Proč je elektrické pole nulové tam, kde se protínají ekvipotenciální povrchy?

Nejprve nechme vyčistit vzduch jednoduchým příkladem, který předvádí požadované chování (a který je v zásadě izomorfní pro většinu netriviálních případů). zejména následující tvrzení:

Potenciál $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ je dokonale platný elektrostatický potenciál, a je velmi přirozeně vidět, že má dva ekvipotenciální povrchy (rovinu $ yz $ a rovinu $ xz $), které se protínají podél čáry.

Tento příklad může být nepříjemný pro obvyklou intuici, že ekvipotenciální povrchy, jako jsou siločáry, se nikdy neprotínají, ale prověřuje to perfektně – a je to v souladu s tvrzením vašeho profesora, že elektrické pole $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ dodávka záře na křižovatce $ x = y = 0 $.

(Pro ty, kteří by chtěli obálku ještě trochu rozšířit: přirozeně se to zobecní na průsečík libovolného počtu $ n $ ekvipotenciálních ploch podél a řádek jednoduše změnou na $ n $ -polární potenciál $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ right] \ mathclose {} $.)

Takže, co se to děje, nebo jak poskytneme nějaké skutečné matematické zpracování výroku?

Začněme definováním ekvipotenciálních ploch: povrch $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ to \ mathbb R ^ 3 $ je ekvipotenciál elektrostatického potenciálu $ V : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ iff $ V (S (u, v)) = V_0 $ je konstantní pro všechny $ (u, v) \ v D $. Navíc víme, že v každém bodě $ \ mathbf r = S (u, v) $ na povrchu, elektrické pole $ \ mathbf E = – \ nabla V $ má nulový vnitřní součin s jakýmkoli vektorem, který leží uvnitř tečné roviny $ TS_ \ mathbf r $ k povrch v $ \ mathbf r $, v důsledku převzetí křivek $ \ gamma: (a, b) \ do D $ a diferenciace vztahu stálosti $ V (S (\ gamma (t))) \ equiv V_0 $ s ohledem k parametru $ t $, přičemž $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ pro všechny vektory $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Protože tato rovina je dvourozměrná a prostor je trojrozměrný, usuzujeme, že existuje jedinečný normální směr $ \ hat {\ mathbf n} $ k povrchu a že $ \ mathbf E $ musí být paralelní s touto normou (nebo případně nulou), ale základním výsledkem je, že složka $ \ mathbf E $ „v jakémkoli směru uvnitř tečné roviny musí zmizet.

Dobře, tak teď nechte ante a zvažte dva různé povrchy $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, které se v určitém okamžiku protínají $ \ mathbf r_0 $, a pojďme také stanovit, že oba povrchy mají ekvipotenciály $ V $.

Hned z netu můžeme odvodit, že potenciál ve všech bodech na obou plochách se musí rovnat stejné konstantě, protože $ V = V (\ mathbf r) $ je (s jednou hodnotou ) funkce. Pokud se rovná $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ pro $ \ mathbf r_0 \ v S_1 $, pak se musí rovnat $ V_1 $ v celém $ S_1 $ – ale $ \ mathbf r_0 $ je také v $ S_2 $, takže $ V $ se musí rovnat $ V_1 $ během $ S_2 $. To je pravděpodobně to, o čem váš profesor mluvil v tvrzení, které uvádíte jako

Tvrdil také, že dva ekvipotenciální povrchy se nemohou protínat, protože by to dalo dva různé potenciály ve stejném bodě,

, ale bylo docela pravděpodobné, že bude mnohem blíže

dva ekvipotenciální povrchy s odlišným potenciálem se nemohou protínat, protože by to dalo dva různé potenciály ve stejném bodě.

To je snadné.Řekněme nyní něco netriviálního: co elektrické pole na křižovatce?

Začněme však nejprve jednoduchým případem a předpokládejme, že ekvipotenciály mají správný průnik dimenze jedna podél křivka, z čehož vyplývá, že v kterémkoli bodě $ \ mathbf r $ podél průsečíku se tečná rovina dvou povrchů protne na přímce a každá z nich bude mít samostatný, lineárně nezávislý směr, který nepatří do druhé rovina.

To nám pak umožní přinést nástroje, které jsme vyvinuli dříve: víme, že $ \ mathbf E $ musí mít mizející vnitřní produkt s jakýmkoli vektorem, který leží uvnitř kterékoli tečné roviny, kromě toho, že nyní mít tři lineárně nezávislé vektory $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ a $ \ mathbf e_3 $, proti kterým zmizí, jeden podél průsečíku a jeden další nezávislý vektor podél každé roviny. Jediný způsob, jakým jakýkoli vektor $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ může uspokojit $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ pro lineárně nezávislý $ \ mathbf e_i, $ je pro $ \ mathbf v = 0 $ . Odtud pochází tvrzení vašeho profesora.

