Tuto otázku jsem dělal při výpočtu elektrického pole v určitém bodě koule (délka $ r $ od středu), kde hustota náboje je dáno rovnicí. Když jsem zkontroloval řešení této otázky, řekl, že pro výpočet elementárního náboje $ dQ $ pro elementární objem koule $ dV $ pomocí rovnice hustoty náboje. Říká se, že objem mezi dvěma soustřednými skořápkami v kouli na vzdálenostech $ r $ a $ r + dr $ je
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} {3} – \ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
Proč se to rovná $ 4 \ pi r ^ 2dr $?
Komentáře
- Heuristika použitá v tomto výpočtu spočívá v tom, že , protože $ dr $ je velmi malý, čtvercem nebo krychlíkem je mnohem menší. Proto jsou výrazy $ 3rdr ^ 2 $ a $ dr ^ 3 $ zanedbatelné a lze je jednoduše zrušit.
- To nemá s fyzikou absolutně nic společného! Zeptejte se na matematickém q & webu. Vlastně vám @sourisse dala správnou odpověď.
- Myslím si, že to je ve skutečnosti docela důležité pro fyziku, jedná se o aproximaci / metodu / nástroj, který se ve fyzice používá hodně , např. elektrostatika, gravitace, pevné látky atd. atd.
- BTW můžete také uvažovat o $ 4 \ pi r ^ 2 dr $ jako o objemu sférické skořápky s poloměrem $ r $ a tloušťkou $ dr $ – pouze povrch plocha vynásobená tloušťkou
- @FraSchelle Myslím, že kdybyste se zeptali na math.stackexchange, budete přesměrováni sem …
Odpověď
Komentář Sourisse odpovídá na vaši otázku, ale pro informaci jej zde rozbalím jako odpověď Wiki. Toto je odpověď fyzika – všichni přítomní matematici by nyní měli odvrátit svůj pohled.
Pamatujte, že když řekneme, že objemový prvek je:
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
Mluvíme o limitu, ve kterém $ dr \ rightarrow 0 $. Pokud je $ dr $ extrémně malý, pak $ dr ^ 2 $ je extrémně extrémně malý a $ dr ^ 3 $ je extrémně extrémně malý. Takže v limitu $ dr \ rightarrow 0 $ můžeme jednoduše ignorovat vyšší síly a vaše plná rovnice se změní na rovnici (1).
Komentáře
- Pane, to je to samé, co nás naučili, ale existuje nějaký způsob, jak použít výrazy $ (dr) ^ 2 $ nebo vyšší moc ve výpočtu nebo integraci? Mnohokrát děkuji!
Odpověď
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
Diferenciace vzhledem k $ r $
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
Komentáře
- přímo! toto je druh elem entary " trik " příliš často zapomenut. Škoda, že ' tímto způsobem nezískáte faktor $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ ze $ 4 \ pi $.