přenosová funkce Besselova filtru je definována pomocí Besselových polynomů. Pokud vezmeme v úvahu například filtr 2. řádu, přenosová funkce je: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Chtěl jsem pro takový filtr vytvořit simulaci s architekturou Sallen-Key. Proto jsem konzultoval tohoto průvodce designem od společnosti TI. Definují přenosovou funkci dolní propusti druhého řádu jako:
Ao je 1, protože chci, aby zisk byl jednota. Podíval jsem se na níže uvedenou tabulku, abych správně vypočítal hodnoty C a R.
Proto se přenosová funkce stává: $$ H (s) = \ frac {1} {0,618 * s ^ 2 + 1,3617 * s + 1} $$
Spustil jsem simulaci a podíval se na dějový bod. Ukázalo požadovaný výsledek (mezní frekvence -3 dB byla vypočtena).
Nechápu však, proč funkce přenosu vypadá tak odlišně. Rozhodně to není Besselův polynom. Zkontroloval jsem krokovou reakci a pozoroval překročení o 0,4%, jak by se dalo očekávat u Besselova filtru. Proto mám 3 otázky:
- Jak to, že přenosová funkce v průvodci designem ti není Besselovým polynomem.
- Mělo by být pólové umístění Besselovho filtru 2. řádu být stejný pro jakýkoli filtr s určitou mezní frekvencí?
- Může mít dolní průchod besselova řádu druhého řádu jiný Q faktor než 0,5773?
Díky!
Komentáře
- Konstanta ve jmenovateli poslední rovnice H (s) musí být " 1 " místo " 3 ". Poslední otázka: NE !. Pouze B faktor určuje Besselovu odpověď.
- Máte pravdu, byl to překlep. Stále to nemusí mít mnoho společného s Besselovým polynomem.
- Proč ne? Jedná se o typickou funkci filtru s frekvenční odezvou nazvanou " Thomson-Bessel ". Co máš za problém? Funkce filtru samozřejmě není totožná s " matematickým Besselovým polynominálním ".
- ne ' nerozumím, proč máte tuto matematickou definici na jedné straně a přenosovou funkci, která je zcela odlišná na druhé straně. Odkud tyto koeficienty pocházejí?
- Koeficienty takzvaných Besselových filtrů se počítají na základě požadavku maximálně plochého skupinového zpoždění v propustném pásmu (pro srovnání s maximálně plochou amplitudou pro Butterworthovy filtry) . Je možné ukázat, že při výpočtu koeficientů využíváme známé Besselovy polynominy (jedná se o poměrně zapojený postup) – to ale neznamená, že velikost přenosové funkce má odezvu, která vypadá jako Besselovy funkce. Je to – jak již bylo zmíněno – matematický postup za hledáním koeficientů. Dobře?
Odpověď
Jak to, že převod Funkce v průvodci designem ti není Besselovým polynomem.
Pojďme se podívat na přenosovou funkci, kterou jsi napsal: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0,618s ^ 2 + 1,3617s + 1} \ $
Přeskupení: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
Rovnice je nyní ve standardním tvaru: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
A jasně \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ tedy 2,2034 / \ $ \ sqrt {1,6181} \ $ = 1.732. Tento bit je důležitý, protože se jedná o \ $ \ sqrt3 \ $.
U Besselovy dolní propusti druhého řádu 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $ je tedy zeta 0,866.
Na obrázku jsem manipuloval s R tak, aby mi poskytl poměr tlumení (zeta) přesně 1,732 – podívejte se na vrchol v kroková odezva – 1,00433 voltů – přesně to pravé pro Bessela. Podívejte se na fázové zpoždění vynesené na horním grafu – maximálně ploché a postupně se mění na 90 stupňů při přirozené rezonanční frekvenci. Fd (tlumená frekvence) je přesně 0,5 – což také svědčí o Besselovi.
Může mít Besselova dolní propust druhého řádu jiný Q faktor než 0,5773?
0,5773 je převrácená hodnota \ $ \ sqrt3 \ $ a ne, musí to být Q pro Bessel LPF.
Komentáře
- Důvod, proč je polynom odlišný, spočívá ve škálování frekvence. Neškálovaný Bessel (OP ' s první vzorec) bude mít \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $, s útlumem ~ -1.597 dB @ 1 Hz – nic neobvyklého, Bessel je obvykle pro zpoždění ploché skupiny, ne frekvenci – takže TI to změnil tak, aby to ' bylo klasickým -3 dB.
- @aconcernedcitizen proč to neudělat jako odpověď, místo toho, abych to připnul na moji odpověď, pokud samozřejmě nejsi příliš rafinovaný a poukazuji na chybu v mé odpovědi, že jsem ' příliš hloupý rozpoznat?
- Napsal jsem to jako komentář, aby bylo možné v případě potřeby aktualizovat odpověď, na kterou dávám komentář. Ale pokud říkáte, že by to měla být odpověď, tak ano. Nevím ' nevím, odkud " hloupý " pochází.
Odpověď
Besselův filtr má, jak správně ukazuješ ve svém prvním vzorci, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Není to neobvyklé, pokud si myslíte, že Besselův filtr se obvykle používá pro zpoždění ploché skupiny, spíše než pro jeho frekvenční chování (jak uvádí @LvW ve svém komentáři). Implementace filtru s touto přenosovou funkcí však dá ~ Útlum 1,597 dB @ 1 Hz, díky čemuž není reakce klasická. TI tedy použila změnu frekvence tak, aby útlum byl -3 dB @ 1 Hz. Jak se to stane, čtvercová frekvence (pulzace) je \ $ \ phi \ $ = 1,618 … a poté znovu uspořádali termíny tak, aby odpovídaly jejich topologii operační zesilovač.