tomto případě má systém nový stupeň volnosti . Klasickým příkladem je částice s momentem hybnosti rotace $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

Nechť dva stavy odpovídají základní stavy \ begin {equation} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} s názvem stav nahoru a dolů .

Stav systému je vyjádřen stavovým vektorem \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {kde} \: \: \: \ xi, \ eta \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {a} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} Složitá čísla $ \: \ xi, \ eta \: $ jsou amplitudy pravděpodobnosti a nezáporné reálné hodnoty $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ pravděpodobnosti, že bude systém ve stavu $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ .

Hilbertův prostor stavů systému je v mnoha ohledech totožný s (jednotkovou sférou) komplexního prostoru $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

Pozorovatelný systém by představoval $ \: 2 \ times2 \: $ hermitská matice A ve tvaru \ begin {equation} A = \ begin {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {with} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {equation} , takže lineární prostor $ \: 2 \ times2 \: $ hermitovské matice jsou v mnoha ohledech identické s $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . Z obvyklého základu $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ vytváříme základ pro tento prostor matic \ begin {rovnice} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v phantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation}

Nyní, pokud základní stavy $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ rovnice \ eqref {01} odpovídají vlastním stavům vlastních čísel $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ respektive pozorovatelného, pak by tento pozorovatelný byl reprezentován maticí
\ begin {equation} \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {equation} není součástí \ eqref {04}. Ale místo základu \ eqref {04} bychom mohli využít jejich následující lineární kombinace \ begin {align} E „_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E „_2 \! = \! E_2 \! = \! \ začít {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E „_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E „_4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} a změna symbolů a uspořádání

\ begin {equation} I = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {equation} kde $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \: $ Pauliho matice .

Nyní základní stavy $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ rovnice \ eqref {01} jsou vlastní stavy $ \: \ sigma_3 \: $ , takže je nutné je vyjádřit dolním indexem $ \: “ 3 „\: $ \ begin {equation} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ značka {08} \ label {08} \ end {equation} Toto je nutné provést pro amplitudy pravděpodobnosti $ \: \ xi, \ eta \: $ také \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {kde} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ v \ mathbb {C} \ quad \ text {a} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ značka {09} \ label { 09} \ end {equation} Důvodem je to, že stejně dobře můžeme použít jako základní stavy Hilbertova prostoru i vlastní stavy $ \: \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle \: $ z vlastních čísel $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ respektive z $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {equation} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {equation} tak, aby \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {kde} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ v \ mathbb {C} \ quad \ text {a} \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {equation} nebo relevantní pro $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {equation} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {equation} tak, aby \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {kde} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {a} \: \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {equation} Vlastní čísla $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ jsou schematicky zobrazeny na obrázku 04.

Nyní, \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} tak \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ vlevo (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} také \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} tak \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} V rovnicích \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} od $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ označujeme komplexní konjugát komplexního čísla $ \: z \: $ a $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ skutečné a imaginární části $ \: z $ .

Protože $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ nastavíme (viz obrázek-01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {polární úhel vzhledem k $ x_3- $ osa} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {zarovnat} tak \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {azimutální úhel vzhledem k ose $ x_3- $} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Pod těmito definicemi \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} a rovnice \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} poskytují následující pravděpodobnosti \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ vlevo (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ vpravo) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ vlevo (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

Všimněte si, že stav $ \ vert \ psi \ rangle $ rovnice \ eqref {09} lze vyjádřit jako \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {equation} nebo ignorování fáze faktor $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {equation}

---

B. On Sphere – In Ball

Na obrázku 01 vidíme podrobnosti definic \ eqref {18a}, \ eqref {18b} a \ eqref {18c}. Toto je rovinný pohled z bodu na rovině kruhu $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ na obrázku 03. Upozorňujeme, že tento obrázek-01 je platný, pokud všechny dolní indexy $ \: „3“ \: $ budou nahrazeny $ \ : „1“ \: $ nebo $ \: „2“ $ . Definice a význam různých bodů je uveden v následujícím textu.

Na obrázku 02 vidíme geometrii rovnic \ eqref {21a}, \ eqref {21b} a \ eqref {22a}, \ eqref {22b}. Toto je rovinný pohled z bodu na pozitivech osy $ \: x_3- $ .

Prohlédněte si 3D pohled na obr. 03 zde

Na obr. 03 máme kouli o průměru 1 v trojrozměrném prostoru $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ není totožný s fyzickým prostorem. V kouli bod $ \: \ Xi \: $ představuje stav systému \ begin {equation} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {equation} nyní pro $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \ : \: on \: \: + 1/2 \: \: of \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! osa \: \: představující \: \: \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \: \: on \: \: – 1/2 \: \: of \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! osa \: \: představující \: \ : \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projec tion \: \: of \: \: the \: \: state \: \: point \: \: \ Xi \: \: on \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! osa \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = velikost \: \: of \: \: pravděpodobnost \: \: amplituda \: \: of \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = velikost \: \: of \: \: pravděpodobnost \: \: amplituda \: \: of \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.05} \ štítek {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = pravděpodobnost \: \: of \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = pravděpodobnost \: \: of \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ tučný symbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polární \: úhel \: s \: respektovat \: to \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azimutální \: úhel \: s \: respektem \: k \: \ \ x \ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! osa \ značka {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ úhel (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polovina \: \: polar \: úhel \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ značka {26.10} \ štítek {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = poloměr \: z \: kruhu \:, křižovatka \: of \: \ \ koule \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \: \: with \: the \: plane \: through \: point \: \ Xi \: normal \: to \: the \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

