Zvažte následující jednoduchý stroj Atwood s ideální kladkou a ideálním řetězcem
Podle mé učebnice se napětí na svorce, která drží stroj na zdi, rovná $ 2T $. Nerozumím, proč tomu tak je. Napětí v $ T $ v řetězci se rovná velikosti $ m_1g + m_1a = m_2g – m_2a $, za předpokladu, že $ m_1 $ zrychluje nahoru.
Také , zrychlení hmot v atwoodském stroji je dáno vztahem
$$ a = \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} $$
Dosazením v , dostaneme napětí rovné
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} = m_1g \ left (1 + \ frac {m_2 – m_1} {m_2 + m_1} \ right) = \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
Takže podle mé učebnice by napětí na řemenici mělo být:
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
Ale nejsou všechny tyto síly vnitřní síly? Pokud vezmeme v úvahu celý stroj atwood jako systém (kromě svorky), jediné síly působící na něj jsou síla gravitace, $ (m_1 + m_2) g $ a napětí ve svorce, $ T_c $. Jelikož je systém v klidu
$$ T_c = (m_1 + m_2) g $$
Mám pravdu, nebo je v mém argumentu chyba?
Komentáře
- Nalezli jste $ T $ a učebnice má stejnou rovnici vynásobenou faktorem 2. Není zde žádný problém.
- Tip: Systém není v klidu.
- Nick ' odpověď je úplná, ale moje otázka se mi líbila, protože ukazuje úsilí porozumět ZÁSADĚ při výpočtech. Podle mého názoru je tedy ' důležité pochopit, proč systém není ' t v klidu.
- Je pravda, každý výpočet by měl být nejen matematicky prověřen, ale fyzikální interpretace je také velmi velmi velmi důležitou součástí! Takže v otázce říkám ' d dobrou práci a pokračuji v dobré práci!
- Pokud to pomůže, můžete ukázat, že středisko masy ze dvou hmotností $ m_ {1} $ a $ m_ {2} $ se zrychluje směrem dolů, a ačkoli to vypadá, že podpora drží kolo stabilně, ve skutečnosti to kvůli tomu umožňuje systému kola / hmoty zrychlovat směrem dolů.
Odpověď
Váš výsledek platí, když jsou obě masy stejné, v tom případě $ a = 0 $ a byste to měli:
$ T = m_1 g = m_2 g $.
Nebo:
$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g = (m_1 + m_2) g $.
V případě, že hmoty nejsou stejné, pak se obě hmoty zrychlují, což zase působí menší silou na kladkový systém (a na svorku).
To lze snadno zkontrolovat podle vzorce napětí!
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $
Pokud bylo definovat celkovou hmotnost jako: $ M = m_1 + m_2 $, pak bych mohl vyjádřit $ T $ jako:
$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $
Můžete zkontrolovat, zda vykreslíte $ T $ jako funkci $ m_1 $, že dosáhne maxima v $ m_1 = M / 2 $, což znamená, že napětí se stane maximálním, pokud jsou obě hmoty stejné, napětí se pak stane:
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,
nebo jak jste si mysleli:
$ 2T = (m_1 + m_2) g $
Pro úplnost vykreslení napětí ve funkci hmoty $ m_1 $ z hlediska bezrozměrných veličin.
Na tomto grafu můžete snadno vidět, že pokud $ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $ nebo $ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $, nebude zde žádné napětí, protože jedna ze dvou mas bude svobodná padající. V mezilehlých případech by došlo k napnutí, protože na obou stranách řetězce je „„ tah “, čím více se masy $ m_1 $ a $ m_2 $ navzájem rovnají, tím menší je pohyb a tím větší tah je řetězec.
Komentáře
- Takže pokud byl můj argument nesprávný, může to znamenat pouze to, že systém není v klidu. Jak ale můžete říct, že systém není v klidu?
- Ve výše uvedeném případě máme třecí kladku s bezhmotnou strunou. Jediným způsobem, jak může být systém v klidu, je situace, kdy jsou obě hmoty stejné (ve vašem výpočtu je ' jediný případ, kdy se zrychlení rovná nule). V takovém případě táhnou obě hmoty stejnou silou na obou koncích struny. Toto ' t nutně neznamená, že je systém v klidu, může se také pohybovat konstantní rychlostí!
- @Gerard Pokud byste měli přidat hmotu do bodnutí a / nebo tření pulzu, pak mohou nastat další situace, kdy je systém v klidu.
- Není pravda, že ' zůstává na stejném místě.Jeho těžiště se zrychluje, protože i když m_1 jde nahoru a m_2 dolů, hmoty jsou různé, takže mají jinou " váhu " v globálním pohybu. Pokud se tedy m_2 > m_1 a m_2 zrychluje směrem dolů, pak těžiště klesá směrem dolů.
- @Gerard: Správně, všimněte si toho pro svůj účel (tj. celková síla působící na systém) odpočinek nebo pohyb nejsou to, co ' opravdu hledáte. ' Byl jsem nedbalý, jednoduše vám říkám: " systém není v klidu " . Důležité je ' celkové zrychlení, které se v tomto případě ' liší od 0. Pohyb s konstantní rychlostí nepotřebuje žádnou sílu působící na systém. Zde se ' zastavím, protože ' trochu zneužíváme prostor pro komentáře.
Odpověď
Systém není v klidu. Pokud považujete hmoty a řemenici za jeden systém, můžete pochopit chování systému podle chování jeho těžiště. Pokud nejsou masy stejné, těžiště systému není v klidu.
Může být užitečné si to představit tímto způsobem – uvnitř hranice systému se hmota $ m_1 $ pohybuje dolů vzdáleností zatímco hmotnost $ m_2 $ se posune o stejnou vzdálenost nahoru. Těžiště se tedy posunulo dolů (nebo nahoru podle toho, zda $ m_1 > m_2 $).
Takže napětí by bylo dáno rovnicí:
$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g – T_c $$
To můžete dále vyřešit
$ a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, kde a je hodnota zrychlení hmoty $ m_1 $, kterou jste zmínili.
Zapojte to do rovnice a zjistíte, že:
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
Komentáře
- Takto se pokusím tento problém naučit. Děkuji.
- Jakákoli šance, že byste vy nebo @Nick mohli komentovat řešení v podobě 4g * mu? Vím, že to může být nad rámec problému, ale když vidím takové souvislosti, snažím se jim porozumět.
Odpovědět
Tady je skutečně chyba ve vašem argumentu. Stručně řečeno, napětí na sponu řemenice je nutné pouze k zrušení celkové gravitační síly v systému, když je vše v rovnováze ibrium a nedochází k žádné akceleraci. Pokud jsou však masy nevyvážené, pak jedna z nich poklesne a druhá vzroste, a není jasné, že to udrží celkovou sílu na stejné hodnotě jako vyvážený případ.
Ve skutečnosti můžete zkontrolovat, že když jsou obě hmoty stejné , pak se odpovědi shodují: správné napětí na sponě řemenice je $$ T_ \ text {clasp} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2 mg = (m + m) g. $$