K Xi „prvnímu bodu: Když mluvíte o $ \ sigma $ -algebry, ptáte se na měřitelné množiny, takže se bohužel každá odpověď musí zaměřit na teorii míry. Pokusím se to však jemně vybudovat.

Teorie pravděpodobnosti připuštění všech podmnožin nespočetných množin matematiku rozbije

Zvažte tento příklad. Předpokládejme, že máte jednotkový čtverec v $ \ mathbb {R} ^ 2 $ a zajímá vás pravděpodobnost náhodného výběru bodu, který je členem konkrétní množiny v jednotkovém čtverci . Za mnoha okolností na to lze snadno odpovědět na základě srovnání oblastí různých sad. Můžeme například nakreslit některé kružnice, změřit jejich oblasti a poté vzít pravděpodobnost jako zlomek čtverce spadajícího do kruhu. Velmi jednoduché.

Ale co když oblast zájmové skupiny není přesně definována?

Pokud oblast není dobře definovaná, můžeme uvažovat o dvou různých, ale zcela platné (v určitém smyslu) závěry o tom, o jakou oblast jde. Takže bychom mohli mít $ P (A) = 1 $ na jedné straně a $ P (A) = 0 $ na druhé straně, což znamená $ 0 = 1 $ . To přeruší veškerou matematiku neopravitelnou. Nyní můžete prokázat $ 5 < 0 $ a řadu dalších absurdních věcí. Je zřejmé, že to není příliš užitečné.

$ \ boldsymbol {\ sigma} $ – algebry jsou oprava, která opravuje matematiku

Co je to přesně $ \ sigma $ -algebra? Ve skutečnosti to není tak děsivé. Jde pouze o definici, které množiny lze považovat za události. Prvky, které nejsou v $ \ mathscr {F} $ , prostě nemají definovanou míru pravděpodobnosti. V zásadě $ \ sigma $ -algebras jsou “ patch „, který nám umožňuje vyhnout se některým patologické chování matematiky, konkrétně neměřitelné množiny.

Tyto tři požadavky pole $ \ sigma $ lze považovat za důsledky toho, co rádi bychom udělali s pravděpodobností: $ \ sigma $ -field je sada, která má tři vlastnosti:

1. Uzavření pod spočetnou odbory.
2. Uzavření pod spočetnými křižovatkami.
3. Uzavření za doplnění.

Počítatelné odbory a spočítatelné součásti křižovatek jsou přímými důsledky problém měřitelné množiny. Uzavření doplňků je důsledkem Kolmogorovových axiomů: if $ P (A) = 2/3 $ , $ P (A ^ c) $ by mělo být $ 1/3 $ . Ale bez (3) by se mohlo stát, že $ P (A ^ c) $ není definováno. To by bylo divné. Uzávěr pod doplňky a Kolmogorovovy axiomy nám dovolují říkat věci jako $ P (A \ cup A ^ c) = P (A) + 1-P (A) = 1 $ .

Nakonec uvažujeme o událostech ve vztahu k $ \ Omega $ , takže dále požadujeme, aby $ \ Omega \ in \ mathscr {F} $

Dobrá zpráva: $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebry jsou nezbytně nutné pouze pro nespočetné množiny

Ale! Tady jsou také dobré zprávy. Nebo alespoň způsob, jak tento problém obejít. Potřebujeme $ \ sigma $ -algebras, pokud pracujeme v sada s nespočetnou mohutností. Pokud se omezíme na spočetné množiny, můžeme vzít $ \ mathscr {F} = 2 ^ \ Omega $ výkonovou sadu $ \ Omega $ a nebudeme mít žádný z těchto problémů, protože pro spočítatelné $ \ Omega $ , $ \ mathbb {R} ^ n $ to “ je naprosto dostačující k tomu, abychom zvážili pouze $ \ sigma $ -algebras složené ze sad, pro které $ \ mathcal {L} ^ n Je definováno opatření $ . Aby to bylo o něco pevnější, $ \ mathcal {L} ^ n $ pro $ n = 1,2 , 3 $ odpovídá obvyklým představám o délce, ploše a objemu.Takže v předchozím příkladu říkám, že množina musí mít dobře definovanou oblast, aby k ní byla přiřazena geometrická pravděpodobnost. A důvod je tento: pokud připustíme neměřitelné množiny, můžeme skončíme v situacích, kdy můžeme nějaké události přiřadit pravděpodobnost 1 na základě nějakého důkazu a pravděpodobnost 0 až stejné události událost na základě nějakého jiného důkazu.

