Dobře, takže mám skutečné problémy rozlišovat mezi konceptem ustáleného stavu a cestou vyváženého růstu v tomto modelu :
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$
Byl jsem požádán o odvození ustálených hodnot kapitálu pro efektivního pracovníka :
$$ k ^ * = \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
Rovněž poměr ustáleného stavu kapitálu k výstupu (K / Y):
$$ \ frac {K ^ {SS}} {Y ^ {SS}} = \ frac {s} {n + g + \ delta} $$
Zjistil jsem, že jsou oba v pořádku, ale byl jsem také požádán, abych našel „ustálenou hodnotu mezního produktu kapitálu, dY / dK „. Tady jsem udělal:
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$ $$ MPK = \ frac {dY} {dK} = \ beta K ^ {\ beta -1} (AL) ^ {1- \ beta} $$
Náhrada za K v ustáleném stavu (počítáno při výpočtu ustáleného stavu pro výše uvedený poměr K / Y):
$$ K ^ {SS} = AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta (AL) ^ {1- \ beta} \ left [AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} \ right] ^ {\ beta -1} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {\ beta -1} {1- \ beta}} $$
Nejprve potřebuji vědět, zda je tento výpočet pro ustálený stav hodnoty MPK správně?
Zadruhé, byl jsem požádán, abych načrtl časové dráhy poměru kapitálu a výstupu a mezní produkt kapitálu pro ekonomiku, která konverguje na svou vyváženou cestu růstu „zdola“.
Mám potíže přesně pochopit, co je vyvážená cesta růstu, na rozdíl od ustáleného stavu, a jak pomocí svých výpočtů zjistit, jak by tyto grafy měly vypadat.
Omlouvám se za mamutí příspěvek, každá pomoc je velmi ceněna! Předem děkujeme.
Odpovědět
To je případ, kdy pokus o přesnost vytváří zmatek a nedorozumění.
Tehdy růstové modely nezahrnovaly technologický pokrok a vedly k dlouhodobé rovnováze charakterizované konstantní veličinami na osobu. Slovně se termín „ustálený stav“ zdál vhodný k popisu takové situace.
Poté přišly Romerovy a endogenní růstové modely, které také přiměly starší modely, aby začaly, včetně rutiny exogenních růstových faktorů (kromě populace). A „najednou“ nebyly podmínky na obyvatele v dlouhodobé rovnováze konstantní, ale rostly konstantní rychlostí . Literatura původně popisovala takovou situaci jako „ustálený stav v tempech růstu“.
Potom se zdá, že profese si myslela něco jako „je nepřesné používat slovo„ stabilní “, protože rostou veličiny na obyvatele. Stává se, že všechny veličiny rostou v vyvážená sazba (tj. stejnou rychlostí, takže jejich poměry zůstávají konstantní). A protože rostou, sledují cestu … „Heuréka !: výraz“ cesta vyváženého růstu “.
… K frustraci studentů (alespoň), kteří si nyní musí pamatovat, že například „sedlová cesta“ je ve fázovém diagramu skutečně cestou , ale „cesta vyváženého růstu“ je jen bod! (protože abychom skutečně nakreslili fázový diagram a získali starou dobrou dlouhodobou rovnováhu, vyjadřujeme veličiny na efektivního pracovníka a tyto veličiny mají tradiční ustálený stav. Ale nadále tomu říkáme „cesta vyváženého růstu“, protože velikost na osobu, což je to, co nás v našem individualistickém přístupu zajímá), nadále roste).
Takže „vyvážená cesta růstu“ = „ustálený stav velikostí na jednotku efektivity práce“, a myslím, že zbytek můžete zjistit pro svůj fázový diagram.
Odpověď
Sledování konverzace s uživatelem @denesp na komentáře k mé předchozí odpovědi musím objasnit následující: obvyklé grafické zařízení, které používáme, souvisí se základním modelem růstu Solow (viz například zde , obrázek 2 ) není fázový diagram, protože rozumně nazýváme „fázové diagramy“ ty, které obsahují lokusy s nulovou změnou, identifikujte jejich křížení jako pevné body dynamiky systému a zkoumat jejich vlastnosti stability. A to není to, co děláme pro model Solow. Z mé strany to tedy bylo neopatrné použití terminologie.
Přesto můžeme nakreslit „polofázový diagram“ pro růstový model Solow v prostoru $ (y, k) $. Pochopení symbolů jako „na jednotku efektivity práce“ máme systém diferenciálních rovnic (zatímco $ y = f (k) $)
$$ \ dot k = sy – (n + \ delta + g ) k $$
$$ \ dot y = f „_k (k) \ cdot \ dot k $$ Napíšeme-li rovnici nulové změny jako slabou nerovnost, abychom ukázali i dynamické tendence, máme
$$ \ dot k \ geq 0 \ implikuje y \ geq \ frac {n + \ delta + g} {s} k $$
$$ \ dot y \ geq 0 \ implikuje \ dot k \ geq 0 $$
Takže tento systém dává jedno místo nulové změny, přímku. Žádné body křížení k identifikaci pevného bodu Co můžeme dělat?Nakreslete do diagramu také produkční funkci, protože ve skutečnosti je prostor $ (y, k) $ unidimenzionální, nikoli plocha, ale přímka. Pak dostaneme
vertikální / horizontální šipky označující dynamické tendence vycházejí správně ze slabých nerovností nahoře (jak $ y $, tak $ k $ mají tendenci růst, když jsou nad lokusem nulové změny). Poté, co jsou $ y $ a $ k $ nuceny pohybovat se tečkovanou čarou (což je produkční funkce), vyplývá z toho, že se pohybují směrem ke svému pevnému bodu, bez ohledu na to, kde začneme. Graf produkční funkce zde představuje v podstatě cestu k dlouhodobé rovnováze, protože konvergence je monotónní.