Proč je gravitační potenciální energie negativní a co to znamená?

O negativních energiích: nenastavují žádný problém:

V tomto kontextu mají význam pouze energetické rozdíly. Negativní energie se objeví, protože když jste provedli integraci, nastavíte jeden bod, kde nastavíte svůj energie na 0. V tomto případě jste zvolili, že $ PE_1 = 0 $ za $ r = \ infty $. Pokud jste nastavili $ PE_1 = 1000 $ na $ r = \ infty $, byla energie pro některé r .

Znaménko mínus je však důležité, protože vám říká, že testovaná částice ztrácí potenciální energii při přechodu na $ r = 0 $, to je pravda, protože se zrychluje, což způsobuje nárůst $ KE $:

necháme vypočítat $ \ Delta PE_1 $ pro částici pohybující se ve směru z $ r = 0 $: $ r_i = 10 $ a $ r_f = 1 $:

$ \ Delta PE_1 = PE_f – PE_i = Gm (-1 – (-0,1)) = -Gm \ times0 .9 < 0 $

podle očekávání: ztratíme $ PE $ a vyhrajeme $ KE $.

Druhá odrážka: ano, vy mají pravdu. Platí však pouze POKUD jsou to bodové částice: pokud mají normálně určitý poloměr, srazí se, když $ r = r_1 + r_2 $, což způsobí elastickou nebo nepružnou kolizi.

Třetí odrážka : máte pravdu s $ PE_2 = mgh $, ale opět vybíráte dané reference: předpokládáte $ PE_2 = 0 $ za $ y = 0 $, což na předchozí notaci znamená, že jste nastavovali $ PE_1 = 0 $ za $ r = r_ {earth} $.

Nejvíce i důležitý rozdíl nyní spočívá v tom, že říkáte, že nárůst h se pohybuje dále v r (pokud jste vyšší, jste dále od středu Země).

Podle analogie s předchozím problémem si představte, že chcete získat $ \ Delta PE_2 $. V tomto případě začínáte na $ h_i = 10 $ a chcete se přesunout na $ h_f = 1 $ (pohybovat se ve směru do středu Země, například $ \ Delta PE_1 $:

$ \ Delta PE_2 = PE_ {f} – PE_ {i} = 1mg – 10mg = -9mg < 0 $.

Jak jsme očekávali, protože klesáme, ztrácíme $ PE $ a výhra $ KE $, stejný výsledek má $ PE_1 $

Čtvrtá odrážka: oba představují stejnou věc. Rozdíl je v tom, že $ gh $ je první výraz v Taylorova řada expanze $ PE_1 $ poblíž $ r = r_ {Earth} $. Jako cvičení zkuste rozšířit $ PE_1 (r) $ v krejčovské sérii a ukázat, že lineární výraz je:

$ PE_1 = a + \ frac {Gm (r-r_ {earth})} {r_ {earth} ^ 2} $.

Numericky vypočítají $ Gm / r_ {earth} ^ 2 $ (pamatujte, že $ m = m_ {earth} $). Pokud jste to ještě neučinili, myslím, že budete překvapeni.

Takže z toho, co jsem rozumíte, vaše logika je naprosto správná, kromě dvou klíčových bodů:

• energie je definována odděleně od konstantní hodnoty.

• v th e $ PE_1 $, zvýšení r znamená snížení $ 1 / r $, což znamená zvýšení $ PE_2 = -Gm / r $. V $ PE_2 $ znamená zvýšení h zvýšení $ PE_2 = mgh $.

Komentáře

• Aha, chápu, trik spočívá v tom, že ‚ sa relativní hodnota – stále přemýšlím o energii jako o něčem absolutním (i když myslím, že i kinetická energie se mění, podle vašeho referenčního rámce) . Předpokládám, že bychom ‚ d chtěli nastavit PE = 0, když r = 0, ale bohužel podle rovnice by to trvalo nekonečnou energii k vytažení částic odděleně! Takže myslím, že PE = 0, když r = ∞ je jedinou další rozumnou volbou. Všechno to teď dává smysl – díky!
• Rovněž se vzorec mění uvnitř ne-bodové hmoty, takže limit $ r \ až 0 $ je konečný.