Komentáře

• jako vždy úžasná postava.
• Nemám ‚ nerozumím, když říkáte (05) není ‚ t zahrnut do (04), není ‚ t $ E_3 $? Také ‚ nerozumím tomu, jak $ E_3 – E_4 $ nemá ‚ všechny nuly a -2
• @ gary69: Vítejte na PSE. Velmi děkuji za Vaši pozornost. Byl to překlep v rovnici $ \ eqref {04} $, který upravuji na ten pravý. Když v budoucnu získáte reputaci, uvidíte historii úprav mé odpovědi, všimnete si, že tento překlep byl proveden v 7. úpravě 25. srpna 2020.

Pouhý rozšířený komentář zefektivňující jemnou odpověď @Timaeus do zapamatovatelnější podoby.

Stavový vektor
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ definuje matici hustoty čistého stavu prostřednictvím svého operátoru projekce, $$ \ bbox [žlutý] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Všimněte si manifestní invariance pod celkovým přeformátováním $ | \ psi \ rangle $ .

Výraz obecné principy této idempotentní hermitské matice hustoty je také evidentně $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ s $ \ hat n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

To znamená, Osa $ \ hat z $ se otáčí k ose $ \ hat n $ o plné (sousední) úhly rotace , určující operátorový výraz s polovičním úhlem (spinor, základní).

Přemýšlejte o fotonové rotaci

Přemýšlení o tomto konkrétnějším případu mi pomohlo získat do hlavy několik užitečných obrázků. Existuje dokonce i dobře známý a více analogie zaměřená na optiku, která stojí za to mít na paměti: Poincaré Sphere .

Photon spin je dvoustavový kvantový systém , který, jak Frobenius zmiňuje , je to, co modely Blochovy sféry.

Fotonová rotace je také snadná porozumět / vizualizovat / experimentovat experimentálně.

Filtry fyzického polarizátoru

První pojďme se zamyslet nad nejkonkrétnější možnou věcí: polarizační filtry.

Existují dva typy polarizačních filtrů, na které byste mohli myslet:

• lineární polarizátor, v libovolném úhlu mezi -90 a 90.

  Např zde jedna při 90 stupních:

  

  a zde jedna při 45 stupních:

  

  a zde jedna při 0 stupních:

  

  Zdroj

  Wikipedia popisuje několik způsobů, jak takové filtry vytvořit, a obrázky nahoře jsou filtry Polariod , které se používají ve slunečních brýlích a fotografii, a proto jsou snadno dostupné .

  Z hlediska kvantové mechaniky provádí 90 a 0 stupňová orientace stejné měření: jediný rozdíl spočívá v tom, že jeden nechá projít foton, ale druhý jej zablokuje. Oba však můžeme použít stejně určit úroveň lineární vertikální polarizace fotonu: stačí vzít komplement val ue.

  A protože každé měření odpovídá hermitovské matici , můžeme představovat jak 0, tak 90 s jedinou maticí:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  A matice pro 45 stupňů je:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• kruhový polarizátor, který jak vysvětluje Wikipedia je obvykle vyroben s čtvrtvlnnou deskou + lineární polarizer:

  

  Zdroj .

  Odpovídající matice je:

  $$ M_i = \ start {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

Výše uvedené matice jsou takzvané Pauliho matice .

Některé zajímavé stavové vektory

Pojďme nyní pojmenovat 6 pólů představujících 6 možných zajímavých stavů fotonů na Blochově sféře , a pokuste se pochopit, jak interagují s filtry.

Zdroj .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineární 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { lineární 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {kruhový ve směru hodinových ručiček} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {kruhový proti směru hodinových ručiček} \\ \ end {alignat *} $$

První věc, kterou si všimneme, je, že následující páry jsou všechny báze:

• $ \ vert 0 \ rangle $ a $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ a $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ a $ \ vert -i \ rangle $

Mohli bychom například představovat:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

A pak také pozorujeme, že:

• $ \ vert 0 \ rangle $ a $ \ vert 1 \ rangle $ jsou vlastní vektory $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ a $ \ vert – \ rangle $ jsou vlastní vektory $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ a $ \ vert -i \ rangle $ jsou vlastní vektory $ M_i $

Pokud si pamatujeme, že výsledkem měření v kvantové mechanice je vlastní vektor vlastní hodnoty s pravděpodobností úměrnou projekci, dostaneme následující pravděpodobnosti vzorku pro tyto experimenty:

• $ \ vert 0 \ rangle $ stav na:

