rozdíl mezi podmíněnou pravděpodobností a Bayesovým pravidlem

OK , nyní, když jste aktualizovali svoji otázku tak, aby zahrnovala dva vzorce:

$$ P (A \ mid B) = \ frac {P (A \ cap B )} {P (B)} ~~ \ text {za předpokladu, že} P (B) > 0, \ tag {1} $$ je definice podmíněné pravděpodobnosti $ A $ vzhledem k tomu, že $ B $ došlo. Podobně $$ P (B \ mid A) = \ frac {P (B \ cap A)} {P (A)} = \ frac {P (A \ cap B) } {P (A)} ~~ \ text {za předpokladu, že} P (A) > 0, \ tag {2} $$ je definice podmíněné pravděpodobnosti $ B $ vzhledem k tomu, že $ A $ došlo. Nyní je pravda, že je triviální záměna nahradit hodnotu $ P (A \ cap B) $ z $ (2) $ do $ (1) $ a dorazit na $$ P (A \ mid B ) = \ frac {P (B \ mid A) P (A)} {P (B)} ~~ \ text {za předpokladu, že} P (A), P (B) > 0, \ tag {3} $$ , což je Bayes „vzorec , ale všimněte si, že Bayes vzorec ve skutečnosti spojuje dvě různé podmíněné pravděpodobnosti $ P (A \ mid B) $ a $ P (B \ mid A) $ a je to v podstatě vzorec pro " otočení podmínění ". Reverend Thomas Bayes se o tom zmínil z hlediska " inverzní pravděpodobnosti " a dokonce i dnes se vedou energické debaty o tom, zda by statistický závěr být založeno na $ P (B \ mid A) $ nebo inverzní pravděpodobnosti (nazývá se a posteriori nebo zadní pravděpodobnost).

Je to pro vás bezpochyby stejně chlípné, jako pro mě, když jsem poprvé zjistil, že Bayesův vzorec byl jen triviální náhradou $ (2) $ do $ (1) $ . Možná, že pokud jste se narodili před 250 lety, vy (Poznámka: OP se při psaní psal pod uživatelským jménem AlphaBetaGamma. tato odpověď, ale od té doby změnil své uživatelské jméno) mohl nahradit, a lidé by dnes mluvili o vzorci AlphaBetaGamma a kacířství AlphaBetaGammian a naivní metodě AlphaBetaGamma $ ^ * $ místo vyvolání Ba ano „jméno všude.Dovolte mi, abych vás utěšil nad ztrátou slávy poukázáním na jinou verzi Bayesova vzorce. Zákon celkové pravděpodobnosti říká, že $$ P (B ) = P (B \ mid A) P (A) + P (B \ mid A ^ c) P (A ^ c) \ tag {4} $$ a pomocí toho můžeme napsat $ (3) $ as

$$ P (A \ mid B) = \ frac {P (B \ mid A) P (A)} {P (B \ mid A) P (A) + P (B \ mid A ^ c) P (A ^ c)}, \ tag {5} $$ nebo obecněji jako $$ P (A_i \ mid B) = \ frac {P (B \ mid A_i) P (A_i)} {P (B \ mid A_1) P (A_1 ) + P (B \ mid A_2) P (A_2) + \ cdots + P (B \ mid A_n) P (A_n)}, \ tag {6} $$ , kde je zadní pravděpodobnost možného " příčina " $ A_i $ z " datum " $ B $ souvisí s $ P ( B \ mid A_i) $ , pravděpodobnost pozorování $ B $ , když $ A_i $ je skutečná hypotéza a $ P (A_i) $ , předchozí pravděpodobnost (hrůzy!) hypotézy $ A_i $ .

$ ^ * $ Tam je slavný papír R. Alpher, H. Bethe a G. Gamow, " Původ of Chemical Elements ", Physical Review, 1. dubna 1948, které se běžně označuje jako papír $ \ alpha \ beta \ gamma $ .

Komentáře

• Dobrý den, pane, mohl byste prosím vysvětlete, co máte na mysli tím, že ' otočíte klimatizaci '?
• @Siddhant Going from $ P (A \ mid B) $ to $ P (B \ mid A) $ je to, co mám na mysli tím, že " otočíte klimatizaci ". Ignorujte prosím frázi, kterou jsem vytvořil na místě, abych pojmenoval to, co Bayes ' věta dělá (dává výraz pro $ P (A \ mid B) $ v termínech $ P (B \ mid A) $), protože vás to tolik mate.

Jeden způsob, jak intuitivně myslet na Bayesovu větu, „spočívá v tom, že když se dá snadno vypočítat kterýkoli z nich,

$$ P (A∣B) ~~ \ text {nebo } P (B∣A) $$

můžeme vypočítat ten druhý, i když se ten druhý zpočátku zdá být trochu tvrdý

Zvažte příklad, zde $$ P (A∣B) $$ se říká, že mám oponu a řekl jsem vám, že za oponou je zvíře a vzhledem k tomu, že se jedná o čtyřnohé zvíře je pravděpodobnost, že toto zvíře bude psem?

Je těžké najít pravděpodobnost, že k tomu dojde.

Odpověď pro však najdete $$ P (B∣A) $$ Jaká je pravděpodobnost čtyřnohého zvířete za oponou a gi ven, že je to pes, nyní je snadné vypočítat, že to může být téměř 1, a tyto hodnoty připojíte do Bayesovy věty a najdete odpověď pro $$ P (A ∣B) $$ to je pravděpodobnost, že zvíře bude psem, což bylo zpočátku těžké.

Nyní je to jen zjednodušená verze, kde můžete intuitivně přemýšlet, proč by změna uspořádání mohla Pomozte nám. Doufám, že to pomůže.