Nejprve (1) shrnu rozdíly mezi definicemi PE1 a PE2 a poté (2) tyto dva přirovnám.

(1) Nejprve jako tato odpověď na otázku „Proč je gravitační energie negativní?“ říká , PE1 definuje potenciální energii tělesa o hmotnosti m v gravitačním poli hmoty M jako energii (práci) potřebnou k jeho převzetí jeho aktuální pozice $ r $ do nekonečna. PE1 předpokládá, že $ r = \ infty $ je $ PE = 0 $ $$ PE1 = \ frac {−GMm} {r} $$

PE2 je na druhé straně definován jako zápor gravitační práce k zvednutí tělesa hmotnosti m z povrchu planety do výšky h nad planetou.

$$ PE2 = -W = -Fdcos \ theta = mgh $$

PE2 má jiný referenční rámec než PE1 , protože předpokládá $ PE = 0 $ při $ r = R $ nebo na povrchu planety. A co je velmi důležité, PE2 se používá pouze tehdy, když je objekt blízko povrchu planety , když $ h < < < R $ (R je poloměr planety) a g lze považovat za konstantní:

$$ g = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} \ přibližně \ frac {GM} {R ^ 2} $$

(2) Dobře, nyní rovnice dvou. Ačkoli se referenční rámce pro PE1 a PE2 liší, $ | \ Delta PE | $ mezi dvěma body by měl být určitě stejný. Pro příklad řekněme, že dva body jsou povrch planety a výška h nad planetou.

PE1 říká $ | \ Delta PE | = mgh -mg (0) = mgh $

PE2 říká $ | \ Delta PE | = \ frac {-GMm} {R + h} – \ frac {-GMm} {R} = GMm \ left ( \ frac {1} {R} – \ frac {1} {R + h} \ right) = GMm \ left (\ frac {h + RR} {(R) (h + R)} \ right) = \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} $

a protože $ h < < < R $, $ \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} \ přibližně \ frac {GMmh} {R ^ 2} = mgh $

A tak PE1 a PE2 oba představují stejnou formu energie, ale musíme mít na paměti referenční rámce a podmínky použití, když je používáme.

Doufám, že to pomůže !! Mír.

Je to proto, že gravitační síla je atraktivní a práce se provádí samotnou gravitační silou. Když systém funguje sám, energie je považováno za negativní a když je práce externí agentury na energii systému považována za pozitivní.

Myslím, že je to jen preference.

Gravitační potenciální energii bychom mohli vidět jako pozitivní , představující energii „investovanou“ do naší polohy ve vztahu k masivnímu objektu. Tuto energii můžeme „znovu získat“ (zvýšit kinetickou energii) pohybem blíže k objektu, přičemž v tomto okamžiku jsme snížili množství energie, které bychom mohli získat pohybem dále.Potenciální energie tedy klesá, když se přibližujeme (blíží se nulové energii v nulové vzdálenosti), zvyšuje se, když se přibližujeme dále a součet PE a KE je konstantní.

