Rozdíl mezi celými čísly a desítkovými čísly

„Počítání“ (vede k počítání čísel) je zvláštní případ (s nejasnostmi) „měření“, kde je role „míry / jednotky“ viditelnější. Samozřejmě (myslím) přirozenou jednotkou implikovanou v „počítání“ situací je nějaká relevantní atomová jednotka (jako „celá, operativní osoba“, spíše než ne tak funkční menší část osoby).

To znamená, že počítání implicitně měří s jednotkou nejmenší / atomově proveditelné / operativní měřítko (často tak univerzálně implicitní, že je mimo diskusi).

Když se pokročilejším undergradům poprvé vystaví myšlenka, že nekonečné částky (neboli „řada“) spadají pod záštitu „integrálů“, ale s „počitatelným měřítkem“ … a že jednotlivé množiny mají alespoň jednu přirozenou regulární, kladnou Borelovu míru, jmenovitě počítací míru. / p>

Komentáře

• 1. O tom jsem se zmiňoval ve své úvodní větě, a tak samozřejmě souhlasím a líbí se mi zvláštní nádech, který tomu dáváte. 2. Jak ale reagujete na velmi surové začínající studenty, kteří se ptají “ Proč ‚ nemůžeme řekněme 0,04 DekaPeople, protože můžeme říci 0,04 KiloPeople? Nějak to, že 0,04 DekaPeople = 0,4 lidí a 0,04 KiloPeople = 40 lidí nepomůže: jejich názor je, že jakmile budeme pracovat v desetinném-metrickém systému, neměli bychom se uchýlit k cizím úvahám a věci by neměly záviset na tom, zda “ jmenovatelem “ je lidé nebo litry mléka .
• @schremmer, ‚ tvrdím, že bez “ uchýlení se k cizím úvahám “ aritmetika stále dává smysl, jistě, ale relevance / použitelnost může někdy trpět. Na kontextu záleží.
• Kontext je samozřejmě zásadní, jak se většinou stává. Jedná se však o takzvané vývojové studenty a je velmi těžké je vzít v úvahu logiku.Ale pak, jakmile začnou, přirozeně se zavěsí na takové věci. Snažím se jim říci, že vždy budou moci říci od “ jmenovatele „, s nímž souhlasí, ale stále trvají na tom že “ by mělo existovat pravidlo “ nezávislé na tom, zda mluvíme o lidech s litry mléka. To je to, na co ‚ nevím odpovědět.
• @schremmer, možná jim řeknete, že ne všechno (i v matematice) lze zredukovat na seznam jednoznačných pravidel. Uvědomuji si, že existují různé vývojové situace, ale přesto se snažím studenty na všech úrovních ujistit, že by neměli pozastavit svůj vlastní kritický úsudek … ale / a že mají odpovědnost za používat to, spíše než jen používat magické myšlení nebo vyvolat nevysvětlitelná “ pravidla „.
• Moje odpověď na otázku typu “ Proč ‚ nemůžeme říci 0,04 DekaPeople [0,4 osob] “ je, že určitě můžeme něco takového říct. Např. Otázka: Jaká je hustota obyvatelstva na Falklandských ostrovech na kilometr čtvereční? Odpověď: 0,26 lidí. odkaz

Proč nemůžeme říci “ 0,04 lidí “ protože můžeme říci “ 0,04 KiloPeople „?

Některá množství (např. Lidé) jsou diskrétní veličiny a některé (např. metry, dolary) jsou spojité veličiny.

Následující diskuse je ze zde . (Zdůraznil jsem slova “ přirozené číslo “ a “ desetinné číslo. „)

Klasifikace množství

Množství je buď diskrétní , nebo spojité . Diskrétní veličina je velikost spočetné množiny (takové, jejíž prvky jsou „vzájemně oddělené a jednotlivě odlišné“). Jeho číselná hodnota je přirozené číslo („nelze rozdělit na množství menší než jednotka“) a jeho jednotka je jasné na začátku. Příkladem diskrétní veličiny jsou „tři chlapci“.

Kontinuální kvantita je velikost „kontinua“ („spojitá entita, kterou lze rozdělit na libovolný počet menších částí“, například „libovolná dvě takové entity lze spojit do větší “). Jeho číselná hodnota (a desítková nebo zlomek) a její jednotka „nebyly stanoveny a priori . “ Příkladem spojitého množství jsou „tři dolary.“

Kontinuální množství je buď rozsáhlé , nebo intenzivní . První způsob vyjadřuje šířku nebo velikost (například plochu nebo váhu); druhý vyjadřuje kvalitu nebo intenzitu (například hustotu nebo rychlost). Rozsáhlá kvantita má aditivitu: atribut spojení dvou těl se rovná součtu atributů těchto dvou těl. Intenzivní množství nemá aditivitu. Například hmotnost dvou těles je nutně součtem jejich hmotností, ale rychlost dvou těles není nutně součtem jejich rychlostí.