Nakonec se pojďme věnovat trochu patologičtějšímu případu, který jste zmínili na konci své otázky:

Proč nemohou existovat jen dva různé ekvipotenciální povrchy se stejným potenciálem, kterého se […] dotknou?

To není špatná otázka a odpověď zní v podstatě tak, že k tomu může dojít, ale okolnosti, za kterých se to stane, jsou tak patologické, že jsme většinou připraveni toto dítě vyhodit Když řekneme „protínají se dva povrchy“, máme obvykle na mysli, že mají průsečík dimenze podél křivky; pokud chceme povrchům umožnit dotýkat se nebo se chovat podobně patologicky, pak si výslovně povšimneme, že . (Matematici jsou se svým jazykem trochu opatrnější, ale fyzici zase dělají zajímavější věci a vy nemůžete ztrácet čas hraním s drobnými detaily.)

Každopádně, pokud chcete potenciál se dvěma ekvipotenciály, které dotyk v jednom bodě, nejčistší příklad, na který si myslím, je $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$, kde ekvipotenciály $ V (\ mathbf r) = 0 $ jsou dva kruhové paraboloidy, které se dotýkají svého vrcholu. Toto není řešení Laplaceovy rovnice, což znamená, že to není rozumný potenciál ve volném prostoru, ale vy stačí nastavit hustotu náboje $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $ a získáte rozumnou distribuci. Pokud na tom chcete šetřit, pak je lepší zvolit $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$, pro které je hustota náboje $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ je extrémně rozumné a které zamění jeden z paraboloidů za rovinu $ z = 0 $.

Nyní, u obou těchto příkladů, mít jako svůj potenciál pěkný polynom vysokého řádu a elektrické pole zmizí v průsečíku ekvipotenciálu. Pokud tam chcete mít něco s dotykovým ekvipotenciálem a nenulovým elektrickým polem, nejblíže, k čemu jsem přišel čistým způsobem, je zkombinovat dva výše uvedené příklady a dát tři ekvipotenciály (dva paraboloidy a $ xy $ letadlo) v bodě $$ V (x, y, z) = \ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z, $$ s $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ závislost podél osy $ z $, a pak to rozložit tak, že vezmeme kořen krychle a dáme $$ V (x, y, z) = \ left [\ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$, která má stejné dotekové ekvipotenciály jako výše, ale nyní má konstantní elektrické pole $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ ve všech bodech $ (0,0, z) $ s $ z \ neq 0 $. Bohužel však nemůžete „t opravdu dojít k závěru, že elektrické pole tam není nenulové, protože limity $ \ mathbf r \ to0 $ podél osy $ z $ a podél roviny $ xy $ don „dojíždím – a skutečně se $ \ nabla V $ v letadle $ xy $ rozcházejí.

Nakreslím sem ekvipotenciální krajinu, když se proříznu rovinou $ xz $, abych získal představu typu patologické struktury, ke kterému budete tlačeni zvážením tohoto typu případů:

^{Zdroj: Import [„ http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m „] [„ http://i.stack.imgur.com/0snLs.png „]}

Ostré skalní stěny na ekvipotenciálech v 3D zobrazení $ V (x, 0, z) $ jsou jasnými značkami skutečnosti, že elektrické pole je nekonečné všude na ekvipotenciálech $ V = 0 $, s výjimkou osamoceného původu, když se k němu přistupuje od osy $ z $.

Každopádně je to taková cena, kterou musíte zaplatit Hav Ekvipotenciály, které se dotýkají, aniž by vyžadovaly nulové elektrické pole v dotykovém bodě, aby bylo vše hezké a hladké. Obecně však tyto případy jednoduše vyhazujete dekretem vyžadováním pravidelné křižovatky.

Elektrické pole je definováno jako (negativní) gradient elektrostatického potenciálu.Proto nemůže existovat žádné elektrické pole podél čáry / povrchu definované ekvipotenciálem.

To znamená, že jediné elektrické pole povolené v bodě ekvipotenciálu musí být kolmé na ekvipotenciální povrch, jinak by měl po povrchu nenulovou složku.

Pokud existují dva různé protínající se ekvipotenciály, pak jediné platné elektrické pole je nula, protože jakékoli nenulové pole by mělo nenulovou – nulová složka podél alespoň jednoho z ekvipotenciálů.

Výjimkou by byla situace, kdy jsou ekvipotenciální povrchy v průsečíku rovnoběžné.