Ale nedělej to nechte se zmást spojením s nespočetnými sadami! Běžná mylná představa, že $ \ sigma $ -algebras jsou spočetné množiny. Ve skutečnosti mohou být spočetné nebo nepočítatelné. Zvažte tuto ilustraci: stejně jako dříve, máme jednotkový čtverec. Definujte $$ \ mathscr {F} = \ text {Všechny podmnožiny čtverce jednotek s definovaným $ \ mathcal {L} ^ 2 $ measure}. $$ Můžete nakreslete čtverec $ B $ s délkou strany $ s $ pro všechny $ s \ in (0,1) $ as jedním rohem na $ (0,0) $ . Mělo by být jasné, že tento čtverec je podmnožinou jednotkového čtverce. Navíc všechny tyto čtverce mají definovanou plochu, takže tyto čtverce jsou prvky $ \ mathscr {F} $ . Mělo by však být také jasné, že čtverců $ B $ je nespočetně mnoho: počet těchto čtverců je nespočetný a každý čtverec má definovanou Lebesgueovu míru.

Takže z praktického hlediska je samotné provedení tohoto pozorování často dostačující k tomu, aby pozorování, které považujete pouze za Lebesgueově měřitelné sady, dosáhlo pokroku v zájmu problému.

Ale počkejte, co je neměřitelná množina?

Obávám se, že do toho můžu sám vrhnout jen trochu světla. Ale Banach-Tarski paradox (někdy “ slunce a hrášek “ paradox) nám může některým pomoci:

Vzhledem k pevné kouli v trojrozměrném prostoru existuje její rozklad na konečný počet disjunktní podmnožiny, které lze poté dát dohromady jiným způsobem a získat dvě identické kopie původního míčku. Proces opětovné montáže zahrnuje pouze pohyb kusů kolem a jejich otáčení, aniž by se měnil jejich tvar. Samotné kousky však nejsou “ pevné látky “ v obvyklém smyslu, ale nekonečné rozptýlení bodů. Rekonstrukce může fungovat až s pěti kusy.

Silnější forma věty znamená, že vzhledem k libovolným dvěma “ rozumným “ pevné předměty (například malá koule a velká koule), lze jeden z nich znovu sestavit do druhého. Toto se často uvádí neformálně, protože “ může být hrášek rozsekán a znovu sestaven do Slunce “ a nazván “ paradox hrachu a slunce „. 1

Takže pokud pracujete s pravděpodobnostmi v $ \ mathbb {R} ^ 3 $ a používáte geometrickou pravděpodobnost míra (poměr objemů), chcete zjistit pravděpodobnost nějaké události. Ale budete se snažit přesně definovat tuto pravděpodobnost, protože můžete změnit uspořádání svých prostorů a změnit objemy! Pokud pravděpodobnost závisí na objemu a můžete změnit objem sady na velikost slunce nebo velikost hrach, pak se také změní pravděpodobnost. Takže žádné události nebude připisována jediná pravděpodobnost. Ještě horší je, že můžete uspořádat $ S \ in \ Omega $ takové že objem $ S $ má $ V (S) > V (\ Omega) $ , což znamená, že míra geometrické pravděpodobnosti vykazuje pravděpodobnost $ P (S) > 1 $ , při zjevném porušení kolmogorovských axiomů, které vyžadují, aby pravděpodobnost měla míru 1.

K vyřešení tohoto paradoxu by bylo možné učinit jeden ze čtyř ústupků:

1. objem sady se může změnit, když se otočí.
2. Hlasitost spojení dvou disjunktů množiny se mohou lišit od součtu jejich objemů.
3. Axiomy Zermelo – Fraenkelovy teorie množin s axiomem volby (ZFC) by mohly být změněny.
4. Některé množiny mohou být být označen “ neměřitelný “ a bylo by třeba zkontrolovat, zda je sada “ měřitelné “ než budeme hovořit o jeho objemu.