  • lineární polarizátor 90 °: 100% průchod

  • lineární polarizátor 0 °: 0% vyhovuje

  • lineární polarizátor 45 °: 45% vyhovuje, protože:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • lineární polarizátor -45 °: 45% průchod

  • kruhové polarizátory: 45% průchod.Je to proto, že lineární stav 0 lze rozložit na dvě kruhové polarizace:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • lineární 90 °: 0% průchod
  • lineární 0 °: 100% průchod
  • lineární 45 °: 45% průchod
  • lineární -45 °: 45% průchod
  • kruhový: 45% průchod
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • lineární 90 °: 45% průchod
  • lineární 0 °: 45% průchod
  • lineární 45 °: 100% průchod
  • lineární -45 °: 0% průchod
  • kruhové polarizátory: 45% průchod
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • lineární 90 °: průchod 45%
  • lineární 0 ° : 45% průchod
  • lineární 45 °: 45% průchod
  • lineární -45 °: 45% průchod
  • kruhový ve směru hodinových ručiček: 100% průchod
  • kruhový proti směru hodinových ručiček: 0% průchod

Relativní fáze

Jedna důležitá semiklasická intuice k zapamatování je:

kruhový polarization == dvě ortogonální lineární polarizace 90 stupňů mimo fázi:

Zdroj .

Takže například v :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

máme 90 stupňovou relativní fázi kvůli $ i $ relativní fázový rozdíl mezi $ \ vert 0 \ rangle $ a $ \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

Ale v úhlopříčce jsou ve fázi relativně k $ \ vert 0 \ rangle $ a $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

takže relativní fáze je pro tuto fázi 0.

Procházka koule

Jedním z běžných způsobů, jak reprezentovat stav ve sféře Bloch, je poskytnout pouze dva $ \ úhly theta $ a $ \ phi $ , jak je uvedeno níže:

Zdroj .

Protože koule není neuklidovská, je dobrým způsobem, jak si ji vizualizovat, projít několik snadno srozumitelných cest kolem ní. Na následujícím obrázku uděláme dvě cesty:

• začátek na 0, průchod +, 1, -, a návrat zpět na 0
• začátek na 0, průchod i , 1, -i a vrátit se zpět na 0

Zdroj .

Chůze od + přes i, -, -i a zpět k + je ponecháno jako cvičení: kruh by se stal šikmým zatměním a stále více se zmenšuje do 45 stupňové čáry.

To vede k jasné interpretaci úhlů:

• $ \ theta $ : čím je větší, tím je pravděpodobnější $ \ vert 1 \ rangle $ je srovnáván s $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ : relativní fáze mezi $ \ vert 0 \ rangle $ a $ \ vert 1 \ rangle $ . Tato relativní fáze nemůže být detekována vertikálním ani horizontálním polarizátorem

Jak můžeme klesnout ze 4 reálných čísel na pouhá 2 ve stavu ?

Na sféře Bloch můžeme reprezentovat stav pouze se 2 skutečnými parametry: úhly $ \ theta $ a $ \ phi $

Ale u explicitnějších vektorů s úplným stavem se zdají být 2 komplexní čísla a tedy 4 reálná čísla:

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

Proč je třeba jedno z čísel odstranit, je snadné: celková pravděpodobnost musí být 1, a tak:

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

takže v tomto okamžiku jsme již omezeni na 3-koule .

Druhý je zajímavější: můžeme odstranit další parametr, protože globální fázi stavu nelze zjistit žádnými experimenty a tak můžeme si jej libovolně zvolit.

Globální fáze je imaginární číslo. Modul tohoto čísla musí být 1, aby byla zachována celková pravděpodobnost. Experimenty nemohou detekovat globální fázové posuny, protože výsledky měření:

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

na kterémkoli z filtrů je stejné jako měření:

$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$

protože $ | \ text {phase} | = 1 $ .

Přirozenou volbou je tedy vybrat globální fázi, která otočí stav tak, že multiplikátor $ \ vert 0 \ rangle $ se stává skutečným číslem, tj. nastavením $ b = 0 $ .

Takže například vynásobením imaginárním číslem, mohli bychom namapovat obecnější stavy na omezenější, jako je

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ end {bmatrix} \ krát -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ end {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

Proč existují přesně tři Pauliho matice?

Myslím, že to vysvětlují hluboké a jasné matematické důvody spojené s tím, že jsou základem prostoru hermitovské matice 2×2, jak je uvedeno na: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 a https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states a to je jádrem otázky, proč je Blochova sféra použitý, ale ještě jsem ho úplně nepochopil.

Ale z praktičtějšího hlediska: tři měřicí zařízení, která navrhujeme jsou pouze tři možnosti (až do globálních rotací), takže po průchodu jedním ztratíte všechny informace o dalších dvou (50% pravděpodobnost u ostatních dvou experimentů).

Proto jsou ortogonální v určitém smyslu a maximální, protože neexistuje žádný další experiment, který bychom mohli přidat k této sadě experimentů, takže tato vlastnost obsahuje.

Hrajte s Quirkem

https://algassert.com/quirk

Toto je další užitečný návrh. Klikejte na tyto obrázky, dokud to nedává smysl.