Jak mohu vypočítat rozptyl p odvozený z binomického rozdělení? Řekněme, že otočím n mincí a dostanu k hlav. Mohu odhadnout p jako k / n, ale jak mohu vypočítat rozptyl v tomto odhadu?
Zajímá mě to, abych mohl kontrola rozptylu v mých odhadech poměru, když porovnávám body s různým počtem pokusů. Jsem si jistější odhadem p, když n je větší, takže bych chtěl být schopen modelovat, jak spolehlivý je odhad.
Díky předem!
příklad:
- 40/100. MLE p by bylo 0,4, ale jaká je odchylka v p?
- 4/10. MLE bude stále 0,4, ale odhad je méně spolehlivý, takže by měla být větší variabilita v p.
Odpověď
Pokud $ X $ je $ \ text {Binomial} (n, p) $, pak MLE z $ p $ je $ \ hat {p} = X / n $.
Binomickou proměnnou lze považovat za součet náhodných proměnných $ n $ Bernoulli. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ kde $ Y_i \ sim \ text {Bernoulli} (p) $.
abychom mohli vypočítat rozptyl MLE $ \ hat {p} $ as
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} ] & = \ text {Var} \ left [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ right] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
Takže vidíte, že rozptyl MLE se zmenšuje pro velké $ n $ a také je menší pro $ p $ blízké 0 nebo 1. Pokud jde o $ p $ je maximalizováno, když $ p = 0,5 $.
U některých intervalů spolehlivosti můžete vyzkoušet Intervaly binomické důvěryhodnosti
Komentáře
- Myslím, že odkaz je podobný tomu, co hledám ' m, ale chci hodnotu, která je ekvivalentní rozptylu p. Jak to mohu získat z intervalu spolehlivosti?
- Upravil jsem svou původní odpověď, abych lépe odpověděl na vaši otázku.
- Jak zjistíte, že vzorec odchylky vyžaduje p, ale vy máte pouze odhad p?
- Můžete zvážit použití transformace stabilizující odchylku, jako je $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $, a pak získáte, že odchylka transformované proměnné je $ \ tfrac {1} {4n} $