Možnost (1) nepomůže definovat pravděpodobnosti, takže je venku. Možnost (2) porušuje druhý Kolmogorovův axiom, takže je venku. Možnost (3) se jeví jako hrozný nápad, protože ZFC opravuje mnohem více problémů, než kolik vytváří.Varianta (4) se však jeví jako atraktivní: pokud vytvoříme teorii toho, co je a není měřitelné, budeme mít v tomto problému dobře definované pravděpodobnosti! To nás přivádí zpět k teorii měření a náš přítel $ \ sigma $ -algebra.

Komentáře

• Děkuji za odpověď. $ \ mathcal {L} $ znamená Lebesque měřitelný? ‚ ll +1 vaší odpovědi na víru, ale ‚ bych opravdu ocenil, kdybyste mohli snížit úroveň matematiky o několik stupňů. .. 🙂
• (+1) Dobré body! Také bych dodal, že bez míry a algeber $ \ sigma $ je podmíněné a odvození podmíněných distribucí na nespočetných prostorech dost chlupaté, jak ukazuje Borel-Kolmogorovův paradox .
• @Xi ‚ děkuji za laskavá slova! Znamená to od vás opravdu hodně. Od tohoto psaní jsem nebyl obeznámen s paradoxem Borel-Kolmogorov, ale ‚ si trochu přečtu a uvidím, jestli se mi podaří svůj nález užitečně doplnit.
• @ Student001: Myslím, že tady rozdělujeme vlasy. Máte pravdu, že obecná definice “ míry “ (jakékoli míry) je uvedena pomocí konceptu sigma-algebry. Chtěl bych však říci, že v definici Lebesgueova opatření uvedeného v čl. “ sigma-algebra “ neexistuje slovo ani pojem. můj první odkaz. Jinými slovy lze definovat Lebesgueovu míru podle mého prvního odkazu, ale pak je třeba ukázat, že se jedná o míru a že ‚ je tvrdá část. Souhlasím, že bychom měli tuto diskusi zastavit.
• Opravdu jsem si rád přečetl vaši odpověď. ‚ nevím, jak vám poděkovat, ale ‚ jste věci hodně objasnili! Nikdy jsem studoval skutečnou analýzu a neměl jsem správný úvod do matematiky. ‚ Přišel z prostředí elektrotechniky, které se hodně zaměřilo na praktickou implementaci. Napsali jste to ‚ tak jednoduše, že to chlap jako já mohl pochopit. Velmi si vážím vaší odpovědi a jednoduchosti, kterou jste ‚ poskytli. Také díky @Xi ‚ an za zabalené komentáře!

Základní myšlenka (velmi praktická) je jednoduchá. Předpokládejme, že jste statistik pracující s nějakým průzkumem. Předpokládejme, že průzkum má nějaké otázky týkající se věku, ale požádejte respondenta, aby identifikoval svůj věk pouze v určitých daných intervalech, například $ [0,18), [18, 25), [25,34), \ dots $. Pojďme zapomenout na další otázky. Tento dotazník definuje „prostor události“, váš $ (\ Omega, F) $. Sigma algebra $ F $ kodifikuje všechny informace, které lze získat z dotazníku, takže pro věkovou otázku (a nyní ignorujeme všechny ostatní otázky) bude obsahovat interval $ [18,25) $, ale ne další intervaly jako $ [20,30) $, protože z informací získaných v dotazníku nemůžeme odpovědět na otázku typu: patří věk respondentů $ [20,30) $ nebo ne? Obecněji řečeno, množina je událost (patří do $ F $) právě tehdy, když můžeme rozhodnout, zda k této sadě patří ukázkový bod či nikoli.

Nyní definujme náhodné proměnné s hodnotami ve druhém prostoru událostí, $ (\ Omega „, F“) $. Jako příklad si vezměte toto jako skutečnou linii s obvyklou (Borel) sigma-algebrou. Pak (nezajímavá) funkce, která není náhodnou proměnnou, je $ f: $ „věk respondentů je prvočíslo“, kódující toto jako 1, pokud je věk prvočíslo, 0 jinak. Ne, $ f ^ {- 1} (1) $ nepatří do $ F $, takže $ f $ není náhodná proměnná. Důvod je prostý, z informací v dotazníku nemůžeme rozhodnout, zda je věk respondenta vrcholný nebo ne! Nyní si můžete udělat zajímavější příklady sami.