Komentáře

• Snažil jsem se ‚ vyrobit potenciál s ekvipotenciály, které se v jednom bodě dotýkají paralelních normálů a které přesto produkují nenulovou elektrickou energii pole tam. Vidíte to?
• @ Rob to poškrábal, našel jsem příklad – ale ‚ to není zrovna nejjednodušší funkce, kterou ‚ jaké jsme kdy viděli. Mám podezření, že je možné ukázat, že dotek ekvipotenciálu s nenulovým elektrickým polem vyžaduje tento druh patologického chování, ale ‚ nevidím, jak ‚ d to dokažte (nebo proč vám ‚ záleží natolik, abyste tomu věnovali spoustu času).

Dvě ekvipotenciální plochy se nemohou protínat. Směr elektrického pole v kterémkoli bodě ekvipotenciální plochy je kolmý na povrch v tomto bodě. Pokud by se měly protínat dva ekvipoenciální povrchy, pak by elektrické pole v průsečících bylo kolmé na první povrch a druhý povrch v těchto bodech … jinými slovy, pokud by se mohly protínat dva ekvipotenciální povrchy, byste měli elektrické pole směřující ve dvou směrech v každém průsečíku …. jeden směřující kolmo k první ploše, druhý směřující kolmo k druhé ploše. To je nemožné.

Komentáře

• Pokud není pole v průsečíku nulové?
• Potenciální $ V ( x, y, z) = V_0 xy $ je dokonale platný elektrostatický potenciál a lze jej přirozeně považovat za dva ekvipotenciální povrchy (rovinu $ yz $ a rovinu $ xz $), které se protínají podél čáry.
• velmi zajímavé …

Protože kdyby se protínaly, pak směr elektrického pole je nejednoznačný, takže to není možné.

Komentáře

• jednoznačné ? Proč je to problém?
• Ano, je nejednoznačný ne jednoznačný , jak říká vaše odpověď.

Tvrdil také, že dva ekvipotenciální povrchy se nemohou protínat, protože by to dalo dva různé potenciály současně bod.

Zvažte elektrické pole a ekvipotenciální povrchy elektrického dipólu

Obrázkový kredit

Žádný z ekvipotenciálních povrchů se neprotíná. Rovněž hustota povrchů je největší podél linie mezi dvěma náboji a skrz ně.

Nyní zvažte tyto ekvipotenciální povrchy v limitu ideálního elektrického dipólu.

Obrazový kredit

U konstantního dipólového momentu se musí náboj (plus / minus) zvyšovat, jak se zmenšuje separační vzdálenost, hustota ekvipotenciálních ploch podél čáry přes povrch se musí v limitu rozcházet; zdá se, že všechny ekvipotenciální povrchy se musí protínat v místě ideálního dipólu a elektrické pole je tam singulární.

Komentáře

• Chápu tvůj názor, protože sféry nejsou ekvipotenciální, není zřejmé, že kontaktním bodem prochází nekonečně mnoho ekvipotenciálních povrchů … nevím ….
• @ValterMoretti, OK, takže dvě nevodivé koule, každá s pevnou, rovnoměrnou hustotou náboje opačného znaménka a identickými poloměry a symetricky umístěnými nad a pod rovinou xy podél osy z, ale nedotýkající se roviny. To voní jako metoda problému typu obrázků a pokud ano, rovina x-y je povrch s nulovým potenciálem?Poté kladné (záporné) ekvipotenciální povrchy obklopují kladně (záporně) nabitou sféru a s přiblížením koulí jsou tyto povrchy ‚ vymačkané ‚ společně podél čáry středem koulí se konečně dotýkají?
• No, teď si myslím, že ekvipotenciální povrchy odlišné od oddělovací roviny vstupují do (nevodivých) koulí a můj příklad ne práce: když se koule vzájemně dotýkají, je zde pouze jeden ekvipotenciální surafce přes kontaktní bod. Můj příklad tedy nefunguje.
• @ValterMoretti, jen jsem přemýšlel, jestli by ekvipotenciály mohly vstoupit do koulí, a začal jsem hledat Jacksona, když přišel váš komentář.
• Ano ekvipotenciální povrchy musí vstoupit do koulí: vezměte jakýkoli bod uvnitř levé koule, tam elektrické pole v důsledku samotné koule zmizí. Elektrické pole uvnitř pole levé koule je tedy zcela způsobeno pravou koulí a je stejné jako u bodového náboje vycentrovaného mimo levou kouli. Je zřejmé, že ekvipotenciální povrchy tímto způsobem vstupují do levé koule. Myslel jsem zde na povrchně nabité koule! Pokud je náboj v objemu? Nevím