Přítel mi představil snímek power pointu o výuce matematiky a jeden z jeho snímků hovořil o „sedmi srovnávacích číslech“. Řekl, že:
Sedm referenčních čísel pro vytvoření „úplného“ smyslu čísel je: $ 0, \ frac {1} {10}, \ frac {1} {2}, 1, 10, 12, $ a 100 $. Tato čísla tvoří základ učebních osnov matematiky v základním a středním vzdělávání.
Když na to můj přítel tlačil, bohužel nedokázal vysvětlit, proč tyto čísla byla „měřítka“. Ví někdo, na co může odkazovat, nebo ještě lépe, ví někdo, odkud tyto informace čerpá?
Komentáře
- Proč ne ‚ t se ho nezeptáte na zdroj? Je zvláštní, že ‚ prezentuje materiál, který ‚ nevysvětlí.
- Mně (a další ) je referenční číslo užitečné pro stanovení odhadů. Např. 1/2 je dobrým měřítkem a pomáhá nám pochopit, kde je 3/8 na číselné řadě vzhledem k 1/2. I ‚ si však nejsem jistý, co tam 12 dělá. A tento konkrétní seznam se jeví jako libovolný.
- Většina z nich je docela přímočará, aby bylo možné uhodnout motivaci, ale počet samotných je jistě nedostatečný k vytvoření jakéhokoli druhu “ vyplňte “ smysl pro čísla. @ncr Jedno zdánlivě libovolné číslo, 12, je pravděpodobně způsobeno nemetrickým systémem, ve kterém má například tucet (12) nebo – není to dávno – hrubý (144). Plus 12 palců na stopu, 12 hodin v každé polovině dne a mnoho studentů ve Spojených státech se učí násobilku 12 x 12. O tomto seznamu “ referenčních čísel, “ nemohu ‚ říci nic definitivního. až na to, že jsem nikdy neviděl formálně diskutovanou sbírku.
- Nebyl mi schopen poskytnout zdroj (což mě ještě více zajímalo)
- To mi připadá velmi svévolné. Jako matematik bych těmto číslům nepřikládal žádný zvláštní význam. Zejména 12 $ $ by nemělo být důležité v mnoha částech světa, kde se používá metrický systém. Je poněkud libovolné zahrnout $ 100 $, ale ne, řekněme, $ 1000 $. Proč také zahrnout $ 1/2 $, ale ne $ 2 $?
Odpovědět
Slušný objem základní matematiky is Matematika pro učitele základních škol (Beckmann, 2010). Kniha má pomoci posílit znalosti učitelů o matematice, které stojí za myšlenkami v základních učebních osnovách (myslím, zejména u učebních osnov reformy). Jako takové je často dobré místo pro kontrolu takových věcí.
Srovnávací hodnoty (nazývané také „orientační body“) se zavádějí v kontextu porovnávání zlomků. Když se studenti pokoušejí určit, který zlomek je větší, $ \ frac {4} {9} $ nebo $ \ frac {3} {5} $, jedna navrhovaná strategie je, aby studenti uvažovali o svém vztahu k nějakému jinému číslu, jako je zlomek $ \ frac {1} { 2} $:
Když jsme porovnávali $ \ frac {4} {9} $ a $ \ frac {3} {5} $ porovnáním obou zlomky s $ \ frac {1} {2} $, použili jsme $ \ frac {1} {2} $ jako měřítko (nebo orientační bod) . Zlomky $ \ frac {1} {2} $, $ \ frac {1} {4} $, $ \ frac {3} {4} $, $ \ frac {1} {3 } $ a $ 1 $ je dobré použít jako měřítko. (str. 73)
Z tohoto textu je zřejmé, že čísla jsou poněkud libovolná ; nemá to být definitivní seznam referenčních čísel. Studenti by si vybrali zlomkové měřítko, které jim pomůže porovnat.
Nemohu říci, zda ostatní používají srovnávací hodnoty stejným způsobem (rychlý pohled na některá ostatní knihy, které mám na dosah ruky, tento výraz neobjeví. Použití zde je však jasné: měřítko číslo je číslo užitečné při uvažování o problému. V tomto případě se referenční hodnota používá jako referenční bod pro srovnání zlomků.
Záměrem je spíše podporovat uvažování než postup. Někteří studenti mají algoritmy se učí používat pro srovnání zlomků, které jim umožňují nahradit matematické uvažování několika zapamatovanými kroky a nějakou aritmetikou. Ale uvažování jim umožňuje procvičit domněnky, propracovat se přijetím odůvodnění své odpovědi a nakonec mít způsob, jak hájit svou odpověď jinak než „to je to, co procedura vyprodukovala.“
Měl bych th inkoust jakékoli užitečné číslo použité při uvažování lze nazvat měřítkem. Například v mé odpovědi na jinou otázku (vidět zde) jsem psal o uvažování studentů, které transformuje subtrahend na číslo $ 2000 $. V takovém případě je $ 2 000 $ užitečné.
Dalším typem matematického uvažování, který by mohl mít prospěch z benchmarku, je odhad. Čísla lze nahradit blízkými měřítky, která umožňují rychlejší výpočet, pokud je cílem pouze získat odpověď (často docela užitečná strategie pro mnoho aplikací v reálném světě).