Proč požadujeme, aby byl $ F $ sigma algebra? Řekněme, že se chceme zeptat na dvě otázky dat, „je respondent číslo 3 18 let nebo starší“, „je respondent 3 žena“. Nechť otázky definují dvě události (sady v $ F $) $ A $ a $ B $, sady vzorkovacích bodů, které dávají na tuto otázku odpověď „ano“. Nyní se zeptejme na spojení dvou otázek „je responzivní 3 žena ve věku 18 let nebo starší“. Nyní tuto otázku představuje množinová křižovatka $ A \ cap B $. Podobným způsobem jsou disjunkce reprezentovány množinovým spojením $ A \ cup B $. Požadavek uzavření pro spočetné křižovatky a odbory nám nyní umožňuje zeptat se na spočetné spojky nebo disjunkce. A negovat otázku je reprezentována doplňkovou sadou. To nám dává sigma-algebru.

Tento úvod jsem poprvé viděl ve velmi dobré kniha Petera Whittla „Pravděpodobnost očekávání“ (Springer).

UPRAVIT

Pokouším se odpovědět na otázku whuberů v komentáři: „Nakonec jsem byl ale trochu zaskočený, když jsem narazil na toto tvrzení:“ vyžadující uzavřenost pro spočetné křižovatky a odbory nám umožňují zeptat se na početné spojky nebo disjunkce. „Zdá se, že to je jádrem problému: proč by někdo chtěl konstruovat tak nekonečně komplikovanou událost?“ no, proč? Omezíme se nyní na diskrétní pravděpodobnost, řekněme, pro větší pohodlí, házení mincí. Házení mince konečným počtem opakování, všechny události, které můžeme popsat pomocí mince, mohou být vyjádřeny prostřednictvím událostí typu „hlava při hodu $ i $ „,“ ocas při hodu $ i $ a konečný počet „a“ nebo „nebo“. Takže v této situaci nepotřebujeme $ \ sigma $ -algebras, stačí algebry množin. Existuje tedy v této souvislosti situace, kdy vznikají $ \ sigma $ -algebry? V praxi, i když kostkami můžeme házet jen konečně, vyvíjíme aproximace pravděpodobností pomocí limitních vět, když $ n $, počet hodů, roste bez omezení. Podívejte se tedy na důkaz centrální limitní věty pro tento případ, Laplaceova de Moivreova věta. Můžeme dokázat pomocí aproximací pouze pomocí algeber, žádná $ \ sigma $ -algebra by neměla být nutná. Slabý zákon velkého počtu lze dokázat prostřednictvím Čebyševovy nerovnosti, a proto potřebujeme výpočetní rozptyl pouze pro konečné případy $ n $. Ale pro silný zákon velká čísla , událost, kterou dokážeme, má pravděpodobnost, že ji lze vyjádřit pouze spočítatelným nekonečným počtem znaků „a“ a „nebo“ „s, takže pro silný zákon velkých čísel potřebujeme $ \ sigma $ -algebry.

Ale opravdu potřebujeme silný zákon velkého počtu? Podle jedné odpovědi zde možná ne.

Svým způsobem to ukazuje na velmi velký koncepční rozdíl mezi silným a slabým zákonem velkého počtu: Silný zákon není přímo empiricky smysluplný, protože jde o skutečnou konvergenci, která nikdy nemůže být empiricky ověřeno. Slabý zákon je na druhé straně o kvalitě aproximace rostoucí s $ n $, s číselnými hranicemi pro konečné $ n $, takže je empiricky smysluplnější.

Takže veškeré praktické využití diskrétních pravděpodobnost by se obešla bez $ \ sigma $ -algebras. U nepřetržitého případu si nejsem tak jistý.