Text je psán pro učitele matematiky, ale lze jej přeformulovat tak, aby ho začátečníci snáze pochopili.)

Moje původní odpověď (zde uvedená pro kontext), na kterou OP poukázal neodpověděl na zamýšlenou otázku:

Některá množství, například $ 1/3 $ litry, mají desetinná vyjádření ( $ 0. \ overline {3} $ litrů), ale žádná reprezentace celého čísla.

Komentáře

• Co to má společného s mou otázkou?
• Vaše otázka byla “ Kde nakreslíte hranici mezi celé a desítkové a jak to vysvětlíte velmi surovým začátkům studentům, kteří chtějí rozumět ? “ I navrhuji, abyste nakreslili čáru, když desítkové vyjádření nekončí, a že tento příklad by měl být jasný pro “ velmi surové začínající “ studenty .
• @ Velmi suroví začátečníci, se kterými mám co do činění, nemají tušení o tom, co může představovat desetinné číslo, natož o desetinném vyjádření, které nekončí. Kromě toho je 1/3 litru mléka 1 , což je celé číslo, které čísluje věci _ označované_ z nichž výroba 3 litrů mléka trvá 3, takže zde je vaše celé číslo.V každém případě to nemá nic společného s původní otázkou.
• Takže co $ \ sqrt {2} $ metrů, délka přepony rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku s každou nohou délky $ 1 $ Metr? Souhlasili byste s tím, že má desítkové vyjádření, ale ne celé číslo?
• Samozřejmě, ale co to má společného s původní otázkou? Stále odpovídáte na otázku Nikdy jsem se neptal . Otázka, kterou jsem položil, se otočí: Proč nemůžeme ‚ t říci “ 0,04 lidí “ protože můžeme říci “ 0,04 KiloPeople „?

Myslím si, že zmatek je do značné míry důsledkem skutečnosti, že mnoho lidí najde předpony metrického systému ( kilo- , centi- atd.) neznámé a najít desetinná místa (i koncová) méně intuitivní než „vulgární zlomky“, které představují.

Pokud se mě někdo zeptá: „Jak může být 0,004 kilometru, desítkové číslo, stejné jako 4 metry, celé číslo „? (jak uvádí OP v komentářích pod svou otázkou), odpověděl bych asi takto:

Také vás trápí skutečnost, že $ 1 / 2 $ a tucet vajec, zlomek, je stejný jako 6 vajec, celé číslo?

Co bude následovat, záleží na odpovědi tazatele . Ale předpokládejme, že odpoví něčím jako: „Dobře, myslím, že to chápu. Ale proč mohu říci„ 0,04 kilopeople “, ale nemohu„ říci „0,04 lidí“? “V takovém případě bych odpověděl :

Také vás trápí skutečnost, že můžete uvařit půl tuctu vajec, ale polovinu vejce uvařit nemůžete?

Smyslem těchto odpovědí je, aby konverzace nebyla ukončena zingerem, ale spíše aby vyšlo najevo, jaké jsou základní problémy: “ 1 kilopeople „znamená totéž jako“ 1000 lidí „a můžete mít půl tisíce lidí stejně, jako můžete mít půl tuctu vejce. Na druhou stranu nemůžete mít $ 1/7 $ z tisíce lidí, přesně stejným způsobem, jako byste neměli $ 1/7 $ z tuctu vajec.

Komentáře

• Můj problém s otázkou jako “ Proč může ‚ t říkáme ‚ 0,04 lidí ‚ „, že se mi zdá, že to určitě můžeme říct. Může to být například hustota obyvatelstva na kilometr čtvereční v určité oblasti. Ve skutečnosti: 0,04 lidí ve skutečnosti je přesně hustota obyvatelstva (na km ^ 2) na norských ostrovech Svalbard a Jan Mayen. odkaz .
• @mweiss Vývojoví studenti, kteří začínají klást otázky, nemají rádi odpověď na otázku. Odmítli by vašeho “ Také vás trápí … “ jako “ učitele trik „. Později, v diskusi, by samozřejmě neměli námitky proti vaší argumentaci a ve skutečnosti by s ní souhlasili. Myslím si však, že jejich otázkou opravdu je, jak jsem komentoval Paulovi Garrettovi, následující: “ jakmile budeme pracovat v desetinně-metrickém systému, neměli bychom se uchýlit k cizím úvahám a věci by neměly záviset na tom, zda je “ jmenovatelem “ lidé nebo litry mléka. “