Stručně řečeno, Nemyslím si, že existuje podpora pro definitivní seznam měřítek . ty, které poskytuje Dr. Beckmann, jsou návrhy („dobré použít“), ale skutečným testem je, zda jsou pro myslitele užitečné uprostřed jejich matematického uvažování.
Citovaná díla:
Beckmann, S. (2010). Matematika pro učitele základních škol. New York: Pearson Addison-Wesley.
Komentáře
- možná to ‚ jsem jen líný, ale jako dítě si myslím, že bych jen vypočítal desetinnou expanzi a porovnal dvě zlomky. I ‚ Přečetl jsem si historii fyziky, která vyjadřuje tento sentiment … že systém desetinných čísel byl nesmírně důležitý pro aproximační aspekt Newtonova ‚ s myšlení … ale, I ‚ m žádný odborník.
- @ JamesS.Cook ‚ není líný používat reprezentaci, která kromě Vyhovuje vašim dovednostem a aplikaci po ruce. Práce ve třídě má samozřejmě další vzdělávací cíl. V tomto případě se obracíme k uvažování pro srovnání (v tom je v rozporu s některými jinými metodami “ trick „). Ze zvědavosti, když jste jako dítě porovnávali zlomky s desetinnými místy, jaké uvažování spojovalo zlomková a desetinná vyjádření? Jinými slovy, jak jste si neformálně dokázali, že desetinné vyjádření bylo skutečně stejné číslo?
- Pokud si vzpomínám, a to je diskutabilní, domnívám se, že to byl standardní význam. Například $ 1/4 = 0,2 + 0,05 $, takže desetinná místa vytváříme přidáním celočíselných násobků $ 10,1,1 / 10, 1/100 $ … dohromady. Potřeba série byla oceněna až mnohem později, aproximace stačila pro mé dětské účely, nepamatuji si, jak na hřišti přemýšlím o konvergenci.
- @JamesS [div id = „67e01df2eb“>
.Cook Takže druh “ atomických “ znalostí je, že $ \ frac {1} {10} = 0,1 $ (a tak pro další zlomky zahrnující mocniny deset). Ale také byste museli ospravedlnit, že $ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $. Na první pohled to vypadá sofistikovanější než porovnávat dvě frakce na základě srovnávacího testu (tj. ‚ byste v tomto okamžiku tuto strategii benchmarku nepotřebovali). Vaše zlomky jmenovatele desetiny jsou zjevně důležitou součástí pochopení toho, jak se místní hodnota vztahuje na zlomkové hodnoty.
Odpovědět
Nemohu to“ podpořit, ale tady je myšlenka jako matematik a otec dětí školního věku (aby mohla být vytvořena měřítka):
1: Představuje celou myšlenku toho, co je to číslo. Jakmile získáte 1, stačí si zapamatovat 2, 3, …, 9.
0: Představuje pochopení, že nic také není množství / číslo.
10: Zpočátku „10“ je jen další symbol pro číslo jako „7“. Pokud ale skutečně zjistíte, že „je 1 a 0, pak budou symboly 11, …, 99 okamžitě srozumitelné.
100: Porozumění„ deseti “je jedna věc. Dalším krokem je pochopení že na deset 10 musí existovat nový název. Jakmile získáte „stovku“, pak se „tisíc“, „deset tisíc“, „milion“ atd. stane memorováním.
1/2: Být schopen skutečně pochopit 1/2 znamená, že dostanete to, co jsou zlomky. Vím, že studenti opravdu bojují s zlomky, ale všechno to začíná 1/2.
1/10: Jakmile získáte zlomky, otázka desetinných míst reprezentace je přirozená. Takže hádám 1/10 by mělo opravdu znamenat pochopení 0,1.
12: Trochu zvláštní koule na seznamu. Můj odhad je jednou ze dvou možností: Je to důležité, protože většina studentů si pamatuje tabulky násobení na 12×12, nebo proto, že v angličtině je „dvanáct“ poslední číslo, jehož název vám neřekne nic o jeho desetinném vyjádření, např. nazývá se „seconteen“.
Komentáře
- Pokud se podíváte pozorně, “ dvanáct “ obsahuje alespoň formu “ dvou. “ Viz také etymonline.com/index.php?term=twelve .
- Dvanáct je první hojné číslo a také klíč v hodinovém modelu, který někteří učitelé používají pro zlomky. Nevím ‚ nevím, jestli to je důvod, proč je ‚ na seznamu, ale určitě to dává smysl, proč by to mohlo být na seznam důležitých čísel ve 4. a 5. ročníku.
- Celé číslo “ 1 “ je univerzální multiplikativní identita .Ačkoli “ 2 “ není ‚ potřeba jako základ pro celá čísla, chtěl bych považujte fakt, že vynásobení čehokoli celým číslem dva je stejné jako jeho přidání k sobě, je docela důležité. Považoval bych “ 4 “ za důležité, protože vynásobení něčeho čtyřmi je stejné jako přidání něčeho do sebe a přidání výsledku do sám , zatímco “ 3 “ je důležité, protože vynásobení třemi vyžaduje něco přidat k sobě a poté přidat výsledek k původní věci .