Komentáře

• Nemyslím si ‚ že tato odpověď ukazuje, proč jsou $ \ sigma $ pole nutné. Výhoda možnosti odpovídat $ P (A) \ in [20,30) $ není ‚ t nařízeno matematikou. Trochu svižně by se dalo říci, že matematika se ‚ nestará o to, co je ‚ statistikům vhodné. Ve skutečnosti víme, že $ P (A) \ v [20,30) \ le P (A) \ v [18,34) $, které jsou dobře definované, takže ‚ není ani jasné, že tento příklad ilustruje, co chcete.
• ‚ nepotřebujeme “ $ \ sigma $ “ část “ $ \ sigma $ -algebra “ pro kteroukoli z těchto odpovědí, Kjetile. Ve skutečnosti se pro základní modelování a úvahy o pravděpodobnosti zdá, že by se fungující statistik mohl v pohodě dostat se sadami algeber, které jsou uzavřeny pouze pod konečnými , nepočítatelnými odbory. Nejtěžší část Antoni ‚ otázky se týká toho, proč potřebujeme uzavření pod početně nekonečnými odbory: toto je bod, ve kterém se předmět stává teorií míry namísto elementární kombinatorika. (Vidím, že Aksakal to také uvedl v nedávno smazané odpovědi.)
• @ whuber: máte samozřejmě pravdu, ale ve své odpovědi se snažím dát určitou motivaci, proč algebry (nebo $ \ sigma $ -algebras) může zprostředkovat informace. Je to způsob pochopení, proč tato alghebraická struktura vstupuje do pravděpodobnosti, a ne do něčeho jiného. Samozřejmě, navíc existují technické důvody vysvětlené v odpovědi user777. A samozřejmě, kdybychom mohli udělat pravděpodobnost jednodušším způsobem, byli by všichni šťastní …
• Myslím, že váš argument je dobrý. Nakonec jsem však byl trochu zaskočen, když jsem narazil na toto tvrzení: “ vyžadující uzavření pro spočetné křižovatky a odbory nám umožňuje požádat o počítatelné spojky nebo disjunkce. “ Zdá se, že jde o jádro problému: proč by někdo chtěl konstruovat tak nekonečně komplikovanou událost? Dobrá odpověď na to způsobí, že zbytek vašeho příspěvku bude přesvědčivější.
• Re praktická použití: teorie pravděpodobnosti a míry použitá v matematice financí (včetně stochastických diferenciálních rovnic, Ito integrálů, filtrace algeber, atd.) vypadá, že bez sigma algebry by to bylo nemožné. (Nemohu ‚ hlasovat pro úpravy, protože jsem již hlasoval pro vaši odpověď!)

Proč potřebují probabilisté $ \ boldsymbol { \ sigma} $ -algebra?

Axiomy $ \ sigma $ -algebras jsou přirozeně motivovány pravděpodobností. Chcete mít možnost měřit všechny oblasti Vennova diagramu, např. $ A \ cup B $ , $ (A \ cup B) \ cap C $ . Cituji z této nezapomenutelné odpovědi :

První axiom je $ \ oslash, X \ in \ sigma $ . VŽDY znáte pravděpodobnost, že se nic nestane ( $ 0 $ ) nebo něco ( $ 1 $ ).

Druhý axiom je uzavřen pod doplňky. Dovolte mi nabídnout hloupý příklad. Znovu zvažte převrácení mince s $ X = \ {H, T \} $ . Předstírat, že vám říkám, že algebra $ \ sigma $ pro tento flip je $ \ {\ oslash, X, \ {H \} \} $ . To znamená, že vím pravděpodobnost NIC, co se děje, NĚCO se děje, a hlav, ale NEZNÁM pravděpodobnost ocasů. Právem byste mě nazval pitomcem. Protože pokud znáte pravděpodobnost hlav, vy automaticky znáte pravděpodobnost ocasu! Pokud znáte pravděpodobnost, že se něco stane, znáte pravděpodobnost, že se to NEBYE (doplněk)!