Ale jaká je hodnota konstanty? Když jsme velmi daleko od masivního objektu, měli bychom mít velmi velkou potenciální energii. Ale i když „jsme docela blízko hmotného objektu, jsme„ velmi daleko od všech ostatních hmotných objektů ve vesmíru, a proto bychom měli mít velmi velké gravitační potenciální energie ve vztahu ke všem těmto objektům. Můžeme přibližně vypočítat hodnotu pro KE + PE tím, že vezmeme v úvahu pouze nejrelevantnější objekty (ty nejbližší a / nebo největší), ale naše přibližná hodnota jen roste a roste a roste, když se snažíme získat přesnější aproximace zahrnutím menších a více -vzdálené objekty v naší kategorii „relevantních“ objektů. Takže naše KE + PE konstanta je nějaká neuvěřitelně velká hodnota, kterou nikdy nemůžeme opravdu vypočítat nebo odhadnout jako nějakou konkrétní hodnotu. V některých ohledech nezáleží na tom, že nemůžeme nikdy požadovat hodnotu, protože rozdíly energií jsou vše, s čím skutečně musíme pracovat, a stále můžeme počítat ty (za předpokladu, že naše PE ve vztahu ke všemu ostatnímu ve vesmíru se změnilo jen zanedbatelně, když se pohybujeme poblíž masivního objektu, o kterém uvažujeme). Ale zdá se to neuspokojivé.

Na druhou stranu místo toho uvažovat o PE jako o pozitivním množství energie „investované“ do naší pozice (energie, kterou jsme již „utratili“, kdybychom se vzdalovali od masivního objektu, který bychom mohli získat přiblížením), můžeme místo toho považovat za negativní množství energie, které „dlužíme“ kvůli naší pozici (energii, kterou jsme „získali“ zdarma “, pokud bychom se přesunuli blíže k objektu z nekonečna, kterou bychom museli„ utratit “, abychom znovu unikli do nekonečna).

Všechny výpočty energetických rozdílů fungují stejně. Ale nyní naše PE vzhledem k objektu jde na nulu, protože se dostáváme velmi daleko od objekt. To znamená, že jelikož můžeme vypočítat aproximaci naší konstanty KE + PE pouze s ohledem na nejrelevantnější objekty, a když se snažíme získat lepší aproximace zahrnutím menších a vzdálenějších objektů do našeho výpočtu, účinky těchto dalších objektů se přiblíží a blíže k nule. Takže přijdeme se skutečným číslem, o kterém můžeme oprávněně říci, že je hodnotou pro naši konstantu KE + PE.

skutečnost, že gravitační potenciální energie jako u všech potenciálních energií atarktivních sil je záporná, je založena na skutečnosti, že chceme předpokládat, že když jsou částice navzájem v nekonečnu a v klidu, systém má nulovou celkovou energii. Představte si, že by tomu tak nebylo a systém dvou částic při nekonečném odloučení v klidu by byl považován za systém s čistou energií, a pak by došlo k nejasnostem ohledně energie spojené s klidovou hmotou. Celková energie systému by pak nebyla $ E = Mc.c $, kde $ M $ je součet dvou hmotností. Odkud by tato extra energie pocházela?

Je nesprávné považovat gravitační potenciální energii za negativní – tho běžné.

Velkou chybou je přiřazení PE v nekonečnu = 0. To je zjevně špatné – P.E. je jasně 0 na 0 oddělení, a velký na velké oddělení. P.E. objektů daleko od sebe by musel být součet P.E. pro první řekněme 100 „separace plus P.E. pro druhou 100“ separace plus — P.E. za každých 100 „, dokud se nezapočítá celá separace. (Vyjádřím to jako integrál poté, co si opráším svůj počet.) Viz, PE SE ZVÝŠÍ, jak se separace zvyšuje – počínaje nulou bez separace. > Mnoho lidí dělá velkou chybu, když považuje gravitační potenciální energii za zápornou!

Komentáře

• S polem z bodového zdroje, které se řídí inverzí – zákon čtverce, síla je úměrná $ r ^ {- 2} $ a potenciál (a potenciální energie) je tedy úměrný $ r ^ {- 1} $. Lineární $ P = mgh $ je pouze přibližná hodnota pro malé změny vzdálenosti.
• @ HDE226868 Chtěli jste se vyjádřit k jiné odpovědi?
• @diracula Ne – měl jsem si to vyjasnit. Matematicky jsem ukazoval, proč potenciál energie mizí spíše v nekonečnu, než aby rostla do nekonečna; protože $ r \ to \ infty $, $ r ^ {- 1} $ jde na $ 0 $.