Následuje dotaz na rozhovor od Marka Joshiho a spol. Quant Job Interview.
Otázka: Proč je Brownův pohyb užitečný ve financích?
Pocházím z prostředí Pure Maths PhD (funkční analýza, zejména teorie Banachova prostoru). Po absolvování doktorského studia bych se chtěl pustit do odvětví kvantového financování.
Nemám tedy ponětí, jak odpovědět na výše uvedenou otázku, protože se zdá, že většina stochastických knih o kalkulu by zahrnovala hovoření o Brownově pohybu, ale nikdy neposkytovala motivaci.
Komentáře
- Ahoj: Jedním z důvodů je, že ' sa martingale a některé jsou v pořádku, když ceny protokolu vidí jako martingale. Proto může být BW rozumným procesem, který lze použít k modelování změn cen protokolů. Ve skutečnosti je celý tento rámec založen na tomto předpokladu.
- standardní Brownův pohyb nebo geometrický Brownův pohyb?
- Myslím, že dokáže odpovědět na oba?
- Hlavní užitečnost BM a Ito Calculus na rozdíl od věcí, jako jsou diskrétní náhodné procházky, je schopnost nepřetržitého zajištění derivátového portfolia v takovém vesmíru.
Odpověď
Brownův pohyb je jednoduše limitem náhodného chodu v měřítku (diskrétní čas), a tedy přirozeným kandidátem, který se má použít. Je to velmi intuitivní a pravděpodobně jeden z nejjednodušších a nejlépe pochopených časově nepřetržitých stochastických procesů. Nezapomeňte také, že získáte mnohem více stochastických procesů jako funkce (časem změněného) Brownova pohybu. V mnoha knihách o stochastickém počtu nejprve definujete Ito integrál s ohledem na Brownův pohyb, než jej rozšíříte na obecný semimartingales. Za předpokladu, že výnosy logů sledují Brownův pohyb (s driftem), můžete snadno odvodit uzavřená řešení pro ceny opcí. Brownův pohyb je dále Markovian a martingale, které představují klíčové vlastnosti ve financích.
Brownův pohyb poprvé představil Bachelier v roce 1900. Samuelson poté použil exponenciál Brownova pohybu (geometrický Brownův pohyb), aby se vyhnul negativitě pro model ceny akcií. Na základě této práce našli Black a Scholes svůj slavný vzorec v roce 1973.
Komentáře
- Vypadá to jako odpověď, kterou chtějí, abyste odpověděli v rozhovoru. Varování, protože máte čisté matematické pozadí. Všechny tyto modely učinit předpoklady, že různá množství ar e Gaussian normálně distribuován. Skutečná data nejsou. Ať už jsou modely stále užitečné, nebo ne, je to právě otázka, na kterou by měli chtít najmout doktora čistě matematiky.
- Proč je ale náhodná procházka přirozeným kandidátem na modelování aktiv? Odpovědí je spíše ekonomická otázka než matematická otázka (pokud lze výnosy " předvídat ", pak by obchodování probíhalo tak, že výnosy by již nebude " předvídatelné ")
odpověď
Fyzické objekty se pohybují podle jednoduchých hladkých křivek, které lze reprezentovat polynomy nízkého řádu: přímka, parabola, elipsa atd.
Ceny na finančních trzích se pohybují úplně jiným způsobem, jak je vidět při pohledu na jakýkoli graf cen akcií, úrokových sazeb atd. v novinách: existují neustálé, nepravidelné výkyvy, někdy jedním směrem, někdy druhým, někdy malým a někdy velkým, které dávají křivce drsný, náhodný vzhled. Brownův pohyb je vhodný model pro tento druh křivky.