Poslední axiom je uzavřen pod početnými odbory. Dovolte mi, abych vám další hloupý příklad. Vezměme si roli kostky nebo $ X = \ {1,2,3,4,5,6 \} $ . Co kdybych byl říct ti $ \ sigma $ algebra pro toto je $ \ {\ oslash, X, \ {1 \}, \ {2 \} \} $ . To znamená, že znám pravděpodobnost zavádění $ 1 $ nebo zavádění $ 2 $ , ale neznám pravděpodobnost zavedení $ 1 $ nebo $ 2 $ rozpětí >. Opět byste mi oprávněně říkali idiot (doufám, že důvod je jasný). Co se stane, když sady nebudou disjunktní a co se stane s nespočetnými odbory, je trochu chaotičtější, ale doufám, že se můžete pokusit vymyslet několik příkladů.

Proč potřebujete spočítat místo pouze konečné $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -additivity?

No, není to úplně čisté – cut case, ale existuje několik pevných důvodů, proč .

Proč probabilists potřebují opatření?

V tomto okamžiku , již máte všechny axiomy pro míru. Z $ \ sigma $ – aditivita, nezápornost, prázdná prázdná množina a doména $ \ sigma $ -algebra. Jako měřítko můžete také potřebovat $ P $ . Teorie měření je již oprávněná .

Lidé přinášejí Vitaliinu množinu a Banach-Tarského, aby vysvětlili, proč potřebujete teorii měření, ale myslím, že to je zavádějící . Sada Vitaliho jde pouze pro (netriviální) míry, které jsou překladově invariantní, což pravděpodobnostní prostory nevyžadují. A Banach-Tarski vyžaduje rotační invariance. Lidé, kterým se analýza věnuje, se o ně zajímají, ale pravděpodobnostní odborníci to ve skutečnosti nedělají .

raison dêtre teorie míry v teorii pravděpodobnosti má sjednotit zacházení s diskrétními a spojitými RV a navíc umožnit RV, které jsou smíšené, a RV, které jednoduše nejsou.

Komentáře

• Myslím si, že tato odpověď by mohla být skvělým doplňkem tohoto vlákna, pokud jej trochu přepracujete. V současné době je ‚ těžké jej sledovat, protože jeho velké části závisí na odkazech na další vlákna komentářů. Myslím, že kdybyste to vysvětlili jako zdola nahoru vysvětlení toho, jak opatření, konečná $ \ sigma $ -additivita a $ \ sigma $ -algebra zapadají do sebe jako nezbytné rysy prostorů pravděpodobnosti, bylo by to mnohem silnější. ‚ jste si velmi blízcí, protože ‚ jste již rozbili odpověď na různé segmenty, ale myslím, že segmenty potřebují více zdůvodnění a zdůvodňování být plně podporován.

Vždy jsem pochopil celý příběh takto:

Začneme mezerou, například skutečným řádkem $ \ mathbb {R} $ . Rádi bychom uplatnili naše opatření na podmnožiny tohoto prostoru , například použitím Lebesgueovy míry, která měří délku. Příkladem může být měření délky podmnožiny $ [0, 0,5] \ cup [0,75, 1] $ . V tomto příkladu je odpověď jednoduše $ 0,5 + 0,25 = 0.75 $ , které můžeme získat poměrně snadno. Začínáme uvažovat, zda můžeme použít Lebesgueovu míru na všechny podmnožiny skutečné linie.

Bohužel to nefunguje. Existují tyto patologické množiny, které jednoduše rozkládají matematiku . Pokud na tyto sady použijete Lebesgueovo opatření, získáte nekonzistentní výsledky. Příkladem jedné z těchto patologických sad, známých také jako neměřitelné sady, protože je nelze doslova měřit, jsou sady Vitali.

Abychom se těmto šíleným sadám vyhnuli, definujeme míru tak, aby fungovala pouze pro menší skupinu podmnožin, která se nazývá měřitelné sady. Jedná se o sady, které se chovají konzistentně, když na ně aplikujeme opatření. Abychom mohli provádět operace s těmito množinami, například jejich kombinací s odbory nebo převzetím jejich doplňků, požadujeme, aby tyto měřitelné sady tvořily mezi sebou sigma-algebru. Vytvořením sigma-algebry jsme vytvořili jakési bezpečné útočiště , aby naše opatření fungovala uvnitř, a zároveň nám umožňují provádět rozumné manipulace, abychom dosáhli toho, co chceme, například přijímání odborů a doplňků. To je důvod, proč potřebujeme sigma-algebru, abychom mohli nakreslit oblast, ve které bude opatření fungovat, a vyhnout se neměřitelným množinám. Všimněte si, že pokud by to nebylo pro tyto patologické podmnožiny, mohu snadno definovat měřítko, které bude fungovat v rámci sady energie topologického prostoru. Sada energie však obsahuje všechny druhy neměřitelných sad, a proto máme vybrat ty měřitelné a přimět je, aby mezi sebou tvořily sigma-algebru.

Jak vidíte, protože sigma-algebry se používají k tomu, aby se zabránilo neměřitelným množinám, množinám, které mají konečnou velikost. “ Ve skutečnosti nepotřebujeme sigma algebru. Řekněme, že řešíte ukázkový prostor $ \ Omega = \ {1, 2, 3 \} $ (to by být veškerým možným výsledkem náhodného čísla generovaného počítačem). Můžete vidět, že je celkem nemožné přijít s neměřitelnými množinami s takovým prostorem vzorku. Míra (v tomto případě míra pravděpodobnosti) je dobře definována pro jakoukoli podmnožinu $ \ Omega $ , na kterou si vzpomenete. Ale musíme musíme definovat sigma-algebry pro větší vzorové prostory, jako je skutečná čára, abychom se vyhnuli patologickým podmnožinám, které rozkládají naše míry. Abychom dosáhli konzistence v teoretickém rámci pravděpodobnosti, požadujeme, aby konečné vzorové prostory také tvořily sigma algebry, kde pouze ve kterých je definována míra pravděpodobnosti. Sigma-algebry v konečných vzorových prostorech jsou technickou záležitostí, zatímco sigma-algebry ve větších vzorových prostorech, jako je reálná čára, jsou nezbytností .

Jedna běžná sigma-algebra, kterou používáme pro skutečná linie je Borelova sigma-algebra. Je tvořen všemi možnými otevřenými množinami a poté bere doplňky a odbory, dokud nejsou dosaženy tři podmínky sigma-algebry. Řekněme, že když „rekonstruujete borelskou sigma-algebru pro $ \ mathbb {R} [0, 1] $ , uděláte to uvedením všech možných otevřených sad, například jako $ (0,5, 0,7), (0,03, 0,05), (0,2, 0,7), … $ atd. a jak si dokážete představit, existuje nekonečně mnoho mnoho možností, které můžete vyjmenovat, a pak budete používat doplňky a odbory, dokud se nevygeneruje sigma-algebra. Jak si dokážete představit, tato sigma algebra je BEAST. Je nepředstavitelně obrovská. Ale krásné na tom je, že vylučuje všechny šílené patologické množiny, které rozložily matematiku. Tyto šílené množiny nejsou v Borelově sigma-algebře. Tato sada je také dostatečně komplexní, aby zahrnovala téměř každou podmnožinu, kterou potřebujeme. Je těžké si představit podmnožina, která není obsažena v borelské sigma-algebře.

A to je příběh, proč potřebujeme sigma-algebry a Borelovy sigma-algebry jsou běžným způsobem, jak tuto myšlenku implementovat.

Komentáře

• ‚ +1 ‚ velmi čitelný. Zdá se však, že odporujete odpovědi @Yathartha Agarwala, který říká “ Lidé přinášejí Vitaliinu sadu a Banach-Tarski, aby vysvětlili, proč potřebujete teorii míry, ale myslím, že je to zavádějící. Sada Vitaliho jde pouze pro (netriviální) míry, které jsou překladově invariantní, což pravděpodobnostní prostory nevyžadují. A Banach-Tarski vyžaduje rotační invariance. Analýza, kterou lidé o ně zajímají, ale pravděpodobným ve skutečnosti ne. „. Možná vás k tomu něco napadlo?
• +1 (zejména pro metaforu “ bezpečné útočiště „!) . @Stop Vzhledem k tomu, že odpověď, na kterou odkazujete, má malý skutečný obsah – vyjadřuje pouze několik názorů – ‚ to nestojí za mnoho úvah ani debat, IMHO.